NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 11 शंकु परिच्छेद (Conic Sections) विविध प्रश्नावली

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 11 – शंकु परिच्छेद (conic-sections) विविध प्रश्नावली

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 11 – शंकु परिच्छेद (conic-sections) विविध प्रश्नावली

?Chapter – 11?

✍शंकु परिच्छेद ✍

?विविध प्रश्नावली?

1. यदि एक परवलयाकार परावर्तक का व्यास 20 सेमि और गहराई 5 सेमि है | नाभि ज्ञात कीजिए |

हल: हम जानते हैं कि निर्देशांक तल का उद्गम परवलयिक परावर्तक के शीर्ष पर लिया जाता है, जहां परावर्तक का अक्ष धनात्मक x-अक्ष के अनुदिश होता है।

आरेखीय प्रतिनिधित्व इस प्रकार है:

हम जानते हैं कि परवलय का समीकरण y ² = 4ax के रूप का होता है (क्योंकि यह दाईं ओर खुल रहा है) क्योंकि परवलय बिंदु A(10, 5), y ² = 4ax 102 = 4a(5) 100
से होकर गुजरता है। = 20ए ए = 100/20 = 5
परवलय का फोकस (a, 0) = (5, 0) है, जो व्यास का मध्य-बिंदु है।
इसलिए, परावर्तक का फोकस व्यास के मध्य-बिंदु पर होता है।

2. एक मेहराब परवलय के आकार का है और इसका अक्ष ऊर्ध्वाधर है | मेहराव 10 मीटर ऊँचा है और आधार में 5 मीटर चौड़ा है यह, परवलय के दो मीटर की दूरी पर शीर्ष से कितना चौड़ा होगा ?

हल: हम जानते हैं कि निर्देशांक तल का उद्गम चाप के शीर्ष पर लिया जाता है, जहां इसका ऊर्ध्वाधर अक्ष धनात्मक y-अक्ष के अनुदिश होता है।

आरेखीय प्रतिनिधित्व इस प्रकार है:

परवलय का समीकरण x ² = 4ay के रूप का है (क्योंकि यह ऊपर की ओर खुल रहा है)।
यह दिया गया है कि आधार मेहराब 10 मीटर ऊंचा और 5 मीटर चौड़ा है।
तो, उपरोक्त आकृति से y = 10 और x = 5/2।
यह स्पष्ट है कि परवलय बिंदु (5/2, 10) से होकर गुजरता है,
तो, x ² = 4ay
(5/2) ² = 4a(10)
4a = 25/(4×10)
a = 5/32
हम जानते हैं कि मेहराब एक परवलय के रूप में है जिसका समीकरण x ² = 5/8y
है, हमें चौड़ाई ज्ञात करने की आवश्यकता है, जब ऊँचाई = 2 मी।
x ज्ञात करना, जब y = 2.
जब, y = 2,
x ² = 5/8 (2)
= 5/4
x = √(5/4)
= √5/2
AB = 2 × √5/2m
= √5m
= 2.23m (लगभग)
इसलिए, जब मेहराब परवलय के शीर्ष से 2m है, तो इसकी चौड़ाई लगभग 2.23m है।

3. एक सर्वसम भारी झूलते पुल की केबिल (cable) परवलय के रूप में लटकी हुई है | सड़क पथ जो क्षैतिज है 100 मीटर लंबा है तथा केबिल से जुड़े ऊर्ध्वाधर तारों पर टिका हुआ है, जिसमें सबसे लंबा तार 30 मीटर और सबसे छोटा तार 6 मीटर है | मध्य से 18 मीटर दूर सड़क पथ से जुड़े समर्थक (supporting) तार की लंबाई ज्ञात कीजिए |

हल: हम जानते हैं कि शीर्ष केबल के सबसे निचले बिंदु पर है। निर्देशांक तल का उद्गम परवलय के शीर्ष के रूप में लिया जाता है, जबकि इसका ऊर्ध्वाधर अक्ष धनात्मक y-अक्ष के अनुदिश लिया जाता है।

आरेखीय प्रतिनिधित्व इस प्रकार है:

यहाँ, AB और OC क्रमशः केबल से जुड़े सबसे लंबे और सबसे छोटे तार हैं।
DF रोडवेज से जुड़ा सपोर्टिंग वायर है, बीच से 18 मी।
तो, AB = 30m, OC = 6m, और BC = 50m।
परवलय का समीकरण x2 = 4ay से है (क्योंकि यह ऊपर की ओर खुल रहा है)।
बिंदु A के निर्देशांक हैं (50, 30 -6) = (50, 24)
क्योंकि A(50, 24) परवलय पर एक बिंदु है।
y2 = 4ax
(50)2 = 4a(24)
a = (50×50)/(4×24)
= 625/24
परवलय का समीकरण, x ² = 4ay = 4×(625/24)y या 6x ² = 625y
बिंदु D का x – निर्देशांक 18 है
। इसलिए, x = 18 पर,
6(18) ² = 625y
y = (6×18×18)/625
= 3.11(लगभग)
इस प्रकार, DE = 3.11 m
DF = DE +EF = 3.11m +6m = 9.11m
इसलिए, बीच से 18m सड़क से जुड़े सहायक तार की लंबाई लगभग 9.11m है।

4. एक मेहराव अर्ध-दीर्घवृत्ताकार रूप का है | यह 8 मीटर चौड़ा और केन्द्र से 2 मीटर ऊँचा है | एक सिरे से 1.5 मीटर दूर बिन्दु पर मेहरात की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |

हल: चूँकि चाप की केंद्र से ऊँचाई और चौड़ाई क्रमशः 2m और 8m है, यह स्पष्ट है कि दीर्घ अक्ष की लंबाई 8m है, जबकि अर्ध-लघु अक्ष की लंबाई 2m है।

निर्देशांक तल की उत्पत्ति को दीर्घवृत्त के केंद्र के रूप में लिया जाता है, जबकि प्रमुख अक्ष को x-अक्ष के साथ लिया जाता है।
इसलिए, अर्ध-दीर्घवृत्त का आरेखीय निरूपण इस प्रकार है:

अर्ध-दीर्घवृत्त का समीकरण x ^2/16 + y ² /4 = 1, y 0 … का होगा (1
मान लीजिए कि A दीर्घ अक्ष पर एक ऐसा बिंदु है कि AB = 1.5m है।
अब AC खींचें । OB.
OA = (4 – 1.5)m = 2.5m
बिंदु C का x – निर्देशांक
2.5 है। समीकरण (1) में x के मान को 2.5 से प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
(2.5)2/16 + y ² /4 = 1
6.25/16 + y ² /4 = 1
y ² = 4 (1 – 6.25/16)
= 4 (9.75/16)
= 2.4375
y = 1.56 (लगभग)
तो, AC = 1.56m
इसलिए, की ऊंचाई एक छोर से 1.5 मीटर के बिंदु पर चाप लगभग 1.56 मीटर है।

5. एक 12 सेंटीमीटर लम्बी छड़ इस प्रकार चलती है कि इसके सिरे निर्देशांछो को स्पर्श करते हैं बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जो X-अक्ष के संपर्क वाले सिरे से 3 सेमी दूर है

हल : मान लीजिए कि AB वह छड़ है जो OX से कोण बनाती है और P(x,y) उस पर इस प्रकार का बिंदु है कि
AP = 3cm है।

आरेखीय प्रतिनिधित्व इस प्रकार है:

फिर, PB = AB – AP = (12 – 3) सेमी = 9 सेमी [AB = 12 सेमी]
P से, PQ OY और PR ⊥ OX खींचिए।
PBQ में, cos = PQ/PB = x/9
Sin θ = PR/PA = y/3
हम जानते हैं कि sin2 +cos2 θ = 1,
तो,
(y/3) ² + (x/9) ² = 1 या
x 2/81 + y 2/9 ⁼ 1 ^अत
: छड़ पर बिंदु P के बिन्दुपथ का समीकरण x 2/81 + y 2/9 ⁼ 1 ^{है ।}

6. त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो परवलय x²=12yx²=12y के शीर्ष को इसकी नाभिलम्ब जीवा के सिरों को मिलाने वाली रेखाओ से बना है |

हल: दिया गया परवलय x²= 12y है।
इस समीकरण की x²= 4ay से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है,
4a = 12
a = 12/4
= 3
के निर्देशांक S(0,a) = S(0,3) हैं।
अब मान लीजिए AB दिए गए परवलय का लेटस रेक्टम है।
दिए गए परवलय को मोटे तौर पर इस प्रकार खींचा जा सकता है:

y = 3 पर, x2 = 12(3)
x ² = 36
x = ±6
अतः, A के निर्देशांक (-6, 3) हैं, जबकि B के निर्देशांक (6, 3) हैं
, तो OAB के शीर्ष ओ (0,0), ए (-6,3) और बी (6,3) हैं।
सूत्र का उपयोग करके,
OAB का क्षेत्रफल = ½ [0(3-3) + (-6)(3-0) + 6(0-3)] इकाई ²
= ½ [(-6) (3) + 6 ( -3)] इकाई ²
= ½ [-18-18] इकाई ²
= ½ [-36] इकाई ²
= 18 इकाई ²
OAB का क्षेत्रफल 18 इकाई ^{2 है}

7. एक व्यक्ति दौड़पथ पर दौड़ते हुऐ अंकित करता है कि उससे दो झंडा चौकियों कि दूरियों का योग सदैव 10 मीटर रहता है | और झंडा चौकियों के बीच कि दूरी 8 मीटर है | व्यक्ति द्वारा बनाए पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए |

समाधान: मान लीजिए कि A और B दो ध्वज पदों की स्थिति है और P(x, y) व्यक्ति की स्थिति है।
तो, पीए + पीबी = 10।

हम जानते हैं कि यदि कोई बिंदु समतल में इस प्रकार गति करता है कि दो निश्चित बिंदुओं से उसकी दूरी का योग स्थिर है, तो पथ एक दीर्घवृत्त है और यह स्थिर मान दीर्घवृत्त के दीर्घ अक्ष की लंबाई के बराबर है।

फिर, आदमी द्वारा वर्णित पथ एक दीर्घवृत्त है जहां प्रमुख अक्ष की लंबाई 10 मीटर है, जबकि बिंदु ए और बी नाभियां हैं।

अब हम निर्देशांक तल की उत्पत्ति को दीर्घवृत्त के केंद्र के रूप में लेते हैं, और दीर्घ अक्ष को x-अक्ष के अनुदिश लेते हुए,

दीर्घवृत्त का आरेखीय निरूपण इस प्रकार है:

दीर्घवृत्त का समीकरण x ² /a ² + y ² /b ² = 1 के रूप में होता है, जहाँ ‘a’ अर्ध-प्रमुख अक्ष है।
तो, 2a = 10
a = 10/2
= 5 नाभियों
के बीच की दूरी, 2c = 8
c = 8/2
= 4
संबंध का उपयोग करके, c = (a ² – b ² ), हम प्राप्त करते हैं,
4 = √( 25 – बी ² )
16 = 25 – बी ²
बी ² = 25 -1
= 9
बी = 3
इसलिए, आदमी द्वारा खोजे गए पथ का समीकरण x ^2/25 + y है 1 ^{है ।}

8. परवलय y²=4axy²=4ax के अंतर्गत एक समबाहु त्रिभुज है जिसका एक शीर्ष परवलय का शीर्ष है त्रिभुज की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिये

हल: आइए मान लें कि OAB परवलय y . में अंकित एक समबाहु त्रिभुज है ² = 4ax में अंकित एक समबाहु त्रिभुज है।

मान लीजिए AB, x-अक्ष को बिंदु C पर प्रतिच्छेद करता है।

दीर्घवृत्त का आरेखीय निरूपण इस प्रकार है:

अब OC = k
दिए गए परवलय के समीकरण से, हमारे पास है,
तो, y ² = 4ak
y = ±2√ak
बिंदु A और B के निर्देशांक (k, 2√ak), और (k, -2 हैं) √ak)
AB = CA + CB
= 2√ak + 2√ak
= 4√ak
चूँकि, OAB एक समबाहु त्रिभुज है, OA ² = AB ² ।
फिर,
k ² + (2√ak)2 = (4√ak) ²
k ² + 4ak = 16ak
k ² = 12ak
k = 12a
इस प्रकार, AB = 4√ak = 4√(a×12a)
= 4√12a2
= 4√(4a×3a)
= 4(2)√3a
= 8√3a
इसलिए, परवलय y ^{2 में अंकित समबाहु त्रिभुज की भुजा} = 4ax 8√3a है।