NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 10 वृत्त (Circle) Example in Hindi

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 10 वृत्त (Circle) Example

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 10 वृत्त (Circle) Example in Hindi जिसमे हम वृत्त कैसे बनते हैं?, वृत्त कितने प्रकार के होते हैं?, वृत्त का माप कितना होता है?, वृत्त की खोज किसने की थी?, वृत्त की त्रिज्या कैसे कहते हैं?,, वृत्त और उसके गुण क्या है?, वृत्त के 3 गुण बताइए?, वृत्त का नाम क्या है?, वृत्त का परिमाप क्या होता है?, वृत्त की कितनी भुजाएँ होती हैं?, वृत्त के 12 भाग कौन-कौन से हैं?, आसान शब्दों में वृत्त क्या है?, सबसे बड़ा वृत्त कौन सा है? आदि के बारे में पढेंगे

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 10 वृत्त (Circle) Example

Chapter – 10

वृत्त

Example

उदाहरण 1: सिद्ध कीजिए कि दो सकेंद्रीय वृत्तों में बड़े वृत्त की जीवा जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, स्पर्श बिंदु पर समद्विभाजित होती है।

हल : हमें केंद्र O वाले दो सकेंद्रीय वृत्त C₁ और C₂ तथा बड़े वृत्त C₁ की जीवा AB,

जो छोटे वृत्त C₂ को बिंदु P पर स्पर्श करती है, दिए हैं (देखिए आकृति 10.8)|

हमें सिद्ध करना है कि AP = BP

आइए OP को मिलाएँ। इस प्रकार AB, C₂ के बिंदु P पर स्पर्श रेखा है और op त्रिज्या है। अतः प्रमेय 10.1 सेOP ⊥ AB

अब AB वृत्त C₁ की एक जीवा है और OP ⊥ A B है।

अत:, OP जीवा AB को समद्विभाजित करेगी क्योंकि केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब उसे समद्विभाजित करता है,अर्थात् AP = BP

उदाहरण 2: केंद्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिंदु T से दो स्पर्श रेखाएँ TP तथा TQ खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠ PTQ = 2 ∠ OPQ है।

हल : हमें केंद्र O वाला एक वृत्त, एक बाह्य बिंदु T तथा वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ TP और TQ, जहाँ P, Q स्पर्श बिंदु हैं, दिए हैं (देखिए आकृति 10.9 ) । हमें सिद्ध करना है कि

माना              ∠ PTQ = 2 ∠ OPQ

∠ PTQ = θ

अब प्रमेय 10.2 से TP  = TQ अत: TPQ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

इसलिए ∠ TPQ =  ∠TPQ = 1/2 (180º – θ) = 90º – 1/2/θ

प्रमेय 10.1 से ∠ OPQ = 90º – (90º – 1/2/θ ) = 1/2/θ = 1/2 ∠ PTQ

इससे ∠ PTQ = 2 ∠ OPQ प्राप्त होता है।

उदाहरण 3 : 5 cm त्रिज्या के एक वृत्त की 8 cm लंबी एक जीवा PQ है। P और Q पर स्पर्श रेखाएँ परस्पर एक बिंदु T पर प्रतिच्छेद करती हैं। ( देखिए आकृति 10.10 ) । T P की लंबाई ज्ञात कीजिए ।

हल : OT को मिलाएँ। माना यह PQ को बिंदु R पर प्रतिच्छेदित करती है। तब ΔTPQ समद्विबाहु है और TO, ∠ PTQ का कोणार्धक है। इसलिए OT ⊥ PQ और इस प्रकार OT, PQ का अर्धक है जिससे प्राप्त होता है PR = RQ = 4 cm

साथ ही OR = √OP^{2   – _PR2 = √52 – 42 cm = 3 cm}

अब ∠ TPR + ∠ RPO = 90º = ∠ TPR + ∠ PTR (क्यों?)

इसलिए समकोण त्रिभुज TRP और समकोण त्रिभुज PRO, AA समरूपता द्वारा समरूप हैं। इससे TP/RP = RP/RO प्राप्त होता है। अर्थात् TP/5 = 4/3 अर्थात् TPS = 20/3 cm

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