NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 1 समुच्चय (Sets) विविध प्रश्नावली

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 1 समुच्चय (Sets) विविध प्रश्नावली

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 1 समुच्चय (Sets) विविध प्रश्नावली

? Chapter – 1?

✍समुच्चय✍

? विविध प्रश्नावली ?

1. निम्नलिखित समुच्चयों में से तय कीजिए कि कौन से समुच्चय एक और दूसरे के उपसमुच्चय हैं:

A= {x: x ∈ R and x संतुष्ट  x² – 8x + 12 = 0},
B = {2, 4, 6},
C = {2, 4, 6, 8…},
D = {6}.

?‍♂️हल: प्रश्न के अनुसार,
हमारे पास,
A = {x: x ∈ R और x संतुष्ट x ²– 8x + 12 =0}
2 और 6 x ²– 8x + 12 = 0 के एकमात्र हल हैं।
इसलिए, A  = {2, 6}
B = {2, 4, 6}, C = {2, 4, 6, 8 …}, D = {6}
इसलिए, D ⊂ A ⊂ B ⊂ C
इसलिए, A ⊂ B, A ⊂ C, B ⊂ C, D ⊂ A, D ⊂ B, D ⊂ C

2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में, निर्धारित करें कि कथन सत्य है या गलत। अगर यह सच है तो साबित करें। यदि यह असत्य है तो उदाहरण दीजिए।

(i) यदि x A और A ∈ B, तो x B
(ii) यदि A B और B ∈ C, तो A C
(iii) यदि A B और B ⊂ C, तो A C
(iv) ) यदि A B और B ⊄ C, तो A C
(v) यदि x A और A ⊄ B, तो x ∈ B
(vi) यदि A B और x B, तो x A

?‍♂️हल: (i) असत्य
प्रश्न के अनुसार,
A = {1, 2} और B = {1, {1, 2}, {3}}
अब, हमारे पास,
2 {1, 2} और {1, 2} {1, {1, 2}, {3}}
इसलिए, हम प्राप्त करते हैं,
A ∈ B
हम यह भी जानते हैं,
{2} {1, {1, 2}, {3}}

(ii) असत्य
प्रश्न के अनुसार
मान लीजिए कि,
A {2}
B = {0, 2}
और, C = {1, {0, 2}, 3}
प्रश्न से,
A ⊂ B
इसलिए,
B ∈ C 
लेकिन, हम जानते हैं,
A ∉ C

(iii) सत्य
प्रश्न
A ⊂ B और B ⊂ C के अनुसार
मान लेते हैं कि,
x ∈ A
तो,
x ∈ B
और,
x ∈ C
इसलिए,
A ⊂ C

(iv) असत्य
प्रश्न के अनुसार
A ⊄ B
साथ ही,
B ⊄ C
मान लीजिए कि,
A = {1, 2}
B = {0, 6, 8}
और,
C = {0, 1, 2, 6, 9}
∴ A ⊂ C

(v) असत्य
प्रश्न के अनुसार,
x ∈ A
साथ ही,
A ⊄ B
मान लेते हैं कि,
A = {3, 5, 7}
साथ ही,
B = {3, 4, 6}
हम जानते हैं कि,
A ⊄ B
∴ 5 ∉ B

(vi) सत्य
प्रश्न के अनुसार,
A ⊂ B
साथ ही,
x ∉ B
मान लेते हैं कि,
x ∈ A,
हमारे पास
x ∈ B है,
प्रश्न से
x ∉ B
∴ x ∉ A

3. मान लीजिए कि A, B और C ऐसे समुच्चय हैं कि A B = A ∪ C और A B = A ∩ C. दर्शाइए कि B = C.

?‍♂️हल: प्रश्न के अनुसार,
A B = A ∪ C
और,
A B = A ∩ C
दिखाने के लिए,
B = C
मान लेते हैं,
x ∈ B
तो,
x ∈ A ∪ B
x ∈ A ∪ C
इसलिए,
x ∈ A या  x ∈ C
जब x ∈ A तब,
x ∈ B
∴ x ∈ A ∩ B
As, A∩ B = A ∩ C
तो, x ∈ A ∩ C
∴ x ∈ A या  x ∈ C
x ∈ C
∴ B ⊂ C
इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि C ⊂ B
इसलिए, B = C

4. दिखाएँ कि निम्नलिखित चार शर्तें समतुल्य हैं:

(i) A ⊂ B (ii) A – B = Φ
(iii) A ∪ B = B (iv) A ∩ B = A

?‍♂️हल:प्रश्न के अनुसार
सिद्ध करने के लिए (i) ⬌ (ii)
यहाँ, (i) = A ⊂ B and (ii) = A – B ≠ ϕ
मान लें कि A ⊂ B
सिद्ध करने के लिए, A – B ≠ ϕ
मान लीजिए  A – B ≠ ϕ
इसलिए, X ∈ A, मौजूद है, लेकिन X ≠ B,  A⊂ B,के बाद से यह संभव नहीं है
∴ A – B = ϕ
और A⊂ B ⇒ A – B ≠ ϕ
आइए हम मान लें कि A – B ≠ ϕ
सिद्ध करने के लिए: A ⊂ B
मान लीजिए X∈ A
तो, X ∈ B (if X ∉ B, then A – B ≠ ϕ)
इसलिए, , A – B = ϕ => A ⊂ B
∴(i) ⬌ (ii)
मान लें कि A ⊂ B
सिद्ध करने के लिए  A ∪ B = B
⇒ B ⊂ A ∪ B
मान लेते हैं कि, x ∈ A∪ B
⇒ X ∈ A or X ∈ B
केस  I: X ∈ B
A ∪ B = B
केस II: X ∈ A
⇒ X ∈ B (A ⊂ B)
⇒ A ∪ B ⊂ B
मान लीजिए  A ∪ B = B
मान लीजिए X ∈ A
⇒ X ∈ A ∪ B (A ⊂ A ∪ B)
⇒ X ∈ B (A ∪ B = B)
∴A⊂ B
इसलिए (i) ⬌ (iii)
साबित करने के लिए  (i) ⬌ (iv)
आइए मान लें A ⊂ B
A ∩ B ⊂ A
Let X ∈ A
को साबित करने के लिए  X ∈ A∩ B
चूंकि, A ⊂ B and X ∈ B
इसलिए, X ∈ A ∩ B
⇒ A ⊂ A ∩ B
⇒ A = A ∩ B
मान लीजिए A ∩ B = A
मान लीजिए X ∈ A
⇒ X ∈ A ∩ B
⇒ X ∈ B and X ∈ A
⇒ A ⊂ B
∴ (i) ⬌ (iv)
∴ (i) ⬌ (ii) ⬌ (iii) ⬌ (iv)
इसलिए, यह  सिद्ध है 

5. दिखाइए कि यदि A B, तो C – B ⊂ C – A.

?‍♂️हल: दर्शाने के लिए,
C – B ⊂ C – A
प्रश्न के अनुसार,
मान लीजिए कि x कोई ऐसा अवयव है कि X ∈ C – B
∴ x ∈ C और x ∉ B
, क्योंकि, A ⊂ B, हम है,
x C और x ∉ A
तो, x C – A
∴ C – B ⊂ C – A
इसलिए, सिद्ध।

6. मान लें कि P (A) = P (B)। दर्शाइए कि A = B

?‍♂️हल: दर्शाने के लिए,
A = B
प्रश्न के अनुसार,
P (A) = P (B)
मान लीजिए x समुच्चय A का कोई अवयव है,
x ∈ A
चूँकि, P (A) समुच्चय A का घात समुच्चय है। , इसमें समुच्चय A के सभी उपसमुच्चय हैं।
A P (A) = P (B)
मान लीजिए कि C समुच्चय B का एक अवयव है
किसी C ∈ P (B) के लिए,
हमारे पास x C
C ⊂ B
∴ x ∈ B
∴ A ⊂ B
इसी तरह, हमारे पास:
B ⊂ A
हमें मिलता है,
अगर A ⊂ B और  B ⊂ A
∴ A = B

7. क्या यह सच है कि किसी समुच्चय A और B के लिए, P (A) P (B) = P (A ∪ B)? आपने जवाब का औचित्य साबित करें।

?‍♂️हल: यह सत्य नहीं है कि किसी समुच्चय A और B के लिए, P (A) P (B) = P (A ∪ B)
औचित्य:
मान लीजिए,
A = {0, 1}
और, B = {1, 2}
∴ A ∪ B = {0, 1, 2}
प्रश्न के अनुसार,
हमारे पास,
P (A) = {ϕ, {0}, {1}, {0, 1}}
P (B) = {ϕ, {1}, {2}, {1, 2}}
∴ P (A ∪ B) = {ϕ, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {1, 2}, {0, 2}, {0, 1, 2}}
साथ ही,
P (A) ∪ P (B) = {ϕ, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {1, 2}}
∴ P (A) ∪ P (B ≠ P (A ∪ B)
इसलिए, दिया गया बयान गलत है

8. दिखाएँ कि किसी भी समुच्चय A और B के लिए,
A = (A B) (A – B) और A (B – A) = (A B)

?‍♂️हल:साबित करने के लिए,
A = (A ∩ B) ∪ (A – B)
सिद्ध : Let x ∈ A
दिखाने के लिए,
X ∈ (A ∩ B) ∪ (A – B)
स्थिति I में,
X ∈ (A ∩ B)
⇒ X ∈ (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B) ∪ (A – B)
स्थिति II में,
X ∉A ∩ B
⇒ X ∉ B or X ∉ A
⇒ X ∉ B (X ∉ A)
⇒ X ∉ A – B ⊂ (A ∪ B) ∪ (A – B)
∴A ⊂ (A ∩ B) ∪ (A – B) (i)
यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि, A ∩ B ⊂ A और (A – B) ⊂ A
इस प्रकार, (A ∩ B) ∪ (A – B) ⊂ A (ii)
समीकरण (i) और (ii),
A = (A ∩ B) ∪ (A – B)
हमें यह भी दिखाना है,
A ∪ (B – A) ⊂ A ∪ B
मान लें,
X ∈ A ∪ (B – A)
X ∈ A or X ∈ (B – A)
⇒ X ∈ A or (X ∈ B और X ∉A)
⇒ (X ∈ A or X ∈ B) और (X ∈ A and X ∉A)
⇒ X ∈ (B ∪A)
∴ A ∪ (B – A) ⊂ (A ∪ B) (iii)
प्रश्न के अनुसार,
सिद्ध करने के लिए:
(A ∪ B) ⊂ A ∪ (B – A)
मान लीजिए y ∈ A∪B
Y ∈ A या y ∈ B
(y ∈ A या y ∈ B) और (X ∈ A and X ∉A)
⇒ y ∈ A या (y ∈ B और y ∉A)
⇒ y ∈ A ∪ (B – A)
इस प्रकार, A ∪ B ⊂ A ∪ (B – A) (iv)
समीकरणों (iii) और (iv) से, हम प्राप्त करें:
A ∪ (B – A) = A ∪ B

9. समुच्चयों के गुणों का प्रयोग करके दिखाइए कि:
(i) A (A ∩ B) = A
(ii) A (A B) = A।

?‍♂️हल:(i)  दिखाने के लिए : A ∪ (A ∩ B) = A
हम जानते हैं कि,
A ⊂ A
A ∩ B ⊂ A
∴ A ∪ (A ∩ B) ⊂ A (i)
इसके अलावा, के अनुसार प्रश्न,
हमारे पास है:
A⊂ A ∪ (A ∩ B) (ii)
इसलिए, समीकरण (i) और (ii) से हमारे पास है:
A ∪ (A ∩ B) = A

(ii) दिखाने के लिए,
A ∩ (A ∪ B) = A
A ∩ (A ∪ B) = (A ∩ A) ∪ (A ∩ B)
= A ∪ (A ∩ B)
= A

10. दिखाएँ कि A B = A ∩ C का अर्थ B = C होना आवश्यक नहीं है।

?‍♂️हल: मान लीजिए,
A = {0, 1}
B = {0, 2, 3}
और, C = {0, 4, 5}
प्रश्न के अनुसार,
A ∩ B = {0}
और,
A ∩ C = {0}
∴ A ∩ B = A ∩ C = {0}
लेकिन,
2 ∈ B and 2 ∉ C
इसलिए, B ≠ C

11. माना A और B समुच्चय हैं। यदि किसी सेट X के लिए A X = B ∩ X = और A X = B ∪ X, तो दर्शाइए कि A = B. (संकेत A = A ∩ (A X), B = B ∩ (B ∪ X) और वितरण कानून का उपयोग करें)

?‍♂️हल: प्रश्न के अनुसार,
मान लीजिए कि A और B ऐसे दो समुच्चय हैं कि A X = B ∩ X = और A X = B ∪ X कुछ समुच्चय X
के लिए। दिखाने के लिए, A = B
प्रमाण:
A = A ∩ (A ∪ X) = A ∩ (B ∪ X) [A ∪ X = B ∪ X]
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ X) [वितरण नियम]
= (A ∩ B) ∪ Φ [A ∩ X = Φ]
= A ∩ B (i)
Now, B = B ∩ (B ∪ X)
= B ∩ (A ∪ X) [A ∪ X = B ∪ X]
= (B ∩ A) ∪ (B ∩ X) … [वितरण नियम]
= (B ∩ A) ∪ Φ [B ∩ X = Φ]
= A ∩ B (i)
इसलिए, समीकरणों (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं A = B

12. समुच्चय A, B और C ऐसे ज्ञात कीजिए कि A B, B ∩ C और A ∩ C गैर-रिक्त समुच्चय हों और A B ∩ C = ।

?‍♂️हल: मान लीजिए, A {0, 1}
B = {1, 2}
और, C = {2, 0}
प्रश्न के अनुसार,
A ∩ B = {1}
B ∩ C = {2}
और,
A ∩ C = {0}
∴ A ∩ B, B ∩ C और A ∩ C रिक्त समुच्चय नहीं हैं
इसलिए, हम प्राप्त करते हैं,
A ∩ B ∩ C = Φ

13. एक स्कूल में 600 छात्रों के एक सर्वेक्षण में, 150 छात्र चाय और 225 कॉफी लेते हुए पाए गए, 100 चाय और कॉफी दोनों ले रहे थे। ज्ञात कीजिए कि कितने विद्यार्थी न तो चाय और न ही कॉफी ले रहे थे?

?‍♂️हल: मान लें कि,
U = सर्वेक्षण में भाग लेने वाले सभी विद्यार्थियों का
समुच्चय T = चाय लेने वाले विद्यार्थियों का
समुच्चय C = कॉफी लेने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय
एक विद्यालय में विद्यार्थियों की कुल संख्या, n ( U) = 600
चाय लेने वाले विद्यार्थियों की संख्या, n (T) = 150
कॉफी लेने वाले विद्यार्थियों की संख्या, n (C) = 225
साथ ही, n (T ∩ C) = 100
अब, हमें न तो लेने वाले विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात करनी है कॉफी और न ही चाय यानी n (T C’)
प्रश्न के अनुसार,
n (T ∩ C’ )= n(T ∩ C )’
= n (U) – n (T ∩ C)
= n (U) – [n (T) + n(C) – n (T ∩ C)]
= 600 – [150 + 225 – 100]
= 600 – 275
= 325
न तो कॉफी और न ही चाय लेने वाले छात्रों की संख्या = 325 छात्र

14. छात्रों के एक समूह में, 100 छात्र हिंदी जानते हैं, 50 अंग्रेजी जानते हैं और 25 दोनों जानते हैं। प्रत्येक छात्र या तो हिंदी या अंग्रेजी जानता है। समूह में कितने छात्र हैं?

?‍♂️हल: मान लें कि,
U = समूह
E के सभी विद्यार्थियों का समुच्चय = अंग्रेजी जानने वाले विद्यार्थियों का
समुच्चय H = हिन्दी जानने वाले विद्यार्थियों का समुच्चयH
∪ E = U
दिया गया है कि,
हिंदी जानने वाले छात्र n (H) = 100
अंग्रेजी जानने वाले छात्रों की संख्या, n (E) = 50
दोनों को जानने वाले छात्रों की संख्या, n (H ∩ E) = 25
हमें समूह में छात्रों की कुल संख्या ज्ञात करनी है यानी n (U)
∴ प्रश्न के अनुसार,
n (U) = n(H) + n(E) – n(H ∩ E)
= 100 + 50 – 25
= 125
समूह में विद्यार्थियों की कुल संख्या = 125 छात्रों

15. 60 लोगों के एक सर्वेक्षण में यह पाया गया कि 25 लोग अखबार एच पढ़ते हैं, 26 अखबार टी पढ़ते हैं, 26 अखबार I पढ़ते हैं, 9 लोग एच और आई दोनों पढ़ते हैं, 11 लोग एच और टी दोनों पढ़ते हैं, 8 लोग टी और आई दोनों पढ़ते हैं, 3 तीनों अखबार पढ़ें। पाना:

(i) कम से कम एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या।
(ii) ठीक एक अखबार पढ़ने वालों की संख्या।

?‍♂️हल: (i) मान लें कि,
A = समाचार पत्र पढ़ने वालों का समूह H
B = समाचार पत्र पढ़ने वालों का समूह T
C = समाचार पत्र पढ़ने वालों का समूह I
प्रश्न के अनुसार,
संख्या अखबार पढ़ने वाले लोग H, n (A) = 25
अखबार पढ़ने वालों की संख्या T, n (B) = 26
अखबार पढ़ने वालों की संख्या I, n (C) = 26
अखबार एच और दोनों को पढ़ने वाले लोगों की संख्या I, n (A C) = 9
अखबार H और T दोनों पढ़ने वाले लोगों की संख्या, n (A ∩ B) = 11
अखबार T और I दोनों को पढ़ने वाले लोगों की संख्या, n (B ∩ C) = 8
और, तीनों अखबार H, T और I, n (A ∩ B ∩ C) पढ़ने वाले लोगों की संख्या = 3
अब, हमें उन लोगों की संख्या ज्ञात करनी है जो कम से कम एक समाचार पत्र पढ़ते हैं
, हमें प्राप्त होता है।

= 25 + 26 + 26 – 11 – 8 – 9 + 3
= 80 – 28
= 52
कुल 52 विद्यार्थी हैं जो कम से कम एक समाचार पत्र पढ़ते हैं।

(ii) मान लें कि,
a = केवल अखबार H और T पढ़ने वाले लोगों की संख्या
b = अखबार पढ़ने वालों की संख्या I और H केवल
c = अखबार पढ़ने वालों की संख्या T और I केवल
d = द सभी तीन अखबार पढ़ने वाले लोगों की संख्या
प्रश्न के अनुसार,
D = n(A ∩ B ∩ C) = 3
अब, हमारे पास है:
n(A ∩ B) = a + d
n(B ∩ C) = c + d
और,
n(C ∩ A) = b + d
a + d + c +d + b + d = 11 + 8 + 9
a + b + c + d = 28 – 2d
= 28 – 6
= 22
की संख्या लोग ठीक एक अखबार पढ़ते हैं = 52 – 22
= 30 लोग

16. एक सर्वेक्षण में यह पाया गया कि 21 लोगों ने उत्पाद A, 26 को उत्पाद B और 29 लोगों ने उत्पाद C को पसंद किया। यदि 14 लोगों ने उत्पाद A और B को पसंद किया, तो 12 लोगों ने उत्पाद C और A को पसंद किया, 14 लोगों ने उत्पाद B और C को पसंद किया और 8 को तीनों उत्पाद पसंद आए। ज्ञात कीजिए कि कितने पसंद किए गए उत्पाद C केवल।

?‍♂️हल: मान लीजिए A, B और C = उन लोगों का समुच्चय जो क्रमशः उत्पाद A, उत्पाद B और उत्पाद C पसंद करते हैं।
अब, प्रश्न के अनुसार,
उत्पाद A पसंद करने वाले छात्रों की संख्या, n (A) = 21
उत्पाद B पसंद करने वाले छात्रों की संख्या, n (B) = 26
उत्पाद C पसंद करने वाले छात्रों की संख्या, n (C) = 29
संख्या उत्पाद A और B दोनों पसंद करने वाले छात्रों की संख्या, n (A ∩ B) = 14
उन छात्रों की संख्या जो उत्पाद A और C दोनों पसंद करते हैं, n (C ∩ A) = 12
उत्पाद C और B दोनों पसंद करने वाले छात्रों की संख्या, B, n (B ∩ C) = 14
सभी तीन उत्पाद पसंद करने वाले छात्रों की संख्या, n (A ∩ B ∩ C) = 8

वेन आरेख से, हम प्राप्त करते हैं,
केवल उत्पाद C पसंद करने वाले छात्रों की संख्या = {29 – (4 + 8 + 6)}
= {29 – 18}
= 11 छात्र