NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 6 रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities) Exercise 6.3

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 6 रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities) प्रश्नावली 6.3

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 6 रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities) प्रश्नावली 6.3

?Chapter – 6?

✍रैखिक असमिकाएँ✍

? प्रश्नावली 6.3?

1 से 15 तक निम्लिखित असमिका निकाय को आलेखीय विधि से हल कीजिये:

1. x ≥ 3, y ≥ 2

हल:
दिया गया x 3 ……… (i)
y ≥ 2…………… (ii)
चूँकि x ≥ 3 का अर्थ है y के किसी भी मान के लिए समीकरण अप्रभावित रहेगा इसी प्रकार y ≥ 2 के लिए, x के किसी भी मान के लिए समीकरण प्रभावित नहीं होगा।
अब x = 0 को (i)
0 ≥ 3 में रखना जो सत्य नहीं है
y = 0 को (ii)
0 ≥ 2 में रखना जो कि फिर से सत्य नहीं है
इसका तात्पर्य है कि मूल दी गई असमानताओं में संतुष्ट नहीं है। शामिल किया जाने वाला क्षेत्र ग्राफ़ पर खींची गई दो समानताओं के दाईं ओर होगा।
छायांकित क्षेत्र वांछित क्षेत्र है।

2. 3x + 2y 12, x 1, y ≥ 2

हल:
दिया हुआ 3x + 2y 12
x = 0 और y = 0 को एक-एक करके रखकर x और y के मान को हल करने पर
हमें
y = 6 और x = 4
होता है, तो अंक (0, 6) और (4, 0) हैं। )
अब (0, 0)
0 12 के लिए जाँच कर रहे हैं जो कि सत्य भी है,
इसलिए मूल तल में स्थित है और आवश्यक क्षेत्र समीकरण के बाईं ओर है।
अब x ≥ 1 के लिए जाँच करने पर, x
का मान y के किसी भी मान से अप्रभावित रहेगा
। मूल तल
⇒ 0 ≥ 1 पर नहीं होगा जो कि सत्य नहीं है 
। शामिल किए जाने वाला आवश्यक क्षेत्र ग्राफ x के बाईं ओर होगा 1
इसी प्रकार, y ≥ 2 के लिए y
का मान दी गई समानता में x के किसी भी मान से अप्रभावित रहेगा। साथ ही, मूल दी गई असमानता को संतुष्ट नहीं करता है।
0 ≥ 2 जो सत्य नहीं है, इसलिए असमानता के समाधान में मूल शामिल नहीं है।
समाधान में शामिल किया जाने वाला क्षेत्र समानता के बाईं ओर होगा y ≥ 2
ग्राफ में छायांकित क्षेत्र आवश्यक असमानताओं का उत्तर देगा क्योंकि यह वह क्षेत्र है जो एक ही समय में सभी तीन असमानताओं से आच्छादित है दी गई सभी शर्तों को पूरा करने वाला समय।

3. 2x + y ≥ 6, 3x + 4y ≤ 12

हल:
दिया हुआ 2x + y ≥ 6…………… (i)
3x + 4y ≤ 12 ……………. (ii)
2x + y ≥ 6
x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके समीकरण में रखने पर, हमें
y = 6 और x = 3
इसलिए (0, 6) और (3, 0) के लिए बिंदु )
अब (0, 0)
0 ≥ 6 के लिए जाँच करना जो सत्य नहीं है, इसलिए मूल समानता के समाधान में निहित नहीं है। आवश्यक क्षेत्र ग्राफ़ के दाईं ओर है।
3x + 4y 12 के लिए जाँच करना
x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके समीकरण में रखने पर
हमें y = 3, x = 4 प्राप्त
, अंक (0, 3), (4, 0)
हैं0, 0)
0 ≤ 12 जो सत्य है,
अतः मूल समीकरण के हल में निहित है।
समीकरण के दाईं ओर का क्षेत्र आवश्यक क्षेत्र है।
समाधान वह क्षेत्र है जो दोनों असमानताओं के रेखांकन के लिए सामान्य है।
छायांकित क्षेत्र आवश्यक क्षेत्र है।

4. x + y ≥ 4, 2x – y < 0

हल:
दिया हुआ x + y 4
x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके समीकरण में रखने पर, हमें
y = 4 और x = 4
का मान प्राप्त होता है, रेखा के लिए बिंदु (0, 4) और (4, 0)
मूल के लिए जाँच करना (0, 0)
0 ≥ 4
यह सत्य नहीं है,
इसलिए मूल समाधान क्षेत्र में नहीं होगा। अभीष्ट क्षेत्र रेखा के ग्राफ के दायीं ओर होगा।
2x – y < 0
समीकरण में x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके रखने पर, हमें
y = 0 और x = 0
x = 1 रखने पर हमें y = 2 प्राप्त
होता है। 0, 0) और (1, 2)
अब जबकि मूल बिंदु दिए गए समीकरण पर स्थित है, हम (4, 0) बिंदु की जांच करेंगे ताकि यह जांचा जा सके कि समाधान में रेखा के ग्राफ़ की कौन-सी भुजा शामिल होगी।
8 <0 जो सत्य नहीं है, इसलिए अभीष्ट क्षेत्र रेखा के बाईं ओर होगा 2x-y <0
छायांकित क्षेत्र असमानताओं का आवश्यक हल है।

5. 2x – y >1, x – 2y < – 1

हल:
दिया हुआ 2x – y >1……………… (i)
x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके समीकरण में रखने पर, हमें
y = -1 और x = 1/2 = 0.5
काबिंदु हैं (0,-1) और (0.5, 0)
मूल के लिए जाँच कर रहे हैं, (0, 0)
0>1 डालते हैं, जो गलत है
इसलिए मूल समाधान क्षेत्र में नहीं है। वांछित क्षेत्र रेखा के ग्राफ के दाईं ओर होगा।
x – 2y < – 1………… (ii)
x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके समीकरण में रखने पर, हमें
y = ½ = 0.5 और x = -1
का मान प्राप्त होता है। आवश्यक बिंदु हैं (0, 0.5) और (-1, 0)
अब मूल के लिए जाँच कर रहे हैं, (0, 0)
0 < -1 जो ​​कि गलत है
इसलिए मूल बिंदु समाधान क्षेत्र में नहीं है, वांछित क्षेत्र रेखा के ग्राफ के बाईं ओर होगा।
छायांकित क्षेत्र दी गई असमानताओं का आवश्यक हल है।

6. x + y ≤ 6, x + y ≥ 4

हल:
दिया हुआ x + y 6,
x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके समीकरण में रखने पर, हमें
Y = 6 और x = 6
का मान प्राप्त होता है, आवश्यक बिंदु हैं (0, 6) और (6, 0 )
मूल बिंदु (0, 0) की और जाँच करने पर
हमें 0 ≤ 6 प्राप्त होता है, यह सत्य है।
इसलिए मूल बिंदु को रेखा के ग्राफ के क्षेत्रफल में शामिल किया जाएगा। अतः समीकरण का वांछित हल रेखा ग्राफ़ के बाईं ओर होगा जो मूल सहित होगा।
x + y ≥ 4
x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके समीकरण में रखने पर हमें
y = 4 और x = 4
का मान प्राप्त होता है। आवश्यक बिंदु (0, 4) और (4, 0)
हैं। मूल (0, 0)
0 ≥ 4 जो असत्य है
तो मूल को आवश्यक क्षेत्र में शामिल नहीं किया जाएगा। समाधान क्षेत्र रेखा ग्राफ के ऊपर होगा या रेखा ग्राफ के दाईं ओर का क्षेत्र होगा।
इसलिए ग्राफ में छायांकित क्षेत्र आवश्यक ग्राफ क्षेत्र है।

7. 2x + y ≥ 8, x + 2y ≥ 10

हल:
दिया हुआ 2x + y 8
x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके समीकरण में रखने पर, हमें
y = 8 और x = 4
का मान प्राप्त होता है, आवश्यक बिंदु हैं (0, 8) और (4, 0)
जाँच करना कि क्या मूल रेखा के ग्राफ (0, 0)
0 ≥ 8 में शामिल है, जो गलत है
इसलिए मूल को समाधान क्षेत्र में शामिल नहीं किया गया है और आवश्यक क्षेत्र रेखा के ग्राफ के दाईं ओर का क्षेत्र होगा.
x + 2y ≥ 10
x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके समीकरण में रखने पर हमें
y = 5 और x = 10
का मान प्राप्त होता है। आवश्यक बिंदु (0, 5) और (10, 0)
हैं। मूल (0, 0)
0 ≥ 10 जो असत्य है,
इसलिए मूल बिंदु अभीष्ट विलयन क्षेत्र में नहीं होगा। आवश्यक क्षेत्र रेखा ग्राफ के बाईं ओर होगा।
ग्राफ में छायांकित क्षेत्र दी गई असमानताओं का आवश्यक हल है।

8. x + y ≤ 9, y > x, x ≥ 0

हल:
दिया हुआ x + y ≤ 9,
x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके समीकरण में रखने पर, हमें
y = 9 और x = 9
का मान प्राप्त होता है, आवश्यक बिंदु हैं (0, 9) और (9, 0 )
जाँच करना कि क्या मूल रेखा के ग्राफ में शामिल है (0, 0)
0 ≤ 9
जो सत्य है, इसलिए आवश्यक क्षेत्र मूल सहित होगा और इसलिए रेखा के ग्राफ के बाईं ओर स्थित होगा।
y > x,
y = x को हल करने पर
हमें x= 0, y = 0 प्राप्त होता है, इसलिए मूल रेखा के ग्राफ पर स्थित होता है।
अन्य बिंदु होंगे (0, 0) और (2, 2)
y> x में (9, 0) के लिए जाँच करने पर,
हमें 0 > 9 मिलता है जो कि गलत है, क्योंकि क्षेत्र में रेखा के नीचे का क्षेत्र शामिल नहीं होगा। ग्राफ और इसलिए रेखा के बाईं ओर होगा।
हमारे पास x ≥ 0 . है
आवश्यक रेखा के ग्राफ का क्षेत्रफल रेखा के ग्राफ के दाईं ओर होगा।
इसलिए दी गई असमानताओं का आवश्यक हल छायांकित है।

9. 5x + 4y ≤ 20, x ≥ 1, y ≥ 2

हल:
5x + 4y ≤ 20 दिया गया है,
समीकरण में x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके रखने पर, हमें
y = 5 और x = 4
का मान प्राप्त होता है, आवश्यक बिंदु हैं (0, 5) और (4, 0 )
जाँच करना कि क्या मूल समाधान क्षेत्र में स्थित है (0, 0)
0 ≤ 20
जो सत्य है, इसलिए मूल समाधान क्षेत्र में होगा। रेखा के ग्राफ का अभीष्ट क्षेत्रफल ग्राफ के बाईं ओर है।
हमारे पास x 1 है,
y के सभी मानों के लिए, x 1 होगा,
आवश्यक बिंदु होंगे (1, 0), (1, 2) और इसी तरह।
मूल बिंदु (0, 0)
0 ≥ 1 के लिए जाँच कर रहा है, जो सत्य नहीं है
इसलिए मूल बिंदु वांछित क्षेत्र में नहीं होगा। ग्राफ़ पर आवश्यक क्षेत्र रेखा के ग्राफ़ के दाईं ओर होगा।
वाई 2 . पर विचार करें
इसी प्रकार x के सभी मानों के लिए y ≥ 2 होगा
। आवश्यक बिंदु (0, 2), (1, 2) इत्यादि होंगे।
मूल बिंदु (0, 0)
0 ≥ 2 के लिए जाँच करना, यह सत्य नहीं है
इसलिए अभीष्ट क्षेत्र रेखा के ग्राफ के दायीं ओर होगा।
ग्राफ पर छायांकित क्षेत्र दी गई असमानताओं का आवश्यक हल दिखाता है।

10. 3x + 4y ≤ 60, x + 3y ≤ 30, x 0, y ≥ 0

हल:
दिया हुआ 3x + 4y 60,
x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके समीकरण में रखने पर, हमें
y = 15 और x = 20
का मान प्राप्त होता है, आवश्यक बिंदु हैं (0, 15) और (20, 0 )
यह जांचना कि क्या मूल आवश्यक समाधान क्षेत्र (0, 0)
0 ≤ 60 में स्थित है, यह सत्य है।
इसलिए मूल बिंदु रेखा के ग्राफ के समाधान क्षेत्र में होगा।
वांछित समाधान क्षेत्र रेखा के ग्राफ के बाईं ओर होगा।
हमारे पास x + 3y 30 है,
समीकरण में x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके रखने पर, हमें
y = 10 और x = 30
का मान प्राप्त होता है। आवश्यक बिंदु हैं (0, 10) और (30, 0)
मूल बिंदु (0, 0)
0 ≤ 30 की जाँच करना, यह सत्य है।
इसलिए मूल बिंदु उस समाधान क्षेत्र में है जो रेखा के ग्राफ के बाईं ओर दिया गया है।
x ≥ 0,
y ≥ 0 पर विचार करें,
दी गई असमानताओं का अर्थ है कि समाधान केवल पहले चतुर्थांश में है।
अतः असमानताओं का हल ग्राफ में छायांकित क्षेत्र द्वारा दिया गया है।

11. 2x + y 4, x + y 3, 2x – 3y ≤ 6

हल:
दिया हुआ 2x + y 4,
समीकरण में x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके रखने पर, हमें
y = 4 और x = 2
का मान प्राप्त होता है, आवश्यक बिंदु हैं (0, 4) और (2, 0 )
मूल बिंदु (0, 0)
0 ≥ 4 के लिए जाँच करना, यह सत्य नहीं है
इसलिए मूल रेखा के ग्राफ़ के समाधान क्षेत्र में नहीं है। समाधान क्षेत्र रेखा के ग्राफ के दाईं ओर दिया जाएगा।
x + y ≤ 3,
x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके समीकरण में रखने पर, हमें
y = 3 और x = 3
का मान प्राप्त होता है। आवश्यक बिंदु हैं (0, 3) और (3, 0)
की जाँच करना मूल बिंदु (0, 0)
0 ≤ 3, यह सत्य है
इसलिए समाधान क्षेत्र में मूल बिंदु शामिल होगा और इसलिए यह रेखा के ग्राफ के बाईं ओर होगा।
2x – 3y 6
x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके समीकरण में रखने पर हमें
y = – 2 और x = 3
का मान प्राप्त होता है। आवश्यक बिंदु हैं (0, – 2), (3, 0)
मूल के लिए जाँच (0 , 0)
0 ≤ 6 यह सच है
इसलिए मूल समाधान क्षेत्र में स्थित है और क्षेत्र रेखा के ग्राफ के बाईं ओर होगा।
अत: ग्राफ में छायांकित क्षेत्र दी गई असमानताओं के लिए आवश्यक हल क्षेत्र है।

12. x – 2y 3, 3x + 4y ≥ 12, x 0 , y ≥ 1

हल:
दिया गया है, x – 2y ≤ 3
x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके समीकरण में रखने पर, हमें
y = -3/2 = -1.5 और x = 3
का मान प्राप्त होता है। आवश्यक बिंदु हैं (0, – 1.5) और (3, 0)
मूल (0, 0)
0 3 के लिए जाँच कर रहा है, यह सत्य है। अतः समाधान क्षेत्र रेखा के ग्राफ 3x + 4y ≥ 12
के बाईं ओर होगासमीकरण में x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके रखने पर, हमेंy = 3 और x = 4 का मान प्राप्त होता है। बिंदु हैं (0, 3) और (4, 0)मूल बिंदु (0, 0)0 12 के लिए जाँच कर रहे हैं, यह सत्य नहीं हैइसलिए समाधान क्षेत्र में मूल शामिल होगा और आवश्यक समाधान क्षेत्र दाईं ओर होगा रेखा के ग्राफ से। हमारे पास x ≥ 0 है,

y के सभी मानों के लिए, दी गई असमानता में x का मान समान होगा, जो कि ग्राफ़ पर x अक्ष के ऊपर का क्षेत्र होगा।
y ≥ 1 पर विचार करें,
x के सभी मानों के लिए, दी गई असमानता में y का मान समान होगा।
रेखा के समाधान क्षेत्र में मूल बिंदु शामिल नहीं होगा क्योंकि 0 1 सत्य नहीं है।
समाधान क्षेत्र रेखा के ग्राफ के बाईं ओर होगा।
ग्राफ में छायांकित क्षेत्र आवश्यक समाधान क्षेत्र है जो एक ही समय में सभी दी गई असमानताओं को संतुष्ट करता है।

13. 4x + 3y ≤ 60, y ≥ 2x, x ≥ 3, x, y ≥ 0

हल:
दिया गया है, 4x + 3y ≤ 60,
x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके समीकरण में रखने पर, हमें
y = 20 और x = 15
का मान प्राप्त होता है, आवश्यक बिंदु हैं (0, 20) और (15, 0)
मूल (0, 0)
0 ≤ 60 के लिए जाँच करना, यह सत्य है।
इसलिए मूल समाधान क्षेत्र में होगा। आवश्यक क्षेत्र में रेखा के ग्राफ के बाईं ओर शामिल होगा।
हमारे पास y ≥ 2x है,
समीकरण में x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके रखने पर, हमें
y = 0 और x = 0
होता है, इसलिए रेखा मूल बिंदु से होकर जाएगी।
यह जांचने के लिए कि रेखा के ग्राफ समाधान क्षेत्र में कौन सा पक्ष शामिल होगा, हम बिंदु (15, 0)
⇒ 0 ≥ 15 की जांच करेंगे, यह सत्य नहीं है इसलिए आवश्यक समाधान क्षेत्र रेखा के ग्राफ के बाईं ओर होगा।
x ≥ 3 पर विचार करें,
y के किसी भी मान के लिए, x का मान समान होगा।
इसके अलावा मूल (0, 0) असमानता को संतुष्ट नहीं करता है क्योंकि 0 ≥ 3
इसलिए मूल समाधान क्षेत्र में नहीं है, इसलिए आवश्यक समाधान क्षेत्र रेखा के ग्राफ के दाईं ओर होगा।
हमारे पास x, y ≥ 0
है क्योंकि दिया गया है कि x और y दोनों 0 से बड़े हैं
, समाधान क्षेत्र केवल पहले प्रथम चतुर्थांश में होगा।
ग्राफ में छायांकित क्षेत्र दी गई असमानताओं का समाधान क्षेत्र दर्शाता है

14. 3x + 2y 150, x + 4y ≤ 80, x ≤ 15, y 0, x ≥ 0

हल:
दिया गया है, 3x + 2y ≤ 150
x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके समीकरण में रखने पर, हमें
y = 75 और x = 50
का मान प्राप्त होता है। आवश्यक बिंदु हैं (0, 75) और (50, 0 )
मूल बिंदु (0, 0)
0 ≤ 150 के लिए जाँच करना, यह सत्य है
इसलिए रेखा का हल क्षेत्र रेखा के ग्राफ के बाईं ओर होगा जो मूल सहित होगा।
हमारे पास x + 4y ≤ 80 है,
समीकरण में x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके रखने पर, हमें
y = 20 और x = 80
का मान प्राप्त होता है। आवश्यक बिंदु हैं (0, 20) और (80, 0)
मूल बिंदु (0, 0)
0 ≤ 80 के लिए जाँच करना, यह भी सत्य है इसलिए मूल समाधान क्षेत्र में स्थित है।
आवश्यक समाधान क्षेत्र रेखा के ग्राफ के बाईं ओर होगा।
दिया गया x ≤ 15,
y के सभी मानों के लिए, x समान होगा
मूल बिंदु (0, 0)
0 ≤ 15 के लिए जाँच करना, यह सत्य है इसलिए मूल को समाधान क्षेत्र में शामिल किया जाएगा। वांछित समाधान क्षेत्र रेखा के ग्राफ के बाईं ओर होगा।
y ≥ 0, x ≥ 0 पर विचार करें
क्योंकि x और y, 0 से बड़े हैं, समाधान पहले चतुर्थांश में होगा।
ग्राफ में छायांकित क्षेत्र सभी दी गई असमानताओं को संतुष्ट करता है और इसलिए दी गई असमानताओं का समाधान क्षेत्र है।

15. x + 2y ≤ 10, x + y ≥ 1, x – y ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0

हल:
दिया गया है, x + 2y 10,
x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके समीकरण में रखने पर, हमें
y = 5 और x = 10
का मान प्राप्त होता है, आवश्यक बिंदु हैं (0, 5) और (10, 0)
मूल (0, 0)
0 ≤ 10 की जाँच करना, यह सत्य है।
इसलिए समाधान क्षेत्र उसी सहित मूल की ओर होगा। समाधान क्षेत्र रेखा के ग्राफ के बाईं ओर होगा।
हमारे पास x + y ≥ 1 है,
x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके समीकरण में रखने पर, हमें
y = 1 का मान मिलता है और x = 1
आवश्यक बिंदु हैं (0, 1) और (1, 0)
मूल (0, 0)
0 ≥ 1 के लिए जाँच करना, यह सत्य नहीं है।
इसलिए मूल को समाधान क्षेत्र में शामिल नहीं किया जाएगा। आवश्यक समाधान क्षेत्र रेखा के ग्राफ के दाईं ओर होगा।
x – y 0 पर विचार करें,
x = 0 और y = 0 के मान को एक-एक करके समीकरण में रखने पर, हमें
y = 0 और x = 0 का मान प्राप्त
होता है, इसलिए मूल रेखा पर होगा।
यह जाँचने के लिए कि रेखा ग्राफ़ का कौन-सा पक्ष समाधान क्षेत्र में शामिल किया जाएगा, हम (10, 0)
10 ≤ 0 की जाँच करेंगे जो सत्य नहीं है इसलिए समाधान क्षेत्र रेखा के ग्राफ़ के बाईं ओर होगा।
फिर से हमारे पास x ≥ 0, y ≥ 0 है
क्योंकि x और y दोनों 0 से बड़े हैं, समाधान क्षेत्र पहले चतुर्थांश में होगा।
अत: दी गई असमानताओं का हल क्षेत्र ग्राफ का छायांकित क्षेत्र होगा जो दी गई सभी असमानताओं को संतुष्ट करता है।