NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 11 – शंकु परिच्छेद (conic-sections) प्रश्नावली 11.1

June 14, 2022

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 11 – शंकु परिच्छेद (conic-sections) प्रश्नावली 11.1

Textbook	NCERT
Class	Class 11th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	Chapter – 11
Chapter Name	शंकु परिच्छेद (conic-sections)
Mathematics	Class 11th गणित Question & Answer
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 11 – शंकु परिच्छेद (conic-sections) प्रश्नावली 11.1

?Chapter – 11?

✍शंकु परिच्छेद ✍

?प्रश्नावली 11.1?

वृत का समीकरण ज्ञात कीजिए :
1. केंद्र (0,2) और त्रिज्या 2 इकाई

हल: दिया गया है:
केंद्र (0, 2) और त्रिज्या 2
आइए केंद्र (h, k) वाले एक वृत्त के समीकरण पर विचार करें और
त्रिज्या r को (x – h)²+ (y – k)²= r²
अत: केंद्र (h, k) = (0, 2) और त्रिज्या (r) = 2
वृत्त का समीकरण है
(x – 0)²+ (y – 2)²= 22
x²+ y²+ 4 – 4y = 4
x²+ y²– 4y = 0
वृत्त का समीकरण x²+ y²– 4y = 0

2. केंद्र (-2,3) और त्रिज्या 4 इकाई

हल: दिया गया है:
केंद्र (-2, 3) और त्रिज्या 4
आइए केंद्र (h, k) वाले एक वृत्त के समीकरण पर विचार करें और
त्रिज्या r को (x – h)²+ (y – k)²= r²
अतः, केंद्र (h, k) = (-2, 3) और त्रिज्या (r) = 4
वृत्त का समीकरण है
(x + 2)2 + (y – 3)2 = (4)2
x²+ 4x + 4 + y²– 6y + 9 = 16
x²+ y²+ 4x – 6y – 3 = 0
वृत्त का समीकरण x²+ y²+ 4x – 6y – 3 = 0

3. केंद्र $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ और त्रिज्या $\frac{1}{12}$ इकाई

हल: दिया गया है:
केंद्र (1/2, 1/4) और त्रिज्या 1/12
आइए केंद्र (h, k) वाले एक वृत्त के समीकरण पर विचार करें और
त्रिज्या r को (x – h)²+ (y -k)²= r²
तो, केंद्र (h, k) = (1/2, 1/4) और त्रिज्या (r) = 1/12
वृत्त का समीकरण है
(x – 1/2)²+ (y – 1/4)²= (1/12)²
x²– x + ¼ + y²– y/2 + 1/16 = 1/144
x²– x + ¼ + y²– y/2 + 1/ 16 = 1/144
144×2 – 144x + 36 + 144y²– 72y + 9 – 1 = 0
144×2 – 144x + 144y²– 72y + 44 = 0
36x ² + 36x + 36y ² – 18y + 11 = 0
36x ² + 36y ² – 36x – 18y + 11 = 0
वृत्त का समीकरण 36x ² + 36y ² – 36x – 18y + 11 है = 0

4. केंद्र $(1, 1)$ और त्रिज्या $\sqrt{2}$ इकाई

हल: दिया गया है:
केंद्र (1, 1) और त्रिज्या √2
आइए केंद्र (h, k) वाले एक वृत्त के समीकरण पर विचार करें और
त्रिज्या r को (x – h)²+ (y – k)²= r²
अतः, केंद्र (h, k) = (1, 1) और त्रिज्या (r) = √2
वृत्त का समीकरण है
(x-1)²+ (y-1)²= (√2)²
x²– 2x + 1 + y²-2y + 1 = 2
x²+ y²– 2x -2y = 0
वृत्त का समीकरण x²+ y²– 2x -2y = 0

5. केंद्र $(- a, - b)$ और त्रिज्या $\sqrt{a^{2} - b^{2}}$ इकाई

हल: दिया गया है:
केंद्र (-a, -b) और त्रिज्या (a²– b²)
आइए केंद्र (h, k) वाले एक वृत्त के समीकरण पर विचार करें और
त्रिज्या r को (x – h)²+(y – k)²= r²
तो, केंद्र (h, k) = (-a, -b) और त्रिज्या (r) = √(a²– b²)
वृत्त का समीकरण है
(x + a)²+ (y + b)²= (√(a²– b²)²)
x²+ 2ax + a²+ y²+ 2by + b²= a²– b ²
x ² + y ² +2ax + 2by + 2b ² = 0
वृत्त का समीकरण x ² + y ² +2ax + 2by + 2b ² = 0
है निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न 6 से 9 में, ज्ञात कीजिए वृत्तों का केंद्र और त्रिज्या।

6. (x+5)2+(y−3)2=36

हल: दिया गया है:
दिए गए वृत्त का समीकरण (x + 5)²+ (y – 3)²= 36
(x – (-5))²+ (y – 3)²= 62 है [जो कि रूप का है (एक्स – एच)²+ (वाई – के)²= आर²]
जहां, एच = -5, के = 3 और आर = 6
दिए गए सर्कल का केंद्र (-5, 3) है और इसकी त्रिज्या 6 है .

7. x2+y2−4x−8y−45=0

हल: दिया गया है:
दिए गए वृत्त का समीकरण x²+ y²– 4x – 8y – 45 = 0
x²+ y²– 4x – 8y – 45 = 0
(x²– 4x) + (y²-8y ) = 45
(x²– 2 (x) (2) + 22) + (y²– 2 (y) (4) + 42) – 4 – 16 = 45
(x – 2)²+ (y – 4)²= 65
(x – 2)²+ (y – 4)²= (√65)²[जो रूप है (xh)²+(yk)²= r²]
जहां h = 2, K = 4 और r = 65
दिए गए वृत्त का केंद्र (2, 4) है और इसकी त्रिज्या √65 है।

8. x2 + y2 – 8x + 10y – 12 = 0

हल: दिया गया है:
दिए गए वृत्त का समीकरण x²+ y²-8x + 10y -12 = 0
x²+ y²– 8x + 10y – 12 = 0
(x²– 8x) + (y²+ 10y ) = 12
(x²– 2 (x) (4) + 42) + (y²– 2 (y) (5) + 52) – 16 – 25 = 12
(x – 4)²+ (y + 5)²= 53
(x – 4)²+ (y – (-5))²= (√53)²[जो रूप है (xh)²+(yk)²= r²]
जहां h = 4, K= – 5 और आर = 53
दिए गए वृत्त का केंद्र (4, -5) है और इसकी त्रिज्या √53 है।

9. 2×2 + 2y ² – x = 0

हल: दिए गए वृत्त का समीकरण 2×2 + 2y² -x = 0 है।
2×2 + 2y²-x = 0
(2x²+ x) + 2y²= 0
(x²– 2 (x) (1/ 4) + (1/4)2) + y²– (1/4)²= 0
(x – 1/4)²+ (y – 0)²= (1/4)²[जो रूप है (xh)²+(yk)²= r²]
जहां, h = , K = 0, और r =
दिए गए वृत्त का केंद्र (1/4, 0) है और इसकी त्रिज्या 1/4 है।

10. बिंदुओं (4,1) और (6,5) से जाने वाले वृत्त का समीकरण कीजिए जिसका केंद्र रेखा $4 x + y = 16$ पर स्थित है।

हल: मान लीजिए कि अभीष्ट वृत्त का समीकरण है (x – h)² + (y – k)² = r²

हम जानते हैं कि वृत्त बिंदुओं (4,1) और (6,5) से होकर गुजरता है
, इसलिए,
(4 – h) ² + (1 – k) ² = r ² ……………..(1)
(6– h) ² + (5 – k) ² = r ² ………………(2)
चूँकि वृत्त का केंद्र (h, k) रेखा 4x + y = 16,
4h + k =16…… पर स्थित है। …………… (3)
समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं
(4 – एच) ² + (1 – के) ² = (6 – एच) ² + (5 – के) ²
16 – 8h + h ² +1 -2k +k ² = 36 -12h +h ² +15 – 10k + k ²
16 – 8h +1 -2k + 12h -25 -10k
4h +8k = 44
h + 2k =11……………. (4) समीकरण ( ³
) और (4) को हल करने पर, हमें एच = 3 और के = 4 प्राप्त
होता है । 4) ² = r ² (1) ² + (-3) ² = r ² 1+9 = r ² r = √10 तो अब, (x – 3) ² + (y – 4) ² = (√10) ² x ² – 6x + 9 + y ² – 8y + 16 = 10 x ² + y ² – 6x – 8y + 15 = 0 आवश्यक वृत्त का समीकरण x ² + y ^{2 है}
– 6x – 8y + 15 = 0

11. बिंदुओं (2,3) और (-1,1) से जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र रेखा $x - 3 y - 11 = 0$ पर स्थित है।

हल: आइए हम आवश्यक वृत्त के समीकरण पर विचार करें (x – h)2 + (y – k)² = r²
हम जानते हैं कि वृत्त बिंदुओं (2,3) और (-1,1) से होकर गुजरता है।
(2 – एच)²+ (3 – के)²=आर²…………….. (1)
(-1 – एच)²+ (1- के) 2 = आर²………………( 2)
चूँकि वृत्त का केंद्र (h, k) रेखा x – 3y – 11 = 0 पर स्थित है,
h – 3k = 11 ……………… (3)
समीकरण (1) और (2) से , हम प्राप्त करते हैं
(2 – h)²+ (3 – k)²= (-1 – h)²+ (1 – k)²
4 – 4h + h²+9 -6k +k²= 1 + 2h +h² +1 – 2k + k ²
4 – 4h +9 -6k = 1 + 2h + 1 -2k
6h + 4k = 11 ……………। (4)
अब हम समीकरण (3) को 6 से गुणा करते हैं और इसे समीकरण (4) से घटाते हैं,
6एच + 4 के – 6 (एच -3 के) = 11 – 66 6 एच + 4 के – 6 एच
+ 18 के = 11 – 66
22 के = – 55
K = -5/2 K
के इस मान को समीकरण (4) में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त करने के लिए,
6h + 4(-5/2) = 11
6h – 10 = 11
6h = 21
h = 21/6
h = 7/ 2
हम प्राप्त करते हैं h = 7/2 तथा k = -5/2
समीकरण (1) में h और k के मानों को रखने पर, हमें प्राप्त होता है
(2 – 7/2) ² + (3 + 5/2) ² = r2
[ (4-7)/2] ² + [(6+5)/2] ² = r2
(-3/2)2 + (11/2)² = r ²
9/4 + 121/4 = r ²
130/4 = r ²
आवश्यक वृत्त का समीकरण है
(x – 7/2) ² + (y + 5/2) ² = 130/4
[( 2x-7)/2] ² + [(2y+5)/2] ² = 130/4
4x ² -28x + 49 +4y ² + 20y + 25 = 130
4x ² +4y ² -28x + 20y – 56 = 0
4(x ² +y ² -7x + 5y – 14) = 0
x ² + y ² – 7x + 5y – 14 = 0
आवश्यक वृत्त का समीकरण x ² + y ^{2 है}– 7x + 5y – 14 = 0

12. त्रिजा 5 के उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र x-अक्ष पर हो और जो बिंदु (2,3) से जाता है।

हल: मान लीजिए कि अभीष्ट वृत्त का समीकरण है (x – h)² + (y – k)² = r²
हम जानते हैं कि वृत्त की त्रिज्या 5 है और इसका केंद्र x-अक्ष पर स्थित है, k = 0 और r = 5.
तो अब, वृत्त का समीकरण (x – h)²+ y²= 25
है। यह दिया गया है कि वृत्त बिंदु (2, 3) से होकर गुजरता है, इसलिए बिंदु के समीकरण को संतुष्ट करेगा वृत्त।
(2 – एच)²+ 32 = 25
(2 – एच)²= 25-9
(2 – एच)²= 16
2 – एच = ± √16 = ± 4
यदि 2-एच = 4, तो एच = -2
यदि 2-एच = -4, तो एच = 6
फिर, जब h = -2, वृत्त का समीकरण बन जाता है
(x + 2) ² + y ² = 25
x ² + 12x + 36 + y ² = 25
x ² + y ² + 4x – 21 = 0
जब h = 6, वृत्त का समीकरण बन जाता है
(x – 6) ² + y ² = 25
x ² -12x + 36 + y ² = 25
x ² + y ² -12x + 11 = 0
आवश्यक वृत्त का समीकरण x है ² + y ² + 4x – 21 = 0 और x ² + y ² -12x + 11 = 0

13. (0,0) से होकर जाने वाले वृत का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक्षों पर a और b अतः खण्ड बनता है।

हल: आइए हम आवश्यक वृत्त के समीकरण पर विचार करें (x – h)² + (y – k)² =r²
हम जानते हैं कि वृत्त (0, 0) से होकर गुजरता है,
इसलिए, (0 – h)²+ (0 – k)²= r²
h²+ k²= r²
अब, वृत्त का समीकरण (x – h)²+ (y – k)²= h²+ k²है।
यह दिया गया है कि वृत्त निर्देशांक अक्षों पर a और b को प्रतिच्छेदित करता है।
अर्थात, वृत्त बिंदुओं (a, 0) और (0, b) से होकर गुजरता है।
तो, (ए – एच)²+ (0 – के)²= एच² +k ² ……………..(1)
(0 – h) ² + (b–k) ² =h ² +k ² …………… (2)
समीकरण (1) से, हम प्राप्त करते हैं
a ² – 2ah + h ² +k ² = h ² +k ²
a ² – 2ah = 0
a(a – 2h) =0
a = 0 या (a -2h) = 0
हालांकि, a ≠ 0; इसलिए, (a -2h) = 0
h = a/2
समीकरण (2) से, हम
h ² – 2bk + k ² + b2 = h ² +k ²
b ² – 2bk = 0
b (b-2k) = प्राप्त करते हैं। 0
b= 0 या (b-2k) =0
हालांकि, a 0; इसलिए, (बी -2 के) = 0
के = बी/2
तो, समीकरण
(एक्स – ए/2) ² + (वाई – बी/2) ² = (ए/2) ² + (बी/2) ²
है [(2x-a)/2] ² + [(2y-b)/2] ² = (a ² + b ² )/4
4x ² – 4ax + a ² +4y ² – 4by + b ² = a ² + ख ²
4x ² + 4y ² -4ax – 4by = 0
4(x ² +y ² -7x + 5y – 14) = 0
x ² + y² – ax – by = 0
अभीष्ट वृत्त का समीकरण x ² + y ² – ax – by = 0 है

14. उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र (2,2) हो तथा बिंदु (4,5) से जाता है।

हल: दिया गया है:
वृत्त का केंद्र इस प्रकार दिया गया है (h, k) = (2,2
) अंक (2,2) और (4,5)।
आर = √[(2-4)² + (2-5)²]
= √[(-2)² + (-3)²]
= √[4+9]
= √13
सर्कल का समीकरण दिया गया है जैसे
(x- h)²+ (y – k)² = r²
(x -h)² + (y – k)² = (√13)²
(x -2)² + (y – 2)² = (√13)²
x² – 4x + 4 + y ² – 4y + 4 = 13
x ² + y ² – 4x – 4y = 5
आवश्यक वृत्त का समीकरण x ² + y ² – 4x – 4y = 5 है।

15. क्या बिंदु (-2.5, 3.5) वृत्त $x^{2} + y^{2} = 25$ के अंदर बाहर या वृत्त पर स्तिथ है।

हल: दिया गया है:
दिए गए वृत्त का समीकरण x² +y² = 25
x² + y² = 25
(x – 0)² + (y – 0)² = 5² [जो कि (x) के रूप का है – एच)² + (वाई – के)² = आर²]
जहां, एच = 0, के = 0 और आर = 5।
तो बिंदु (-2.5, 3.5) और केंद्र (0,0) के बीच की दूरी है
= √[(-2.5 – 0)2 + (-3.5 – 0)²]
= √(6.25 + 12.25)
= √18.5
= 4.3 [जो कि <5 है]
चूँकि वृत्त के बिंदु (-2.5, -3.5) और केंद्र (0, 0) के बीच की दूरी वृत्त की त्रिज्या से कम है, बिंदु (-2.5, -3.5) वृत्त के अंदर स्थित है।