NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 7 क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations) Exercise 7.3

June 15, 2022

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 7 क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations) प्रश्नावली 7.3

Textbook	NCERT
Class	Class 11th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	Chapter – 7
Chapter Name	क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations)
Mathematics	Class 11th गणित Question & Answer
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 7 क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations) प्रश्नावली 7.3

?Chapter – 7?

✍रैखिक असमिकाएँ✍

?प्रश्नावली 7.3?

1. 1 से 9 तक के अंकों को प्रयोग करके कितने 3 अंकीय संख्याएँ बन सकती हैं, यदि किसी भी अंक को दोहराया नहीं गया है ?

हल:

2. किसी भी अंक को दोहराए बिना कितनी 4 अंकीय संख्याएँ होती हैं ?

हल:
चार अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए (अंकों की पुनरावृत्ति नहीं होती)
अब हमारे पास 4 स्थान होंगे जहाँ 4 अंक लगाने हैं।
तो, हजार के स्थान पर = 9 तरीके हैं क्योंकि 0 हजार के स्थान पर नहीं हो सकता = 9 तरीके
सौवें स्थान पर = 9 अंक भरे जाने हैं क्योंकि 1 अंक पहले ही लिया जा चुका है = 9 तरीके
दस के स्थान पर = अब 8 अंक हैं भरा जा सकता है क्योंकि 2 अंक पहले ही लिए जा चुके हैं = 8 तरीके
इकाई के स्थान पर = 7 अंक हैं जिन्हें भरा जा सकता है = 7 तरीके
चार स्थानों को भरने के तरीकों की कुल संख्या = 9 × 9 × 8 × 7 = 4536 तरीके।
तो कुल 4536 चार अंकों की संख्याएँ हो सकती हैं जिनमें कोई अंक दोहराया नहीं जाता है।

3. अंक 1, 2, 3, 4, 6, 7 को प्रयुक्त करने से कितनी 3 अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है ?

हल:
सम संख्या का अर्थ है कि अंतिम अंक सम होना चाहिए,
किसी के स्थान पर संभावित अंकों की संख्या = 3 (2, 4 और 6)
⇒ क्रमपरिवर्तन की संख्या =

अंकों में से एक को उसके स्थान पर लिया जाता है, उपलब्ध संभावित अंकों की संख्या = 5
क्रमपरिवर्तन की संख्या =

इसलिए, क्रमचयों की कुल संख्या =3 × 20=60।

4. अंक 1, 2, 3, 4, 5 के उपयोग द्वारा कितनी 4 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है ? इनमे से कितनी सम संख्याएँ होंगीं ?

हल:
चुनने के लिए संभव अंकों की कुल संख्या = 5
स्थानों की संख्या जिसके लिए एक अंक लिया जाना है = 4
चूंकि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है,
क्रमपरिवर्तन की संख्या =

संख्या सम होगी जब 2 और 4 एक के स्थान पर हों।
किसी के स्थान पर (2, 4) होने की संभावना = 2/5 = 0.4
सम संख्या की कुल संख्या = 120 × 0.4 = 48।

5. 8 व्यक्तियों की समिति में, हम कितने प्रकार से एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष चुन सकते हैं, यह मानते हुए कि एक व्यक्ति एक से अधिक पद पर नहीं रह सकता है ?

हल:
समिति में कुल लोगों की
संख्या = 8 भरे जाने वाले पदों की संख्या = 2
क्रमपरिवर्तन की संख्या =

6. यदि $.^{n - 1} P_{3} : .^{n} P_{4} = 1 : 9$ तो n का मान ज्ञात कीजिये

हल:

7. r ज्ञात कीजिए, यदि

(i) ⁵P_r = 2⁶P_{r – 1}

(ii) ⁵P_r = ⁶P_{r -1}

हल:

8. EQUATION शब्द के अक्षरों में से प्रत्येक को तथ्यतः केवल एक बार उपयोग करके कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन , शब्द बन सकते हैं ?

हल:
समीकरण में विभिन्न अक्षरों की कुल संख्या = 8
शब्द बनाने के लिए उपयोग किए जाने वाले अक्षरों की संख्या = 8
क्रमपरिवर्तन की संख्या =

9. MONDAY शब्द के अक्षरों में से कितने, अर्थपूर्ण या अर्थहीन , शब्द बन सकते हैं , यह मानते हुए कि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जाती है,

(i) यदि एक समय में 4 अक्षर लिए जाते हैं ?
(ii) एक समय में सभी अक्षर लिए जाते हैं ?
(iii) सभी अक्षरों का प्रयोग किया जाता है, किंतु प्रथम अक्षर एक स्वर है ?

हल:
(i) उपयोग किए जाने वाले अक्षरों की संख्या =4
क्रमपरिवर्तन की संख्या =

(ii) उपयोग किए जाने वाले अक्षरों की संख्या = 6
क्रमपरिवर्तन की संख्या =

(iii) सोमवार में स्वरों की संख्या = 2 (ओ और ए)
⇒ स्वर में क्रमपरिवर्तन की संख्या =

अब, शेष स्थान = 5
प्रयोग किए जाने वाले शेष अक्षर = 5
क्रमपरिवर्तन की संख्या =

इसलिए, क्रमचयों की कुल संख्या = 2 × 120 = 240।

10. MISSISSIPPI शब्द के अक्षरों से बने भिन्न – भिन्न क्रमचयों में से कितने में चारों I एक साथ नहीं आते हैं ?

हल:
MISSISSIPPI में अक्षरों की कुल संख्या =11
अक्षर घटित होने की संख्या

M	1
I	4
S	4
P	2

⇒ क्रमपरिवर्तन की संख्या =

हम लेते हैं कि 4 I एक साथ आते हैं, और उन्हें 1 अक्षर माना जाता है,
∴ अक्षरों की कुल संख्या = 11 – 4 + 1 = 8
क्रमपरिवर्तन की संख्या =

इसलिए, क्रमपरिवर्तन की कुल संख्या जहां चार I एक साथ नहीं आते हैं = 34650-840=33810

11. PERMUTATIONS शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, यदि

(i) चयनित शब्द का प्रारंभ P से तथा अंत S से होता है ।
(ii) चयनित शब्द में सभी स्वर एक साथ हैं ?
(iii) चयनित शब्द में P तथा S के मध्य सदैव 4 अक्षर हों ?

हल:
(i) क्रमपरिवर्तन में अक्षरों की कुल संख्या =12
केवल दोहराए गए अक्षर T हैं; 2
बार शब्द के पहले और अंतिम अक्षर को क्रमशः P और S के रूप में नियत किया गया है।
शेष अक्षरों की संख्या =12 – 2 = 10
क्रमपरिवर्तन की संख्या =

(ii) क्रमचय में स्वरों की संख्या = 5 (E, U, A, I, O)
अब, हम सभी स्वरों को एक साथ मानते हैं।
स्वरों के क्रमपरिवर्तन की संख्या = 120
अब अक्षरों की कुल संख्या = 12 – 5 + 1 = 8
क्रमपरिवर्तन की संख्या =

इसलिए, क्रमपरिवर्तन की कुल संख्या = 120 × 20160 = 2419200

(iii) स्थानों की संख्या इस प्रकार है 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P और S के
बीच हमेशा 4 अक्षर होने चाहिए।
P और S के संभावित स्थान 1 और 6, 2 और 7, 3 और 8, 4 हैं। और 9, 5 और 10, 6 और 11, 7 और 12
संभावित तरीके =7,
साथ ही, P और S को आपस में बदला जा सकता है,
क्रमपरिवर्तन की संख्या =2 × 7 =14
शेष 10 स्थानों को 10 शेष अक्षरों से भरा जा सकता है
, क्रमपरिवर्तन की संख्या =

इसलिए, क्रमपरिवर्तन की कुल संख्या = 14 × 1814400 = 25401600।