NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) Exercise 3.1 in Hindi Medium

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) Exercise 3.1 in Hindi Medium जिसमे हम रेखीय समीकरण क्या हैं?, रैखिक समीकरणों के उदाहरण क्या हैं?, परिवर्तनशील क्या है?, सरल समीकरण क्या है?, ढलान का पता कैसे लगाएं?, समीकरण किसे कहते हैं?, संतुलन विधि क्या है?, बीजगणितीय नियम क्या है?, बच्चों के लिए एक समीकरण क्या है?, क्या कोई समीकरण असत्य हो सकता है?, एक समीकरण क्या है? आदि के बारे में पढ़ेंगे।

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)

Chapter –3

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

Exercise 3.1

1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।

(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

(ii) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹50 है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य ₹46 है। एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल: (i) माना कुल लड़क x व कुल लड़किया y है। तब बनाया गया समीकरण युग्म है:
x + y = 10 …..(1)
तथा, y = x + 4 ⇒ – x + y = 4 …..(2)

ग्राफीय आलेखन के लिए हम प्रत्येक समीकरण के दो हल प्राप्त करेंगे। ये हल निम्न तालिकाओं में दिए गए हैं।
x + y = 10

– x + y = 4

ग्राफ पर बिंदु अंकित कर रेखा खींचिए। इस प्रकार, प्राप्त रेखाएँ बिंदु (3. 7) पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः इसका हल x = 3 और y = 7होगा।

इस प्रकार, लड़कों की संख्या 3 तथा लड़कियों की संख्या 7 है।

सत्यापन: समीकरण (1) तथा (2) में x = 3 तथा y = 7 रखने पर दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं।

(ii) माना एक पेंसिल का क्रय मूल्य रु तथा एक कलम का क्रय मूल्य रु है:
तब समीकरण – 5x + 7y = 50 ……(1)

तथा, 7x + 5y 46 ……(2)

अब हम यदि इन दो समीकरणों (1) तथा (2) का दो हल प्राप्त करके ग्राफ खींचेंगे। ये हल निम्न तालिकाओं में दिए गए हैं:
5x + 7y = 50

7x + 5y = 46

दी गई तालिकाओं के बिंदुओं को ग्राफ पर प्रदर्शित करके, इन्हें रेखाओं द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।

ये दोनों रेखाएँ (3, 5) बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः x = 3 तथा y = 5 ही इनका हल है।
इसलिए, 1 पेंसिल का मूल्य 3रु तथा एक कलम का मूल्य 5 रु है।

सत्यापन: x = 3 तथा y = 5, समीकरण (1) व (2) पर रखने पर दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं।

प्रश्न 2. अनुपातों a₁/a_2, b₁/b₂ और c₁/c₂ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं या संपाती हैं:

(i) 5x – 4y + 8 = 0; 7x + 6y – 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0; 18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x – 8y + 10 = 0; 2x – y + 9 = 0

हल: (i) प्रदत्त रैखिक समीकरण युग्म हैं
5x – 4y + 8 = 0 ……(1)
और, 7x + 6y – 9 = 0 ……(2)
यहाँ, 5/7 ≠ -4/6
⇒ (1) और (2) रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(ii) प्रदत्त रैखिक समीकरण युग्म हैं
9x + 3y + 12 = 0 ……(1)
और, 18x + 6y + 24 = 0 ……(2)
यहाँ, 9/18 = 3/16 = 12/24 (∴ प्रत्येक अनुपात = 1/2 )
इसलिए (1) और (2) रेखाएँ संपाती हैं।

(iii) प्रदत्त रैखिक समीकरण युग्म हैं
6x – 3y + 10 = 0 ……(1)
और, 2x – y + 9 = 0 ……(2)
यहाँ, 6/2 = -3/-1 ≠ 10/9
अतः (1) और (2) रैखिक समीकरण युग्म समांतर हैं।

प्रश्न 3. अनुपातों a₁/a₂, b₁/b₂ और c₁/c₂ की तुलना कर ज्ञान कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत:

(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
(ii) 2x – 3y= 8; 4x – 6y = 9
(iii) 3/2 x + 3/5 y = 7; 9x – 10y = 14
(iv) 5x – 3y = 11; -10x + 6y = 22
(v) 4/3 x + 2y = 8; 2x + 3y = 12

हल: (i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
a₁ = 3, b₁ = 2, c₁ = 5; a₂ = 2, b₂ = -3, c₂ = 7

∴ a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = -3/-6 = 1/2, c₁/c₂ = 8/9
∴ 1/2 = 1/2 ≠ 8/9, यानी a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂

अतः यह रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है।

(ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
a₁ = 2, b₁ = -3, c₁ = 8; a₂ = 4, b₂ = −6, c₂ = 9

∴ a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = -3/-6 = 1/2, c₁/c₂ = 8/9
∴ 1/2 = 1/2 ≠ 8/9, यानी a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂

अतः यह रैखिक समीकरणों का युग्म असंगत है।

(iii) 3/2 x + 5/3 y = 7; 9x – 10y = 14
a₁ = 3/2, b₁ = 5/3, c₁ = 7; a₂ = 9, b₂ = -10, c₂ = 14

∴ a₁/a₂ = 3/2 / 9 = 1/6, b₁/b₂ = 5/3 / 10 = – 1/6, c₁/c₂ = 7/14 = 1/2
∴ 1/6 ≠ – 1/6, यानी a₁/a₂ ≠ b₁/b₂

अत:, यह रैखिक समीकरण का युग्म संगत है।

(iv) 5x – 3y = 11; – 10x + 6y= -22
a₁ = 5, b₁ = -3, c₁ = 11; a₂ = -10, b₂ = 6, c₂ = -22

∴ a₁/a₂ = 5/10 = – 1/2, b₁/b₂ = – 1/2, c₁/c₂ = 11/-22 = – 1/2
∴ -1/2 = – 1/2 = -1/2, यानी a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

अत:, यह रैखिक समीकरण का युग्म संगत है।

(v) x + 2y = 8; 2x + 3y = 12
a₁ = 4/3, b₁ = 2, c₁ = 8; a₂ = 2, b₂ = 3, c₂ = 12

∴ a₁/a₂ = 4/3 / 2 = 2/3, b₁/b₂ = 2/3, c₁/c₂ = 8/12 = 2/3
∴ 2/3 = 2/3 2/3, यानी a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

अतः, यह रैखिक समीकरण का युग्म संगत है।

प्रश्न 4. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन से युग्प संगत/असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।

(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10
(ii) x – y = 8, 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0

हल: (i) x + y = 5 के ग्राफ के लिये
x + y = 5 ⇒ y = 5 – x
यदि x = 0 हो तो y = 5 तथा x = 5 तो y = 0
अब तालिका:

अब ग्राफ 2x + 2y = 10 के लिये:
2x + 2y = 10 ⇒ 2y = 10 – 2x ⇒ y = 5 – x
अब यदि x = 1 हो तो y = 5 – 1 = 4 तथा x = 2 तो y = 5 – 2 = 3

अब तालिका:

बिंदु A(0, 5) तथा B(5, 0) को ग्राफ पर प्रदर्शित किया गया और इन्हें मिलाकर x + y = 5 का ग्राफ प्राप्त किया गया अब C(1, 4) तथा D(2, 3) को मिलाकर इनको भी उसी ग्राफ पर प्रदर्शित किया गया। यह ग्राफ 2x + 2y = 10 का होगा।

हमने देखा कि CD बिंदु x + y = 5 के ही ग्राफ पर हैं अतः, एक समीकरण का हल दूसरी समीकरण का भी हल है। इस प्रकार, इस रैखिक युग्म का अरिमित रूप से अनेक हल हैं। अतः, यह रैखिक समीकरण युग्म संगत हैं।

(ii) x – y = 8 का ग्राफ:
हमें ज्ञात है कि, x – y = 8 ⇒ y = x – 8
जब x = 0, y = – 8; यदि x = 8, y = 0
तालिका (1):

ग्राफ पेपर पर A(0, – 8) तथा B(8, 0) प्रदर्शित किया गया। A और B को मिलाया गया। रेखा को दोनों ओर बढ़ा कर x y = 8 का ग्राफ प्राप्त किया गया।

3x – 3y = 16 का ग्राफ:
हमें ज्ञात है कि 3x – 3y = 16 3y = 3x – 16 ⇒ y = 3x – 16/3
जब x = 0, तो y = -16/3 = -5 1/3;

जब x = 16/3 = 5 1/3, y = 0
तालिका (2):

बिंदु C(0, -16/3) तथा D(16/3, 0) को उसी ग्राफ पर प्रदर्शित किया गया। C और D को मिलाकर दोनों ओर बढ़ाकर 3x – 3y = 16 का ग्राफ बनाया गया।

x – y = 8 व 3x – 3y = 16 के ग्राफ खींचने पर समांतर रेखाएँ प्राप्त होती है। अतः इन दोनों का कोई प्रतिच्छेद बिंदु नहीं है और इनका कोई हल नहीं होगा। अतः, यह असंगत रैखिक समीकरण युग्म है।

(iii) 2x + y – 6 = 0 का ग्राफ:
दिया है, 2x + y – 6 = 0 ⇒ y = 6 – 2x
जब x = 0, y = 6 – 0 = 6; और यदि x = 3, y = 6 – 6 = 0
इस प्रकार तालिका:

बिंदु A(0, 6) और B(3, 0) को एक ग्राफ पेपर पर प्रदर्शित किया गया। A और B को मिलाकर दोनों ओर बढ़ाया गया तथा 2x + y – 6 = 0 का ग्राफ प्राप्त किया गया।

4x – 2y – 4 = 0 का ग्राफ
हमें ज्ञात है:
4x – 2y – 4 = 0
⇒ 2y = 4x – 4
⇒ y = 2x – 2
जब x = 0, y = – 2;
यदि x = 1, y = 0
तब तालिका (2):

उसी ग्राफ पर बिंदु C(0, -2) तथा D(1, 0) को चिह्नित कर मिलाया गया तथा अन्य रेखा प्राप्त किया गया।

इस प्रकार दो रेखाएँ P(2, 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अत:, x = 2 और y = 2 इसका हल है। अतः, यह रैखिक समीकरण युग्म संगत हैं।

(iv) 2x – 2y – 2 = 0 का ग्राफ
हमें दिया है
2x – 2y – 2 = 0 ⇒ 2y = 2x – 2 ⇒ y = x – 1
जब x = 1, y = 0; जब x = 0, y = – 1
तालिका:

ग्राफ पर A(1, 0) तथा B(0, – 1) को प्रदर्शित किया गया। A और B को मिलाकर दोनों ओर बढ़ाया गया और 2x – 2y – 2 = 0 का ग्राफ प्राप्त किया गया।

4x – 4y – 5 = 0 का ग्राफ
हमें दिया है
4x – 4y – 5 = 0 ⇒ 4y = 4x – 5 ⇒ y = 4x – 5/4
जब x = 0, y = – 5/4; व जब x = 5/4, y = 0
तालिका:

बिंदु C(0, -5/4) और D(5/4, 0) को उसी ग्राफ पर प्रदर्शित किया गया। C व D को मिलाकर दोनों ओर बढ़ाया गया तथा 4x – 4y – 5 = 0 का ग्राफ खींचा गया।

इनका ग्राफ खींचने पर हमें समांतर रेखाएँ प्राप्त होती हैं। अतः इनका कोई प्रतिच्छेद बिंदु नहीं है। अतः यह रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

प्रश्न 5. एक आयताकार बाग, जिसकी लंबाई, चौड़ाई से 4 m अधिक है, का अर्धपरिमाप 36 m है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

हल: माना कि आयताकार बाग की लंबाई x m तथा चौड़ाई y m है।
तब, बाग का परिमाप = 2 (लंबाई + चौड़ाई) = 2(x + y)
या, बाग का परिमाप/2 = 2(x + y)/2
या, बाग का अर्धपरिमाप = x + y
परंतु बाग का अर्धपरिमाप = 36m है
∴ x + y = 36 ……(1)
तथा प्रश्नानुसार x = y + 4
या x – y = 4 ……(2)

समीकरण (1) और (2) का ग्राफीय विधि से हल करने के लिए
x + y = 35

X – y = 4

दोनों रेखाएँ बिंदु (20, 16) पर प्रतिच्छेदित कर रही हैं। इसलिए लंबाई, x = 20 m और चौड़ाई, y = 16 m

प्रश्न 6. एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि

(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों।
(ii) समांतर रेखाएँ हों।
(iii) संपाती रेखाएँ हों।

हल: प्रदत्त रैखिक समीकरण है 2x + 3y – 8 = 0 …….(1)
(i) प्रतिच्छेदी रेखाओं के लिये a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
अतः प्रतिच्छेदी रेखा के लिये यह रेखा ली जा सकती है 5x + 2y – 9 = 0

(ii) समांतर रेखाओं के लिये a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
अत: अन्य रेखा (1) के समांतर रेखा ली जा सकती है 4x + 6y – 3 = 0

(iii) संपाती रेखाओं के लिये, a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
अतः रेखा (1) के लिये संपाती रेखा ली जा सकती है 6x + 9y – 24 = 0

नोट: उत्तर भिन्न हो सकते हैं।

प्रश्न 7. समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए। x-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।

हल: x – y + 1 = 0 के लिये ग्राफ:
दिया है, x – y + 1 = 0 ⇒ y = x + 1

यदि x = 0, y = 1 और यदि x = – 1, y = 0
तालिका:

A(0, 1) तथा B(- 1, 0) को ग्राफ पर प्रदर्शित किया और रेखा को दोनों ओर बढ़ा कर x – y + 1 = 0 रेखा का ग्राफ बनाया।

3x + 2y – 12 = 0 के लिये ग्राफ:
दिया है, 3x + 2y – 12 = 0 ⇒ 2y = 12 – 3x
⇒ 12 – 3x/2

जब x = 4, y = 12 -12 /2 = 0 व x = 0, y = 12/2 = 6
तालिका:

C(4, 0) तथा D(0, 6) का ग्राफ बनाकर दोनों ओर बढ़ाकर, रेखा 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ प्राप्त किया।

ग्राफ द्वारा 4 PBC बना P(2, 3), B(- 1, 0) तथा C(4, 0) त्रिभुज के शीर्ष तथा इस त्रिभुज को छायांकित किया।

• Examples
  
• प्रश्नवाली – 3.2
• प्रश्नवाली – 3.3

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus (2023-2024) All Chapter in Hindi Medium

• अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
• अध्याय – 2 बहुपद
• अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
• अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
• अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
• अध्याय – 6 त्रिभुज
• अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
• अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
• अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

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