NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 7 क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations) विविध प्रश्नावली

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 7 क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations) विविध प्रश्नावली

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 7 क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations) विविध प्रश्नावली

?Chapter – 7?

✍रैखिक असमिकाएँ✍

?विविध प्रश्नावली?

1. DAUGHTER शब्द के अक्षरों से, कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्दों की रचना की जा सकती है, जबकि प्रत्येक शब्द में 2 स्वर तथा 3 व्यंजन हों ?

हल:
शब्द DAUGHTER में 3 स्वर A, E, U और 5 व्यंजन D, G, H, T और R
हैं। तीन स्वरों को ³C₂  क्योंकि केवल दो स्वरों को चुना जाना है।
इसी तरह, पांच व्यंजनों को⁵सी₃तरीकों से चुना जा सकता है।
2 स्वर और 5 व्यंजन चुनने की संख्या होगी ³C₂ × ⁵C₃

= 30
कुल तरीकों की संख्या 30
है इन 5 अक्षरों में से प्रत्येक को अलग-अलग शब्दों को बनाने के लिए 5 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है = ⁵ P₅

बनने वाले शब्दों की कुल संख्या = 30 × 120 = 3600 . होगी

2. EQUATION शब्द के अक्षरों से कितने, अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्दों की रचना की जा सकती है, जबकि स्वर तथा व्यंजक एक साथ रहते हैं ?

हल:
शब्द समीकरण में 5 स्वर (A, E, I, O, U)और 3 व्यंजन हैं (Q, T, N)
5 स्वरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या⁵सी₅

इसी तरह, 3 व्यंजनों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या  ³ P_{3 . है}

स्वर और व्यंजन दो तरीकों से एक साथ प्रकट हो सकते हैं
(एईआईओयू) (क्यूटीएन) या (क्यूटीएन) (एईआईओयू) ∴
स्वर और व्यंजन एक साथ प्रकट होने के तरीकों की कुल संख्या 2 ×  ⁵ C₅  ×  ³ C₃
है। 2 × 120 × 6 = 1440

3. 9 लड़के और 4 लड़कियों से 7 सदस्यों की एक समिति बनानी हैं यह कितने प्रकार से किया जा सकता है, जबकि समिति में,
(i) तथ्यतः 3 लड़कियाँ हैं ?
(ii) न्यूनतम 3 लड़कियाँ हैं ?
(iii) अधिकतम 3 लड़कियाँ हैं ?
हल:
(i) ठीक 3 लड़कियों को देखते हुए लड़कियों
की कुल संख्या 4
है, जिनमें से 3 को चुना
जाना है पसंद किए जाने के तरीकों की संख्या = ⁴ C ₃
लड़कों की संख्या 9 है जिसमें से 4 को चुना जाना है जो ⁹ C₄ द्वारा दिया गया है
, ठीक तीन लड़कियों के साथ समिति बनाने के कुल तरीके
= ⁴ C₃ × ⁹ C₄

(ii) कम से कम 3 लड़कियों को देखते हुए
समिति बनाने की दो संभावनाएं हैं कम से कम 3 लड़कियों को चुनने में
3 लड़कियां और 4 लड़के हैं या 4 लड़कियां और 3 लड़के
हैं, हमने तीन लड़कियों का चयन किया है (i)
चार लड़कियों और 3 को चुनना लड़कों को ⁴ C₄ तरीकों
से किया जाएगा और 3 लड़कों का चयन ⁹ C₃
में किया जाएगा कुल तरीके = =  ⁴ C₄ ×⁹ C₃

समिति बनाने के तरीकों की कुल संख्या
504 + 84 = 588 . है

(iii) अधिकतम 3 लड़कियों को दिया गया
है इस मामले में
0 लड़की और 7 लड़के
1 लड़की और 6 लड़के
2 लड़कियां और 5 लड़के
3 लड़कियां और 4 लड़के
हैं 0 लड़की और 7 लड़कों को चुनने के तरीकों की संख्या = ⁴ C₀ × ⁹ C₇

3 लड़कियों और 4 लड़कों को चुनने की संख्या (1)
= 504
में की गई है समिति द्वारा अधिकतम 3 लड़कियों को चुनने के तरीकों की कुल संख्या = 36 + 336 + 756 + 504 = 1632

4. यदि शब्द EXAMINATION के सभी अक्षरों से बने विभिन्न क्रमचयों को शब्दकोष की तरह सूचीबद्ध किया जाता है, तो E से प्रारंभ होने वाले प्रथम शब्द से पूर्व कितने शब्द हैं ?

हल:
शब्दकोष में शब्दों को वर्णानुक्रम में सूचीबद्ध किया जाता है, इसलिए
ई से पहले सूचीबद्ध शब्दों को खोजने के लिए ए, बी, सी या डी अक्षर से शुरू होना चाहिए
लेकिन परीक्षा शब्द में बी, सी या डी नहीं है
इसलिए शब्दों को अक्षर ए से शुरू करना चाहिए
शेष 10 स्थानों को EXAMINATION शब्द के शेष अक्षरों से भरा जाना है जो कि E, X, A, M, 2N, T, 2I, 0
हैं क्योंकि अक्षर दोहराए जाने वाले सूत्र का प्रयोग होगा

जहाँ n, p₁ और p ₂अक्षरों की शेष संख्या  , दोहराए गए पदों के आने की संख्या है।

E से शुरू होने वाले शब्द से पहले सूची में शब्दों की संख्या
= अक्षर A से शुरू होने वाले शब्द = 907200

5. 0, 1, 3, 5, 7 तथा 9 अंकों से , 10 से विभाजित होने वाली और बिना पुनरावृत्ति किए कितनी 6 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं ?

हल:
यदि इकाई के स्थान में 0 है तो वह संख्या 10 से विभाज्य होगी।
6 अंकों की संख्या बनानी है जिसमें से इकाई का स्थान 0
के रूप में तय किया गया है शेष 5 स्थानों को 1, 3, 5, 7 और 9 से भरा जा सकता है
यहाँ n = 5
और उपलब्ध विकल्पों की संख्या 5 है
तो, शेष स्थानों को भरने के कुल तरीके ⁵ P₅

6. अंग्रेजी वर्णमाला में 5 स्वर तथा 21 व्यंजन हैं । इस वर्णमाला से 2 भिन्न स्वरों और 2 भिन्न व्यंजनों वाले कितने शब्दों की रचना की जा सकती है ?

हल:
हम जानते हैं कि अंग्रेजी वर्णमाला में 5 स्वर और 21 व्यंजन हैं।
5 में से दो स्वरों का चयन ⁵C₂तरीकों ²¹ C₂तरीकों
से किया जा सकता है
2 स्वर और 2 व्यंजन चुनने के तरीकों की कुल संख्या
= ⁵ C₂ × ²¹ C₂

इन चार अक्षरों में से प्रत्येक को चार तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है ⁴ P₄

बनने वाले शब्दों की कुल संख्या
24 × 2100 = 50400 . है

7. एक परीक्षा के प्रश्न-पत्र में 12 प्रश्न है जो क्रमशः 5 तथा 7 प्रश्नों वाले खंडों मे विभक्त है अर्थात खण्ड I व खण्ड II , एक छात्र को प्रत्येक भाग से कम-से-कम 3 प्रश्न चुनने है तथा कुल 8 प्रश्न हल करने है । छात्र कितनी विधियों से प्रश्नों का चुनाव कर सकता है ?

हल:
छात्र भाग I से 3 और भाग II से 5
या
से 4 प्रश्न और भाग II से 4
प्रश्न भाग 1 से 5 प्रश्न और

8. 52 पत्तों की एक गड्डी में से 5 पत्तों के संचय की संख्या निर्धारित कीजिए, यदि 5 पत्तों के प्रत्येक चयन ( संचय ) में तथ्यतः एक बादशाह है ।

हल:
हमारे पास ताश के पत्तों का एक डेक है जिसमें 4 राजा हैं।
शेष पत्तों की संख्या 52
है। डेक से एक राजा चुनने के तरीके = ⁴ C₁
48 कार्डों में से शेष 4 कार्ड चुनने के तरीके = ⁴⁸C₄
एक राजा वाले 5 कार्ड चुनने की कुल संख्या
= ⁴ C₁ × ⁴⁸ C₄

9. 5 पुरुषो और 4 महिलाओं को एक पंक्ति में इस प्रकार बैठाया जाता है की महिलाएँ सम स्थानों पर बैठती हैं । इस प्रकार के कितने विन्यास संभव हैं ?

हल:
यह देखते हुए कि कुल 9 लोग
हैं, महिलाएं सम स्थानों पर बैठती हैं, जिसका अर्थ है कि वे 2^nd, 4^th, 6^th and 8^th और,1^st, 3^rd, 5^th,7^th and 9^th स्थानपर बैठे होंगे
4 महिलाएं चार जगहों पर बैठ सकती हैं और जिस तरह से उन्हें बैठाया जा सकता है=⁴ P ₄

5 आदमी 5 सीटों पर 5 तरीकों से कब्जा कर सकते हैं
इन तरीकों की संख्या जिन तरीकों से उन्हें बैठाया जा सकता है = ⁵ P ₅

बैठने की व्यवस्था की कुल संख्या संभव है
24 × 120 = 2880

10. 25 विद्यार्थियों की एक कक्षा से 10 का चयन एक भ्रमण- दल के‌ लिए किया जाता है । 3 विद्यार्थी ऐसे हैं जिन्होनें यह निर्णय लिया है कि या तो वे तीनों दल में शामिल होंगें या उनमें से कोई भी दल में शामिल नहीं होगा। भ्रमण –दल का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है?

हल:
इस प्रश्न में हमें 2 विकल्प मिलते हैं जो है

(i) या तो सभी 3 जाएंगे
तो कक्षा में शेष छात्र हैं: 25 – 3 = 22
पार्टी के लिए चुने जाने वाले छात्रों की
संख्या = 7 शेष 22 छात्रों को चुनने के तरीकों की संख्या = ²²C₇
=

(ii) इनमें से कोई भी नहीं जाएगा जाने
वाले छात्र 10 होंगे
शेष छात्र जाने के लिए पात्र होंगे = 22
इन 10 छात्रों का चयन करने के तरीकों की संख्या ²²C₁₀

छात्रों को चुनने के तरीकों की कुल संख्या
= 170544 + 646646 = 817190

11. ASSASSINATION शब्द के अक्षरों के कितने विन्यास बनाए जा सकते हैं, जबकि सभी ‘S’ एक साथ रहें ?

हल:
दिए गए शब्द ASSASSINATION में, 4 ‘S’ हैं। चूँकि सभी 4 ‘S’ को एक साथ व्यवस्थित करना होता है, इसलिए उन्हें एक इकाई मान लें।
शेष अक्षर हैं = 3 ‘A’, 2 ‘I’, 2 ‘N’, T
व्यवस्थित किए जाने वाले अक्षरों की संख्या 9 है (4 ‘एस’ सहित)
सूत्र का उपयोग करना

जहाँ n पदों की संख्या है और p ₁ , p ₂  p ₃ वह संख्या है जितनी बार दोहराए जाने वाले अक्षर स्वयं को दोहराते हैं।
यहाँ p ₁ = 3, p ₂ = 2, p ₃  = 2
मानों को सूत्र में रखने पर हमें प्राप्त होता है