NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 11 – शंकु परिच्छेद (conic-sections) प्रश्नावली 11.3

June 14, 2022

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 11 – शंकु परिच्छेद (conic-sections) प्रश्नावली 11.3

Textbook	NCERT
Class	Class 11th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	Chapter – 11
Chapter Name	शंकु परिच्छेद (conic-sections)
Mathematics	Class 11th गणित Question & Answer
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 11 – शंकु परिच्छेद (conic-sections) प्रश्नावली 11.3

?Chapter – 11?

✍शंकु परिच्छेद ✍

?प्रश्नावली 11.3?

दीर्घवृत में नाभियों और शीर्षों को निर्देशांक ,दीर्घ और लघु अक्ष की लंबाइयाँ ,उत्केंद्रता तथा नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए

1. x²/25+y²/100=1

हल: दिया
है: समीकरण x^2/36+ y^2/16= 1
है, यहाँ x^2/36का हर y 2/16 के हर से बड़ा^है।
अतः दीर्घ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है, जबकि लघु अक्ष y-अक्ष के अनुदिश है।
दिए गए समीकरण की x²/a²+ y²/b²= 1 से तुलना करने पर, हमें
a = 6 और b = 4
c = √(a²– b²)
= (36-16)
=
= 2√5
तब,
के निर्देशांक (2√5, 0) और (-2√5, 0) हैं।
शीर्षों के निर्देशांक हैं (6, 0) और (-6, 0)
दीर्घ अक्ष की लंबाई = 2a = 2 (6) = 12
लघु अक्ष की लंबाई = 2b = 2 (4) = 8
उत्केंद्रता, e = c/ a = 2√5/6 = √5/3 लेटस रेक्टम
की लंबाई = 2b ² /a = (2×16)/6 = 16/3

2. x²/4+y²/25=1

हल: दिया
गया है: समीकरण x²/4 + y 2/25⁼1
है यहाँ, y2/25 का हर x 2 /4 के हर से^बड़ाहै^।
अतः दीर्घ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है, जबकि लघु अक्ष y-अक्ष के अनुदिश है।
दिए गए समीकरण की x²/a²+ y²/b²= 1 से तुलना करने पर, हमें
a = 5 और b = 2
c = √(a2 – b2)
= √(25-4)
= √21
तब,
फॉसी के निर्देशांक (0, 21) और (0, -√21) हैं।
शीर्षों के निर्देशांक हैं (0, 5) और (0, -5)
दीर्घ अक्ष की लंबाई = 2a = 2 (5) = 10
लघु अक्ष की लंबाई = 2b = 2 (2) = 4
उत्केंद्रता, e = c/a = √21/5 लेटस रेक्टम
की लंबाई = 2b ² /a = (2×22)/5 = (2×4)/5 = 8/5

3. x²/16+y²/9=

हल: दिया
गया है: समीकरण x^2/16+ y 2/9⁼1 या x^2/42+ y 2/32⁼1
है। यहाँ x^2/16का हर y 2/9 के हर से बड़ा^है।
अतः दीर्घ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है, जबकि लघु अक्ष y-अक्ष के अनुदिश है।
दिए गए समीकरण की x²/a²+ y²/b²= 1 से तुलना करने पर, हमें
a = 4 और b = 3
c = √(a²– b²)
= √(16-9)
= √7
फिर,
नाभियों के निर्देशांक (√7, 0) और (-√7, 0) हैं।
शीर्षों के निर्देशांक हैं (4, 0) और (-4, 0)
दीर्घ अक्ष की लंबाई = 2a = 2 (4) = 8
लघु अक्ष की लंबाई = 2b = 2 (3) = 6
उत्केंद्रता, e = c/ a = √7/4 लेटस रेक्टम
की लंबाई = 2b ² /a = (2×32)/4 = (2×9)/4 = 18/4 = 9/2

4. x²/25+y²/100=1

हल: दिया
है: समीकरण x^2/25+ y 2/100= 1^है
। यहाँ, y^2/100का हर x 2/25 के हर से बड़ा^है।
अतः दीर्घ अक्ष y-अक्ष के अनुदिश है, जबकि लघु अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है।
दिए गए समीकरण की x²/b²+ y²/a²= 1 से तुलना करने पर, हमें
b = 5 और a =10 प्राप्त होता है।
c = √(a²– b²)
= √(100-25)
= √75
= 5√3
फिर,
के निर्देशांक (0, 5√3) और (0, -5√3) हैं।
शीर्षों के निर्देशांक हैं (0, 10) और (0, -√10)
दीर्घ अक्ष की लंबाई = 2a = 2 (10) = 20
लघु अक्ष की लंबाई = 2b = 2 (5) = 10
उत्केंद्रता, e = c/a = 5√3/10 = √3/2 लेटस रेक्टम
की लंबाई = 2b ² /a = (2×52)/10 = (2×25)/10 = 5

5. x²/49+y²/36=1

हल: दिया
गया है: समीकरण x^2/49+ y2/36 = 1^है
, यहाँ x^2/49का हर y 2/36 के हर से बड़ा^है।
अतः दीर्घ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है, जबकि लघु अक्ष y-अक्ष के अनुदिश है।
दिए गए समीकरण की x²/a²+ y²/b²= 1 से तुलना करने पर, हमें
b = 6 और a =7
c = √(a²– b²)
= √(49-36)=
√13 मिलता
,
foci के निर्देशांक (√13, 0) और (-√3, 0) हैं।
शीर्षों के निर्देशांक (7, 0) और (-7, 0) हैं
दीर्घ अक्ष की लंबाई = 2a = 2 (7) = 14
लघु अक्ष की लंबाई = 2b = 2 (6) = 12
उत्केंद्रता, e = c/a = √13/7 लेटस रेक्टम
की लंबाई = 2b ² /a = (2 ×62)/7 = (2×36)/7 = 72/7

6. x²/100+y²/400=1

हल: दिया
है: समीकरण x2/100 + y^2/400= 1^है
। यहाँ, y^2/400का हर x 2/100 के हर से बड़ा^है।
अतः दीर्घ अक्ष y-अक्ष के अनुदिश है, जबकि लघु अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है।
दिए गए समीकरण की x²/b²+ y²/a²= 1 से तुलना करने पर हमें
b = 10 और a =20 प्राप्त होता है।
c = √(a2 – b2)
= √(400-100)
= √300
= 10√3
फिर,
के निर्देशांक (0, 10√3) और (0, -10√3) हैं।
शीर्षों के निर्देशांक (0, 20) और (0, -20) हैं
दीर्घ अक्ष की लंबाई = 2a = 2 (20) = 40
लघु अक्ष की लंबाई = 2b = 2 (10) = 20
उत्केंद्रता, e = c/a = 10√3/20 = √3/2 लेटस रेक्टम
की लंबाई = 2b ² /a = (2×102)/20 = (2×100)/20 = 10

7. 36x² + 4y² = 144

हल: दिया
गया है: समीकरण 36x²+ 4y²= 144 या x²/4 + y^2/36= 1 या x^2/22+ y^2/62= 1
है। यहां, y 2/62 का हर^इससेबड़ा है x 2/22 का^हर।
अतः दीर्घ अक्ष y-अक्ष के अनुदिश है, जबकि लघु अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है।
दिए गए समीकरण की x²/b²+ y²/a²= 1 से तुलना करने पर, हमें
b = 2 और a = 6.
। c = √(a²– b²)
= (36-4)
= √32
= 4√2
फिर,
नाभियों के निर्देशांक (0, 4√2) और (0, -4√2) हैं।
शीर्षों के निर्देशांक हैं (0, 6) और (0, -6)
दीर्घ अक्ष की लंबाई = 2a = 2 (6) = 12
लघु अक्ष की लंबाई = 2b = 2 (2) = 4
उत्केंद्रता, e = c/ a = 4√2/6 = 2√2/3 लेटस रेक्टम
की लंबाई = 2b ² /a = (2×22)/6 = (2×4)/6 = 4/3

8. 16x² + y² = 16

हल: दिया
गया है: समीकरण 16×2 + y²= 16 या x^2/1+^2/16¹^2/12+^2/42=1
है। x 2/12 का^हर।
अतः दीर्घ अक्ष y-अक्ष के अनुदिश है, जबकि लघु अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है।
दिए गए समीकरण की x²/b²+ y²/a²= 1 से तुलना करने पर हमें
b =1 और a =4 प्राप्त होता है।
c = √(a2 – b2)
= √(16-1)
= √15
फिर,
के निर्देशांक (0, 15) और (0, -√15) हैं।
शीर्षों के निर्देशांक हैं (0, 4) और (0, -4)
दीर्घ अक्ष की लंबाई = 2a = 2 (4) = 8
लघु अक्ष की लंबाई = 2b = 2 (1) = 2
उत्केंद्रता, e = c/ a = √15/4 लेटस रेक्टम
की लंबाई = 2b ² /a = (2×12)/4 = 2/4 = ½

9. 4x² + 9y² = 36

हल: दिया
गया है: समीकरण 4x²+ 9y²= 36 या x^2/9+ y²/4 = 1 या x^2/32= 1^है
। y 2/22 का^हर।
अतः दीर्घ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है, जबकि लघु अक्ष y-अक्ष के अनुदिश है।
दिए गए समीकरण की x²/a²+ y²/b²= 1 से तुलना करने पर हमें
a =3 और b =2 प्राप्त होता है।
सी = √ (ए²– बी²)
= √ (9-4)
= √5
फिर,
foci के निर्देशांक (√5, 0) और (-√5, 0) हैं।
शीर्षों के निर्देशांक हैं (3, 0) और (-3, 0)
दीर्घ अक्ष की लंबाई = 2a = 2 (3) = 6
लघु अक्ष की लंबाई = 2b = 2 (2) = 4
उत्केंद्रता, e = c/ a = √5/3 लेटस रेक्टम
की लंबाई = 2b ² /a = (2×22)/3 = (2×4)/3 = 8/3
निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न 10 से 20 में, के लिए समीकरण खोजें दीर्घवृत्त जो दी गई शर्तों को पूरा करता है:

10. शीर्षों $(\pm 5, 0)$ नाभियाँ $(\pm 4, 0)$

हल: दिया है:
शीर्ष (± 5, 0) और नाभियाँ (± 4, 0)
यहाँ, शीर्ष x-अक्ष पर हैं।
तो, दीर्घवृत्त का समीकरण x²/a²+ y²/b²= 1 के रूप का होगा, जहाँ ‘a’ अर्ध-प्रमुख अक्ष है।
तब, a = 5 और c = 4.
यह ज्ञात है कि a²= b²+ c²
अतः, 52 = b²+ 42
25 = b²+ 16
b²= 25 – 16b
= √9
= 3
दीर्घवृत्त का समीकरण x 2/52+ y 2/32⁼¹या x^2/25+ y है^2/9 = 1

11. शीर्ष (0, ± 13), नाभियाँ (0, ± 5)

हल: दिया है:
शीर्ष (0, ± 13) और नाभियाँ (0, ± 5)
यहाँ, शीर्ष y-अक्ष पर हैं।
तो, दीर्घवृत्त का समीकरण x²/b²+ y²/a²= 1 के रूप का होगा, जहाँ ‘a’ अर्ध-प्रमुख अक्ष है।
तब, a =13 और c = 5.
यह ज्ञात है कि a²= b²+ c²
132 = b²+52
169 = b²+ 15
b²= 169 – 125
b = 144
= 12
का समीकरण अंडाकार x^2/122+ y¹या x^2/144+ y . है2/169 = ¹

12. शीर्ष (± 6, 0), नाभियाँ (± 4, 0)

हल: दिया है:
शीर्ष (± 6, 0) और नाभियाँ (± 4, 0)
यहाँ, शीर्ष x-अक्ष पर हैं।
तो, दीर्घवृत्त का समीकरण x²/a²+ y²/b²= 1 के रूप का होगा, जहाँ ‘a’ अर्ध-प्रमुख अक्ष है।
तब, a = 6 और c = 4.
यह ज्ञात है कि a²= b²+ c²
62 = b²+42
36 = b²+ 16
b²= 36 – 16
b = 20
दीर्घवृत्त का समीकरण x+ y²/(√20)²= 1 या x^2/36⁺y . है2/20 = ¹

13. दिए प्रतिबन्धों को संतुष्ट करते हुए दीर्घववृत का समीकरण ज्ञात कीजिए
दीर्घ अक्ष के अंत्य बिंदु $(\pm 3, 0)$ लघु अक्ष के अंत्य बिंदु $(0, \pm 2)$

हल: दिया है:
दीर्घ अक्ष के सिरे (± 3, 0) और लघु अक्ष के सिरे (0, ± 2)
यहाँ, दीर्घ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है।
तो, दीर्घवृत्त का समीकरण x²/a²+ y²/b²= 1 के रूप का होगा, जहाँ ‘a’ अर्ध-प्रमुख अक्ष है।
फिर, a = 3 और b = 2.
दीर्घवृत्त x 2/32+ y^2/22= 1 या x^2/9+ y²/4 = 1^के

14. दीर्घ अक्ष के अंत्य बिंदु $(0, \pm \sqrt{5})$ लघु अक्ष के अंत्य बिंदु $(\pm 1, 0)$

हल: दिया है:
दीर्घ अक्ष के सिरे (0, ±√5) और लघु अक्ष के सिरे (±1, 0)
यहाँ, दीर्घ अक्ष y-अक्ष के अनुदिश है।
तो, दीर्घवृत्त का समीकरण x²/b²+ y²/a²= 1 के रूप का होगा, जहाँ ‘a’ अर्ध-प्रमुख अक्ष है।
फिर, a = √5 और b = 1.
दीर्घवृत्त x+ y²/(√5)²= 1 या x2/1 + y²/5 = 1^के

15. दीर्घ अक्ष की लंबाई 26, नाभियाँ $(\pm 5, 0)$

हल: दिया है:
दीर्घ अक्ष की लंबाई 26 है और नाभियाँ (±5, 0)
चूँकि नाभियाँ x-अक्ष पर हैं, दीर्घ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है।
तो, दीर्घवृत्त का समीकरण x²/a²+ y²/b²= 1 के रूप का होगा, जहाँ ‘a’ अर्ध-प्रमुख अक्ष है।
फिर, 2a = 26
a = 13 और c = 5।
यह ज्ञात है कि a²= b²+ c²
132 = b²+52
169 = b²+ 25
b²= 169 – 25b
= √144
= 12
दीर्घवृत्त का समीकरण x²/132 + y²/122 = 1 या x ² /169 + y ² /144 = 1

16. दीर्घ अक्ष की लंबाई 16, नाभियाँ $(0, \pm 6)$

हल: दिया गया है:
लघु अक्ष की लंबाई 16 है और फोकस (0, ±6) है।
चूँकि नाभियाँ y-अक्ष पर हैं, दीर्घ अक्ष y-अक्ष के अनुदिश है।
तो, दीर्घवृत्त का समीकरण x²/b²+ y²/a²= 1 के रूप का होगा, जहाँ ‘a’ अर्ध-प्रमुख अक्ष है।
तब, 2b =16
b = 8 और c = 6.
यह ज्ञात है कि a²= b²+ c²
a²= 82 + 62
= 64 + 36
= 100
a = √100
= 10
दीर्घवृत्त का समीकरण है एक्स2/82 + वाई^2/102¹या एक्स^2/64+ वाई²/100 = 1

17. नाभियाँ $(\pm 3, 0) a = 4$

हल: दिया है:
Foci (±3, 0) और a = 4
चूँकि नाभियाँ x-अक्ष पर हैं, दीर्घ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है।
तो, दीर्घवृत्त का समीकरण x²/a²+ y²/b²= 1 के रूप का होगा, जहाँ ‘a’ अर्ध-प्रमुख अक्ष है।
तब, c = 3 और a = 4।
यह ज्ञात है कि a²= b²+ c²।
a²= 82 + 62
= 64 + 36
= 100
16 = b²+ 9
b²= 16 – 9
= 7
दीर्घवृत्त का समीकरण x 2/16⁺y 2/7⁼1

18. b=3,c=4 केंद्र मूल बिंदु पर, नाभियाँ x – अक्ष पर

हल: दिया गया है:
b = 3, c = 4, केंद्र मूल बिंदु पर और फोकस x-अक्ष पर।
चूँकि नाभियाँ x-अक्ष पर हैं, दीर्घ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है।
तो, दीर्घवृत्त का समीकरण x²/a²+ y²/b²= 1 के रूप का होगा, जहाँ ‘a’ अर्ध-प्रमुख अक्ष है।
फिर, b = 3 और c = 4।
यह ज्ञात है कि a²= b²+ c²
a²= 32 + 42
= 9 + 16
= 25
a = √25
= 5
दीर्घवृत्त का समीकरण x²/52 + y 2/32^याx^2/25+ y²/9 = 1

19. केंद्र (0 ,0 ) पर दीर्घ – अक्ष ,y – अक्ष पर और बिंदुओं (3 , 2 ) और (1 ,6 ) से जाता है |

हल: दिया है:
केंद्र (0, 0) पर, y-अक्ष पर दीर्घ अक्ष और बिंदुओं (3, 2) और (1, 6) से होकर गुजरता है।
चूँकि केंद्र (0, 0) पर है और प्रमुख अक्ष y-अक्ष पर है, दीर्घवृत्त का समीकरण x²/b²+ y²/a²= 1 के रूप में होगा, जहाँ ‘a’ है अर्ध-प्रमुख अक्ष।
दीर्घवृत्त बिंदुओं (3, 2) और (1, 6) से होकर गुजरता है।
तो, x = 3 और y = 2 के मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,
32/b²+ 22/a²= 1
9/b²+ 4/a²…। (1)
और x = 1 और y = 6 के मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,
11/बी²+ 62/ए²= 1
1/बी ² + 36/ए ² = 1…. (2)
समीकरण (1) और (2) को हल करने पर, हमें
b ² = 10 और a ² = 40 मिलता
है। दीर्घवृत्त का समीकरण x ² /10 + y ^2/40 = 1 या 4×2 + y ² = है। 40

20. दीर्घ- अक्ष ,x – अक्ष पर और बिंदुओं (4,3) और (1,6) से जाता है |

हल: दिया है:
x-अक्ष पर दीर्घ अक्ष और बिंदुओं (4, 3) और (6, 2) से होकर गुजरता है।
चूँकि दीर्घ अक्ष x-अक्ष पर है, दीर्घवृत्त का समीकरण
x²/a²+ y²/b²= 1… के रूप में होगा। (1) [जहाँ ‘a’ अर्ध-प्रमुख अक्ष है।]
दीर्घवृत्त बिंदुओं (4, 3) और (6, 2) से होकर गुजरता है।
अतः समीकरण (1) में x = 4 और y = 3 के मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है,
16/a²+ 9/b²= 1…। (2)
समीकरण (1) में x = 6 और y = 2 रखने पर,
36/a²+ 4/b²= 1…. (3)
समीकरण (2)
16/a²= 1 – 9/बी ²
1/ए ² = (1/16 (1 – 9/बी ² )) …. (4) समीकरण (3) में 1/ए ²
के मान को प्रतिस्थापित करने पर ,
36/ए ² + 4/बी ² = 1
36(1/ए ² ) + 4/बी ² = 1
36 [1/16 ( 1 – 9/बी ² )] + 4/बी ² = 1
36/16 (1 – 9/बी ² ) + 4/बी ² = 1
9/4 (1 – 9/बी ² ) + 4/बी ² = 1
9/4 – 81/4बी ² + 4/बी ² = 1
-81/4बी ² + 4/बी ² = 1 – 9/4
(-81+16)/4बी ² = (4-9)/4
-65/4बी ² = -5/4
-5/4(13/बी ² ) = -5/4
13/बी ² = 1
1/ b ² = 1/13
b ² = 13 अब समीकरण (4) में b ²
के मान को प्रतिस्थापित करें , हमें प्राप्त होता है,
1/a ² = 1/16(1 – 9/b ² )
= 1/16(1 – 9/ 13)
= 1/16((13-9)/13)
= 1/16(4/13)
= 1/52
a ² = 52
दीर्घवृत्त का समीकरण x ² /a ² + y2/b ² = 1
को प्रतिस्थापित करके a ² और b . के मान² उपरोक्त समीकरण में हमें मिलता है,
x 2/52 + y ^2/13 = ¹