NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter 12- Introduction to Three Dimensional Geometry (त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय) प्रश्नावली 12.3
| Textbook | NCERT |
| Class | Class 11th |
| Subject | (गणित) Mathematics |
| Chapter | Chapter – 12 |
| Chapter Name | त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय (Introduction to Three Dimensional Geometry) |
| Mathematics | Class 11th गणित Question & Answer |
| Medium | Hindi |
| Source | Last Doubt |
NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter 12- Introduction to Three Dimensional Geometry (त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय) प्रश्नावली 12.3
?Chapter – 12?
✍त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय✍
?प्रश्नावली 12.3?
1. बिंदुओं (-2,3,5) और (1,-4,6) को मिलाने से बने रेखा खंड को अनुपात (i) 2:3 में अंतः (ii) 2:3 में बाह्यतः विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल: मान लीजिए बिंदुओं P (-2, 3, 5) और Q (1, -4, 6) को मिलाने वाला रेखाखंड PQ है।
(i) 2: 3 आंतरिक रूप
से अनुभाग सूत्र का उपयोग करके,
हम जानते हैं कि बिंदु R के निर्देशांक जो दो बिंदुओं P (x 1 , y 1 , z 1 ) और Q (x 2 , y 2 , z 2 ) को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से m: n के अनुपात में विभाजित करते हैं, दिए गए हैं :
तुलना करने पर हमारे पास
x 1 = -2, y 1 = 3, z 1 = 5;
x 2 = 1, y 2 = -4, z 2 = 6 और
m = 2, n = 3
अतः, बिंदु P (-2, 3, 5) और Q को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ( 1, – 4, 6) के अनुपात में 2:3 आंतरिक रूप से दिया गया है:
अत: बिंदुओं (-2, 3, 5) और (1, -4, 6) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक (-4/5, 1/5, 27/5) हैं।
(ii) 2: 3 बाह्य रूप
से अनुभाग सूत्र का उपयोग करके,
हम जानते हैं कि बिंदु R के निर्देशांक जो दो बिंदुओं P (x 1 , y 1 , z 1 ) और Q (x 2 , y 2 , z 2 ) को मिलाने वाले रेखाखंड को m: n के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करते हैं, दिए गए हैं :
तुलना करने पर हमारे पास
x 1 = -2, y 1 = 3, z 1 = 5;
x 2 = 1, y 2 = -4, z 2 = 6 और
m = 2, n = 3
अतः, बिंदु P (-2, 3, 5) और Q को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ( 1, – 4, 6) के अनुपात में 2:3 बाह्य रूप से दिया गया है:
बिंदुओं (-2, 3, 5) और (1, -4, 6) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक (-8, 17, 3) हैं।
2. दिया गया है कि बिंदु P(3,2,−4),Q(5,4,−6)P(3,2,-4),Q(5,4,-6) और R(9,8,−10)R(9,8,-10) संरेख हैं। वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें Q,P,R को विभाजित करता है।
हल: मान लें कि Q, PR को k: 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
खंड सूत्र का उपयोग करके,
हम जानते हैं कि बिंदु R के निर्देशांक जो दो बिंदुओं P (x 1 , y 1 , z 1 ) और Q (x 2 , y 2 , z 2 ) को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से m: n के अनुपात में विभाजित करते हैं, दिए गए हैं :
तुलना करने पर हमारे पास
x 1 = 3, y 1 = 2, z 1 = -4;
x 2 = 9, y 2 = 8, z 2 = -10 और
m = k, n = 1
तो, हमारे पास है
9k + 3 = 5 (k+1)
9k + 3 = 5k + 5
9k – 5k = 5 – 3
4k = 2
k = 2/4
= ½
इसलिए, Q जिस अनुपात में PR को विभाजित करता है वह 1: 2 है।
3. बिंदुओं (-2,4,7) और (3,-5,8) को मिलाने वाली रेखा खंड YZ तल द्वारा जिस अनुपात में विभक्त होता है उसे ज्ञात कीजिए।
हल: मान लीजिए कि बिंदु P (-2, 4, 7) और Q (3, -5, 8) को मिलाने से बनने वाला रेखाखंड PQ है।
हम जानते हैं कि YZ-तल पर कोई भी बिंदु (0, y, z) के रूप का होता है।
तो अब, मान लीजिए R (0, y, z) रेखाखंड PQ को k: 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
फिर,
तुलना करने पर,
x1= -2, y1= 4, z1= 7;
x2= 3, y2= -5, z2= 8 और
m = k, n = 1
अनुभाग सूत्र का उपयोग करके,
हम जानते हैं कि बिंदु R के निर्देशांक जो दो बिंदुओं P (x 1 , y 1 , z 1 ) और Q (x 2 , y 2 , z 2 ) को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से m: n के अनुपात में विभाजित करते हैं, दिए गए हैं :
तो हमारे पास,
3k – 2 = 0
3k = 2
k = 2/3
अतः, बिंदुओं (-2, 4, 7) और (3, -5, 8) को मिलाने से बनने वाले रेखाखंड को YZ-तल जिस अनुपात में विभाजित करता है, वह है 2:3.
4. विभाजन सूत्र का प्रयोग करके दिखाइए कि बिंदु A(2,−3,4),B(−1,2,1)A(2,-3,4),B(-1,2,1) तथा C(0,13,2)C(0,13,2) संरेख हैं।
हल: मान लीजिए कि बिंदु P, AB को k: 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
तुलना करने पर,
x1= 2, y1= -3, z1= 4;
x2= -1, y2= 2, z2= 1 और
m = k, n = 1
अनुभाग सूत्र का उपयोग करके,
हम जानते हैं कि बिंदु R के निर्देशांक जो दो बिंदुओं P (x 1 , y 1 , z 1 ) और Q (x 2 , y 2 , z 2 ) को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से m: n के अनुपात में विभाजित करते हैं, दिए गए हैं :
तो हमारे पास,
अब, हम जाँचते हैं कि क्या k के कुछ मान के लिए, बिंदु बिंदु C से मेल खाता है।
(-k+2)/(k+1) = 0
-k + 2 = 0
k = 2 रखें
, जब k = 2, तब ( 2k-3)/(k+1) = (2(2)-3)/(2+1)
= (4-3)/3
= 1/3
और, (k+4)/(k+1) = (2+4)/(2+1)
= 6/3
= 2
C (0, 1/3, 2) एक बिंदु है जो AB को 2: 1 के अनुपात में विभाजित करता है और P के समान है।
इसलिए, A , बी, सी संरेख हैं।
5. P(4,2,−6)P(4,2,-6) और Q(10,−16,6)Q(10,-16,6) के मिलाने वाली रेखा खंड PQ को सम त्रि-भाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल: मान लीजिए A (x 1 , y 1 , z 1 ) और B (x 2 , y 2 , z 2 ) बिंदु P (4, 2, -6) और Q (10, -16) को मिलाने वाले रेखाखंड को समद्विभाजित करते हैं। 6)।
A रेखाखंड PQ को 1:2 के अनुपात में विभाजित करता है।
तुलना करने पर हमारे पास
x 1 = 4, y 1 = 2, z 1 = -6;
x 2 = 10, y 2 = -16, z 2 = 6 और
m = 1, n = 2
अनुभाग सूत्र का उपयोग करके,
हम जानते हैं कि बिंदु R के निर्देशांक जो दो बिंदुओं P (x 1 , y 1 , z 1 ) और Q (x 2 , y 2 , z 2 ) को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से m: n के अनुपात में विभाजित करते हैं, दिए गए हैं :
तो हमारे पास,
इसी प्रकार, हम जानते हैं कि B रेखाखंड PQ को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
तुलना करने पर,
x 1 = 4, y 1 = 2, z 1 = -6;
x 2 = 10, y 2 = -16, z 2 = 6 और
m = 2, n = 1
अनुभाग सूत्र का उपयोग करके,
हम जानते हैं कि बिंदु R के निर्देशांक जो दो बिंदुओं P (x 1 , y 1 , z 1 ) और Q (x 2 , y 2 , z 2 ) को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से m: n के अनुपात में विभाजित करते हैं, दिए गए हैं :
तो हमारे पास,
बिंदु P (4, 2, – 6) और Q (10, -16, 6) को मिलाने वाले रेखाखंड को समद्विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक हैं (6, -4, -2) और (8, -10, 2))।