NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ (Arithmetic Progressions) Exercise – 5.2 in Hindi

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ (Arithmetic Progressions)

 NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ (Arithmetic Progressions) Exercise – 5.2 in Hindi समांतर श्रेणी की परिभाषा क्या है?, समान्तर श्रेणी कितने प्रकार के होते हैं? हल करने वाले है।

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ (Arithmetic Progressions) 

Chapter – 5

समांतर श्रेढ़ियाँ

Exercise – 5.2

प्रश्न 1. निम्नलिखित सारणी में रिक्त स्थानों को भरिये। जहाँ A.P. का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और 72वाँ पद an है

हल रिक्त स्थान निम्न प्रकार भरेंगे:
(i) a_n = a + (n-1)d = 7 + (21) = 28
= 7 + 7 x 3 = 7 + 21 = 28

(ii) a_n = a + (n-1)d
⇒ 0 = -18 + (10-9)d

18= 9_d ⇒ d = 18/9 = 2

(iii) a_n = a + (n – 1)d
⇒ – 5 = a + (18 – 1)(- 3)
⇒ – 5 = a + 17 (- 3) ⇒  – 5_a – 5₁
⇒ a = – 5 + 51 = 46

(iv) a_n = a+ (n -1)d
3.6 = – 18.9 + (n – 1)2.5
22.5 = (n – 1)2.5
n – 1 = 22.5/2.5 = n – 1 = 9
n = 9 + 1 = 10

(v) a_n = a + (n – 1)d = 3.5 + (105 – 1) x 0
= 3.5 + 0 = 3.5

प्रश्न 2. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए :

(i) A.P. : 10, 7, 4, , का 30 वाँ पद है :
(A) 97
(B) 77.
(C) -77
(D)-87

(ii) A.P∴ -3, – 1/2, …, का 11 वाँ पद है :

(A) 28
(B) 22
(C) -38
(D) – 48 = 1/2

हल: (i) यहाँ a = 10, d=7-10= – 3, n = 30

हम जानते हैं कि a_n = a + (n – 1)d
a₃₀ 10 + (30 – 1)(- 3)
= 10 + 29(- 3) =10 – 87 = – 77

∴ (C) सही उत्तर है।

(ii) यहाँ, a = -3,d = – 1/2 (- 3) = – 1/2 + 3 = – 1 + 6/2 = 5/2^,

n = 11
हम जानते हैं कि a_n = + (n – 1)d

∴ a₁₂ = – 3 + (11 – 1) 5/2
= – 3 + 10 x 5/2 = – 6 + 50/2
= – 3 + 25 = 22

∴ B सही उत्तर है|

प्रश्न 3. निम्नलिखित समांतर श्रेड़ियों में रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए

(i) 2, ☐, 26
(ii) ☐, 13,☐, 3
(iii) 5, ☐,☐, 9 1/2
(iv) -4, ☐, ☐, ☐, ☐, 6
(v) ☐, 38, ☐, ☐, ☐, 22

हल :
(i) यहाँ, दिया है a = 2 तथा a₃ = 26 है, ज्ञात करना है: a₂
दिया है: a_g a + (3 – 1) d = 26
⇒ 2 + 2_d = 26
⇒ d = 12
इसलिए a₂ = a + (2 – 1) d = 2 + 12 = 14

(ii) यहाँ, दिया है a₂ = 13 तथा a₄ = 3 है, ज्ञात करना है: a₁ तथा a₃
दिया है: a₂ = a + (2 – 1)d = 13
⇒ a + d = 13
⇒ a = 13 – d … (1)
तथा a₄ = 3 ⇒ a + 3_d = 3

समीकरण (1) से a का मान रखने पर
13 – d + 3_d = 3 m ⇒ d = 5
समीकरण (1) में d का मान रखने पर
a = 13 (- 5 ) = 18
इसलिए a₁ = 18 तथा a_g a + (31) d = 18 + 2 ( 5 ) = 8
= 18 + 2(- 5) = 8

(iii) यहाँ, दिया है a = 5 तथा a₄ = 9½ है, ज्ञात करना है: a₂ तथा a₃
दिया है a₄ = a + (4 – 1)d = 9½
⇒ 5 + 3_d = 19/2 ⇒ 3_d = 19/2 – 5 = 9/2 ⇒ d = 3/2
इसलिए a₂ = a + d = 5 + 3/2 = 6½ तथा a₃ = a + 2_d = 5 + 2(3/2) = 8

(iv) यहाँ दिया है a₄ तथा a_g = 6 है, ज्ञात करना है: 42, 3, 4
दिया है : a₆ = a + (6 – 1)d = 6
⇒ – 4 + 5_d = 6 ⇒ 5_d = 10 ⇒ d = 2
इसलिए a₂ = a + b = – 4 + 2 = – 2
a₃ = a + 2_d = 4 + 2 (2) = 0
a₄ = a + 3_d = – 4 + 3(2) = 2
a₅ = a + 4_d = – 4 + 4(2) 4

(v) यहाँ, दिया है a₂ = 38 तथा a_g – 22 है, ज्ञात करना है: ।
दिया है: a₂ = a + (2 – 1)d = 38
⇒ a + d = 38
⇒ a = 38 – d … (1)
तथा a₆ = – 22 ⇒ a + 5_d = – 22

समीकरण (1) से a का मान रखने पर
38 – d + 5_d = -22 ⇒ d = – 15
समीकरण (1) से a का मान रखने पर
a = 38 – (- 15) = 53
इसलिए a₁ = a = 53
a₃ = a + 2_d = 53 + 2(- 15) = 23
a₄ = a + 3_d = 53 + 3(- 15) = 8
a₅ = a + 4_d = 53 + 4(- 15) = – 7

प्रश्न 4. A.P. 3, 8, 13, 18,…. का कौन सा पद 78 है?

हल : स्पष्टतः एक A.P. की दी सूची है।

a =3, d = 8-3 – 5
माना दी गई A.P. का n वाँ पद 78 है।
a_n = 78
3 + (n – 1)5 = 78
5(n – 1) = 75
n = 15 + 1
अतः दी गई श्रेढ़ी का 16 वाँ पद 78 है।

प्रश्न 5. निम्नलिखित समांतर श्रेड़ियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं?

(i) 7, 13, 19,…, 205
(ii) 18, 15,1/2 , 13,… – 47

हल : स्पष्टत: यह A.P. बनाता है जिसका पहला पद a = 3 और
सार्व अंतर d = 137 = 6

(i) माना दी श्रेढ़ी में n पद है तथा 12 वाँ पद = 205 है।
⇒ a + (n – 1)d = 205

⇒  7+ (n – 1)6 205

6(n – 1) = 205 – 7 ⇒ 6(n-1)= 198
n – 1= 198/6 = 33  ⇒ n = 33 + 1 = 198

अतः दी गई सूची में 34 पद हैं।

(ii) माना दी गई श्रेढ़ी में n पद है।
18, 15, 1/2, 13,… – 47 . स्पष्टतः यह A.P. बनाती है जिसका

पहला पद = 18 तथा सार्व अंतर d = 15 1/2 18 = 31 – 18
= 31 – 36/2 = -5/2 है तो n वाँ पद = – 47 है।
a + (n – 1)d = – 47

⇒  18 + (n – 1) (- 5/2) = 47
⇒ (- 5/2)(n – 1) = – 47 – 18 = – 65

n – 1 – 65 x -2/5 = – 13 x -2 = 26
⇒ n = 26 + 1 = 27

अतः दी गई A.P. में 27 पद हैं।

प्रश्न 6. क्या A.P. 11, 8, 5, 2,… का एक पद 150 है? क्यों?

हल : यहाँ, a₂ – a₁ = 8 – 11 = -3
a₃ – a₂ = 5 – 8 = – 3
a₄ – a₃ = 2 – 5 = – 3

a_n + ,1 – a , हर बार समान है। अतः दी गई संख्या A.P. का पद है।
अब, a = 11, d – 3
माना दी गई A.P. का
पद – 150
हम जानते हैं कि an = a + (n – 1)d

– 150 = 11 + (n – 1)(- 3)
⇒ – 3(n – 1) = – 150 – 11 = – 161
⇒ n – 1 = 161/3
⇒ n 161/3 + 3 + 1 = 164/3

लेकिन n वाँ पद धनात्मक पूर्णांक है। अतः हमारा मानना गलत था।
अतः 150 दी गई A.P. का पद नहीं है।

प्रश्न 7. उस A.P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11 वाँ पद 38 है और 16 वाँ पद 73 है।

हल : माना a पहला पद है और सार्व अंतर d है।
अब, a_n = a + (n – 1)d
 a₃ = a + 2_d = 12
और a₅₀ = a + 49_d = 106
समीकरण (2) में से (1) घटाने पर
47_d = 94 = d = 24 = 2

और तब समीकरण (1) से,
a + 10 x 7 = 38
⇒ = a 38 – 70 – 32
a₃₁ a + 30_d – 32 + 30 x 7
= – 32 + 210 = 178

प्रश्न 8. एक A.P. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल : माना पहला पद अब, तथा सार्व अंतर d है।
a = a + (n – 1)d
a_z = a + 2_d = 12 …(1)
a₅₀ = a + 49_d = 106 …(2)

समीकरण (2) में से (1) घटाने पर
47_d = 94 और तब समीकरण (1) से
a + 2 × a₁₂ ⇒ a = 12 – 4 – 8
a₂₉ a+ 28_d = 8 +28 x 2
= 8 + 56 = 64

प्रश्न 9. यदि किसी A.P. के तीसरे और नौंवे पद क्रमशः 4 और – 8 हैं, तो इसका कौन सा पद शून्य होगा?

हल : माना पहला पद a और सार्व अंतर d है।
a₃ = a + 2_d = 4
a₉ = a + 8_d = – 8
समीकरण (2) में से (1) घटाने पर

6_d = – 12 ⇒ d = – 12/6 = -2

और समीकरण (1) द्वारा,
a + 2 x – 2 = 4 ⇒ a = 4 + 4 = 8
माना a_n = 0 ⇒ a + (n – 1)d = 0
⇒ 8 + (n – 1)(- 2) = 0 ⇒ (n – 1)(- 2) = -8

प्रश्न 10. किसी A.P. का 17 वाँ पद उसके 10 वें पद से ? अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

हल: माना पहला पद a और सार्व अंतर d है। 

उत्तर 10: माना, पहला पद = a तथा सार्व अंतर
प्रश्नानुसार, a₁₇ = a₁₀ + 7
⇒ a + 16_d = a + 9_d + 7
⇒ 7_d = 7 ⇒ d = 1
अतः इस A. P का सार्व अंतर 1 है।

प्रश्न 11. A.P.: 3, 15, 27, 39, … का कौन-सा पद उसके 54 वें पद से 132 अधिक होगा?

हल : पहला पद = 3 तथा सार्व अंतर = 15 – 3 = 12
माना, इस A.P का n वाँ पद उसके 54 वें पद से 132 अधिक होगा।
प्रश्नानुसार, a_n = a₅₄ + 132
⇒ a + (n – 1) d = a + 53_d +132
⇒ (n – 1) ( 12 ) = 53 x 12 + 132
⇒ (n – 1) ( 12 ) = 768
⇒ n – 1 = 768/12 = 64
⇒ n = 65
अतः इस A.P का 65 वाँ पद उसके 54 वें पद से 132 अधिक होगा।

प्रश्न 12. दो समांतर श्रेढ़ियों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100 वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000 वें पदों का अंतर क्या होगा?

हल : माना, पहली समांतर श्रेणी का पहला पद: = A तथा सार्व अंतर = d
माना, दूसरी समांतर श्रेणी का पहला पद = a तथा सार्व अंतर = d
इनके 100 वें पदों का अंतर = A₁₀₀ – a₁₀₀ = 100
⇒ (A + 99_d) – (a + 99_d) = 100
⇒ A – a = 100

इनके 1000 वें पदों का अंतर = A₁₀₀₀ – a₁₀₀₀ 
⇒ ( A + 999_d) – (a + 999_d)
⇒ A – a = 100 [ A – a = 100]
[अतः, इन A.P के 1000वें पदों का अंतर 100 होगा।” 4 – a = 100]

प्रश्न 13. तीन अंको वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?

हल : तीन अंको वाली 7 से विभाज्य संख्याएँ: 105, 112, 119,…, 994
माना, तीन अंको वाली 7 से विभाज्य कुल संख्याएँ n हैं।
यहाँ, दिया है a = 105 तथा d = 112 – 105 = 7 है, ज्ञात करना है: n, जहाँ a_n = 994

दिया है, a_n = a + (n – 1)d = 994
⇒ 105 + (n – 1) (7) = 994
⇒ 7 ( n – 1 ) = 889
⇒ n – 1 = 889/7 = 127
⇒ n = 128
अतः तीन अंको वाली 128 संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं।

प्रश्न 14. 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?

हल : 10 और 250 के बीच में 4 के गुणज: 12, 16, 20, … ,248
माना, 10 और 250 के बीच में 4 के कुल गुणज n हैं।
यहाँ, दिया है a = 12 तथा d = 16 – 12 = 4 है, ज्ञात करना है : n, जहाँ a_n = 248.
दिया है: a_n = a + (n – 1)d = 248
⇒ 12 + (n – 1)(4) = 248 ⇒ 4(n – 1) = 236
⇒ n – 1 = 236/4 = 59 ⇒ n = 60
अतः, 10 और 250 के बीच में 4 के 60 गुणज हैं।

प्रश्न 15. 7 के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेढ़ियों 63, 65, 67, और 3, 10, 17, … के nवें पद बराबर होंगे?

हल : पहली समांतर श्रेणी का पहला पद = A = 63 तथा सार्व अंतर = D = 65 – 63 = 2
इसलिए, A = A + (n – 1)D दूसरी समांतर श्रेणी का पहला पद
इसलिए, a_n = a + (n – 1)d
प्रश्नानुसार, A_n a_n ⇒ A_n = 63 + (n – 1)2
= a = 3 तथा सार्व अंतर = d = 103 = 7 ⇒ a_n = 3 + (n – 1)7
⇒ 63 + (n – 1)2 = 3 + (n – 1)7 ⇒ 65 = 5_n
अतः, दोनों समांतर श्रेढ़ियों के 13 वें पद
63 + 2_n 2 = 3 + 7_n – 7
⇒ n = 13 बराबर होंगे हैं।

प्रश्न 16. वह A. P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।

हल : माना, समांतर श्रेणी का पहला पद = a तथा सार्व अंतर = d तीसरा पद
⇒ 16 ⇒ 3 = 16 ⇒ a + 2_d = 16 …(1)
7 वाँ पद 5 वें पद से 12 अधिक है। इसलिए, a = a_s + 12
⇒ a + 6_d = a + 4_d + 12
⇒ 2_d = 12 ⇒ d = 6
समीकरण (1) में d का मान रखने पर, a + 2(6) = 16 ⇒ a = 4
अतः, A P. = a, a + d, a + 2_d, … = 4, 10, 16, ….

प्रश्न 17 : A. P. 3, 8, 13, 253 में अंतिम पद से 20 वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल : 3, 8, 13, … , 253 में अंतिम पद से 20 वाँ पद = 253, 13,8, 3 में आरंभ से 20 वाँ पद
A.P.: 253, , 13, 8, 3 में, पहला पद 253 तथा सार्व अंतर = 38 = – 5
इसलिए, a_zo = a + 19_d ⇒ a₂₀ = 253 +19 ( 5 ) 253 = 158

प्रश्न 18. किसी A. P. के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A.P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।

हल : = a तथा सार्व अंतर = d
पहली शर्त के अनुसार, a_g + a_g = 24
⇒ a + 3_d + a + 7_d = 24
⇒ 2_a + 10_d = 24 = a = 12 – 5_d

दूसरी शर्त के अनुसार,
⇒ a + 5_d + a + 9_d ⇒ 2_a + 14_d = 44
= a + 5_d = 12 … (1)
6 + 10 = 44 = 44
⇒ a + 7_d = 22

समीकरण (1) से a का मान रखने पर,
(125_d) +7d = 22 ⇒ 2_d = 10 ⇒ d = 5

समीकरण (1) में d का मान रखने पर a
12 – 5 ( 5 ) = – 13
इस A. P. के प्रथम तीन पद: a_a + d_a+2_d = 13, 83 हैं।

प्रश्न 19. सुब्बा राव ने 1995 में ₹5000 के मासिक वेतन पर कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष ₹200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की । किस वर्ष में उनका वेतन ₹7000 हो गया?

हल : आरंभिक मासिक वेतन [a = ₹5000 तथा प्रत्येक वर्ष वेतन वृद्धि] (सार्व अंतर) = d = ₹200
माना, n वर्ष में उनका वेतन ₹7000 हो गया।
इसलिए, a_n = 7000
⇒ a + (n – 1)d = 7000 5000+ (n – 1) (200) = 7000
⇒ (n – 1) (200) = 2000
⇒ n – 1 = 10 ⇒ n = 11
अतः, 11 वें वर्ष में उनका वेतन ₹7000 हो गया।

प्रश्न 20. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में ₹5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत ₹1.75 बढ़ाती गई । यदि वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत ₹20.75 हो जाती है, तो ज्ञात कीजिए।

हल : प्रथम सप्ताह की बचत = a = ₹5 तथा बढ़ाई गई साप्ताहिक बचत (सार्व अंतर) = d = ₹1.75
n वर्ष में साप्ताहिक बचत ₹20.75 हो जाती है।
इसलिए, a_n = 20.75
⇒ a + (n – 1)d = 20.75
⇒ 5 + (n – 1)(1.75) = 20.5
⇒ (n – 1)(1.75) = 15.75
⇒ n – 1 = 15.75/1.75
⇒ n = 10
अतः, n का मान 10 है।

• Examples
• Exercise – 5.1
• Exercise – 5.3
• Exercise – 5.4

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus (2023-2024) All Chapter in Hindi Medium

• अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
• अध्याय – 2 बहुपद
• अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
• अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
• अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
• अध्याय – 6 त्रिभुज
• अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
• अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
• अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

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