NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter-16 – प्रायिकता (Probability) प्रश्नावली विविध

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter-16 – प्रायिकता (Probability) प्रश्नावली विविध

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter-16 – प्रायिकता (Probability) प्रश्नावली विविध

?Chapter – 16?

✍प्रायिकता✍

?प्रश्नावली विविध?

1. एक डिब्बे में 10 लाल, 20 नीली व 30 हरी गोलियां रखी है। डिब्बे से 5 गोलियां यादृच्छया निकाली जाती हैं। प्रायिकता क्या है कि
(i) सभी गालियां नीली हैं (ii) कम से कम एक गोली हरी है?

हल:  प्रश्न से यह दिया गया है कि
डिब्बे में लाल कंचों की संख्या = 10 बॉक्स
में नीले कंचों की
संख्या = 20 बॉक्स में हरे कंचों की संख्या = 30
अतः, बॉक्स में कुल कंचों की संख्या = 10 + 20 + 30 = 60 60
कंचों से 5 कंचे निकालने के तरीकों की संख्या =⁶⁰C₅

(i) यदि हम 20 नीले कंचों में से 5 कंचे बनाते हैं तो सभी खींचे गए कंचे नीले होंगे।
हमारे पास,
20 नीले कंचों में से 5 नीले कंचे निकालने के तरीकों की संख्या = ^(20+10)C₅
फिर,
सभी कंचे नीले होने की प्रायिकता = ²⁰ C ₅  /  ⁶⁰ C ₅

(ii) उन तरीकों की संख्या जिनमें खींचा गया मार्बल हरा नहीं है = (20+10)C5 हमारे पास कोई मार्बल हरा नहीं होने की प्रायिकता 30C5 / 60C5 फिर ,
कम
से कम एक  मार्बल  के हरे
होने की
प्रायिकता = 1 – 30C5 / 60C5

2. ताश के 52 पत्तों की एक अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से 4 पत्ते निकाले जाते हैं। इस बात की क्या प्रायिकता है कि निकाले गए पत्तों में 3 ईंट और एक हुकुम का पत्ता है?

हल:  इस प्रश्न से यह दिया गया है कि,
52 पत्तों के एक कुएं में फेरबदल किए गए डेक से 4 पत्ते निकाले गए हैं, 52 पत्तों
से 4 पत्ते निकालने के तरीकों की संख्या =⁵²C₄
52 पत्तों के एक डेक में, 13 हीरे और 13 हैं हुकुम
3 हीरे और एक कुदाल खींचने के तरीकों की संख्या = ¹³C₃ × ¹³C₁₁
इसलिए, 3 हीरे और एक कुदाल प्राप्त करने की संभावना
= (¹³C₃ × ¹³C₁)/ ⁵²C₄

3. एक पासे के दो फलकों में से प्रत्येक पर संख्या 1 अंकित है, तीन फलकों में प्रत्येक पर संख्या 2 अंकित है और एक फल पर संख्या 3 अंकित है। यदि पासा एक बार फेंका जाता है तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए
(i) P(2) (ii) P (1 या 3) (iii) P (3- नहीं)

हल:  प्रश्न से यह दिया गया है कि
पासे के दो फलक हैं जिनमें से प्रत्येक में संख्या ‘1’ है,
प्रत्येक के तीन फलक ‘2’
और एक फलक संख्या ‘3’ के साथ है
, तो पासे के फलकों की कुल संख्या = 6

(i) P(2)
संख्या का फलक संख्या ‘2’ = 3 के साथ है … [दिया गया]
तो, P(2) = 3/6
= ½

(ii) P(1 या 3)
हम जानते हैं कि, P (1 या 3) = P (2 नहीं 2) = 1 – P (2)
तो, P(1 या 3) = 1 – ½
= (2 -1) /2
= ½

(iii) P(3 नहीं)
संख्या ‘3’ वाले फलकों की संख्या = 1
P(3) = 1/6
P(3 नहीं) = 1 – P(3)
= 1 – 1/6
= (6 – 1) /6
= 5/6

4. एक लाटरी में 10000 टिकट बेचे गए जिनमें दस समान इनाम दिए जाने हैं। कोई भी ईनाम न मिलने की प्रायिकता क्या है यदि आप (a) एक टिकट खरीदते हैं (b) दो टिकट खरीदते है (c) 10 टिकट खरीदते हैं?

हल:  इस प्रश्न से यह दिया गया है कि
बेचे गए लॉटरी टिकटों की संख्या = 10,000
पुरस्कारों की संख्या = 10

(a ) अगर हम एक टिकट खरीदते हैं तो पुरस्कार नहीं मिलने की संभावना,
पी (पुरस्कार प्राप्त करना) = 10/10000
= 1/1000
फिर,
पी (पुरस्कार नहीं मिलना) = 1 – (1/1000)
= (1000 ) – 1)/1000
= 999/1000

(b) अगर हम दो टिकट खरीदते हैं तो पुरस्कार नहीं मिलने की संभावना है,
फिर,
टिकटों की संख्या नहीं दी गई है = 10,000 – 10 = 9990
इसलिए, पी (पुरस्कार नहीं मिल रहा है) = ⁹⁹⁹⁰C₂ / ¹⁰⁰⁰⁰C₂

(c) यदि हम 10 टिकट खरीदते हैं, तो पुरस्कार न मिलने की प्रायिकता,
नहीं दिए गए टिकटों की संख्या = 10,000 – 10 = 9990
इसलिए, पी (पुरस्कार न मिलना) = ⁹⁹⁹⁰C₁₀ / ¹⁰⁰⁰⁰C₁₀

5. 100 विद्यार्थियो में से 40 और 60 विद्यार्थियो के दो वर्ग बनाए गए हैं। यदि आप और आपका एक मित्र 100 विद्यार्थियों में है तो प्रायिकता क्या है कि
(a) आप दोनों एक ही वर्ग में हो
(b) आप दोनों अलग-अलग वर्गों में हो?

हल:  प्रश्न से,
विद्यार्थियों की कुल संख्या = 100
I और मेरा मित्र 100 विद्यार्थियों में से हैं।
फिर, 40 और 60 के दो खंड बनते हैं।
100 विद्यार्थियों में से 2 विद्यार्थियों को चुनने के तरीकों की कुल संख्या =

(ए) माना एस = हम दोनों एक ही खंड में प्रवेश करेंगे यदि हम दोनों 40 छात्रों में से हैं या 60 छात्रों में से हैं।
हम दोनों एक ही खंड में प्रवेश करने के तरीकों की संख्या = P(S)
P(S) = ( ⁴⁰ C ₂  +  ⁶⁰ C ₂ ) /  ¹⁰⁰ C ₂

= ⁹⁸C₃₈ + ⁹⁸C₅₈/ ¹⁰⁰C₄₀ = 98!/38!60! + 98/58!40!/100/40!60!

= ^98!⌈1/38!60! + 1/58!40!⌉ / 100!/40!60!

98!×58!×38!/38!×60!×58!×40! (40×39×60×59)/100/40!60!

= 98!/40!60!×5100×40!60!/100

×60!×5100×40!×60!/100!98!/40!

= 5100/100×99 = 17/33

(b) P (हम विभिन्न वर्गों में प्रवेश करते हैं)
= 1 – P (हम एक ही खंड में प्रवेश करते हैं)
P (हम विभिन्न वर्गों में प्रवेश करते हैं) = 1 – (17/33)
= (33 – 17)/33
= 16/33

6. तीन व्यक्‍तियों के लिए तीन पत्र लिखवाए गए हैं और प्रत्येक के लिए पता लिखा एक लिफाफा है। पत्रों को‌ लिफाफों में यादृच्छया इस प्रकार डाला गया कि प्रत्येक लिफाफे में एक ही पत्र है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कम से कम एक पत्र अपने सही लिफाफे में डाला गया है।

हल:  मान लीजिए कि L1, L2, L3 तीन अक्षर हैं और E1, E2, और E3 उनके संगत लिफाफे हैं।
फिर, नमूना स्थान
L₁E₁, L₂E₃, L₃E₂,
L₂E₂, L₁E₃, L₃E₁,
L₃E₃, L₁E₂, L₂E₁,
L₁E₁, L₂E₂, L₃E₃,
L₁E₂, L₂E₃, L₃E₁,
L₁E₃, L₂E₁, L₃E₂,
इसलिए, 3 लिफाफों में 3 अक्षर डालने के 6 तरीके हैं।
और ऐसे 4 तरीके हैं जिनसे उचित लिफाफे में कम से कम एक अक्षर डाला जाता है। (नमूना स्थान की पहली 4 पंक्तियाँ)
उचित लिफाफे में कम से कम एक अक्षर डालने की प्रायिकता
= 4/6
= 2/3

7. A और B दो घटनाएं इस प्राकर है P(A)=0.54,P(B)=0.69 और P(A∩B)=0.35, ज्ञात कीजिए
(i) P(A∪B) (ii) P(A’∩B’) (iii) (A∩B’) (iv) P(B∩A’)

हल:  प्रश्न से यह दिया गया है कि, A और B ऐसी दो घटनाएँ हैं,
P(A) = 0.54, P(B) = 0.69, P(A B) = 0.35

(i) P (A ∪ B)
हम जानते हैं कि, P (A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
⇒ P (A ∪ B) = 0.54 + 0.69 − 0.35 = 0.88
∴ P (A ∪ B) = 0.88

(ii) P (A ^I  ∩ B ^I  )
हम जानते हैं कि, A ^I B ^I = (A ∪ B) ^I [डी मॉर्गन के नियम द्वारा]
तो, P (A ^I B ^I ) = P (A ∪ B) ^मैं
= 1 − P(A ∪ B)
= 1 − 0.88 = 0.12
∴ P (A^I ∩ B^I) = 0.12

(iii) P(A ∩ BI)
हमारे पास,
P (A ∩ B^I) = P(A) − P(A ∩ B)
= 0.54 − 0.35
= 0.19
इसलिए, P (A ∩ B^I) = 0.19

(iv) P(B ∩ A^I)
हम जानते हैं कि: P (B ∩ A^I) = P(B) − P(A ∩ B)
⇒ P (B ∩ A^I) = 0.69 – 0.35
Hence, P (B ∩ A^I) = 0.34

8. एक संस्था के कर्मचारियों में से 5 कर्मचारियों का चयन प्रबंध समिति के लिए किया गया है पांच कर्मचारियों का ब्योरा निम्नलिखित है

प्रवक्ता के रूप में कार्य करने के लिए इस समूह से एक व्यक्ति को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि प्रवक्ता या तो पुरुष होगा या 35 वर्ष से अधिक का होगा?

हल:  दी गई तालिका से,
की संख्या = 5
5 व्यक्तियों में से 3 पुरुष हैं
5 व्यक्तियों में से 2 की आयु 35 वर्ष है।
आइए मान लें कि ‘ए’ वह घटना है जिसमें प्रवक्ता पुरुष होगा और बी वह घटना होगी जिसमें प्रवक्ता की आयु 35 वर्ष से अधिक होगी।
तदनुसार, P(A) = 3/5 और P(B) = 2/5
चूंकि 35 वर्ष से अधिक आयु का केवल एक पुरुष है,
P(A ∩ B) = 1/5
हम जानते हैं कि: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= (3/5) + (2/5) – (1/5)
= 4/5
इसलिए, संभावना है कि प्रवक्ता होगा या तो पुरुष हो या 35 वर्ष से अधिक आयु 4/5 है।

9. यदि 0, 1, 3, 5, और 7 अंकों द्वारा 5000 से बड़ी चार अंकों की संख्या का यादृच्छया निर्माण किया गया हो तो पाँच से भाज्य संख्या के निर्माण की क्या प्रायिकता है जब,
(i) अंकों की पुनरावृत्ति नहीं की जाए ?
(ii) अंकों की पुनरावृत्ति की जाए ?

हल:  (i) जब अंकों की पुनरावृत्ति होती है
क्योंकि 5000 से बड़ी चार अंकों की संख्याएँ बनती हैं,
तो हजार के स्थान का अंक या तो 7 या 5
5000 से बड़ी 4 अंकों वाली संख्याओं की कुल संख्या = 2 × 5 × 5 × 5 – 1
= 250 – 1
= 249
कोई संख्या 5 से विभाज्य होती है यदि उसके इकाई के स्थान पर अंक या तो 0 या 5
5000 से अधिक 4 अंकों वाली संख्याओं की कुल संख्या जो 5 से विभाज्य हैं
= 2 × 5 × 5 × 2 − 1
= 100 − 1 = 99
इसलिए, अंकों को दोहराए जाने पर 5 से विभाज्य संख्या बनने की प्रायिकता = P (अंकों के दोहराए जाने पर 5 से
विभाज्य संख्या) P (अंकों के दोहराए जाने पर 5 से विभाज्य संख्या) = 99/249
= 33/83

(ii) जब अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है
तो हजार के स्थान को दो अंकों 5 या 7 में से किसी एक से भरा जा सकता है अर्थात 2 तरीकों से।
शेष 3 स्थानों को शेष 4 अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है।
5000 से अधिक 4 अंकों वाली संख्याओं की कुल संख्या = 2 × 4 × 3 × 2 = 48
यहाँ, 5 से शुरू होने वाली और 5 से विभाज्य होने वाली 4-अंकीय संख्याओं की संख्या
= 1 × 3 × 2 × 1 = 6
यहाँ, 4 की संख्या 7 से शुरू होने वाली और 5 से विभाज्य संख्याएँ
= 1 × 2 × 3 × 2 = 12
5000 से अधिक 4 अंकों वाली संख्याओं की कुल संख्या जो 5
= 6 + 12 = 18 से विभाज्य हैं
, इस प्रकार, एक विभाज्य संख्या बनने की संभावना 5 से जब अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है
= P (अंकों की पुनरावृत्ति न होने पर 5 से विभाज्य संख्या)
P (अंकों की पुनरावृत्ति न होने पर 5 से विभाज्य संख्या) = 18/48
= 3/8

10.किसी अटैची के ताले में चार चक्र लगे है जिनमें प्रत्येक पर 0 से 9 तक 10 अंक अंकित हैं। ताला चर अंकों के एक विशेष क्रम (अंकों की पुनरावृत्‍ति नहीं) द्वारा ही खुलता है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि कोई व्यक्‍ति अटैची खोलने के लिए सही क्रम का पता लगा ले?

हल:  प्रश्न से यह दिया गया है कि,
नंबर लॉक में 4 पहिए होते हैं, जिनमें से प्रत्येक पर दस अंकों का लेबल होता है, यानी 0 से 9 तक
फिर,
10 अंकों में से 4 अलग-अलग अंकों को चुनने के तरीकों की संख्या =¹⁰C₄
अब , 4 अलग-अलग अंकों के प्रत्येक संयोजन को 4 में व्यवस्थित किया जा सकता है! तरीके।
हमारे पास,
बिना दोहराव वाले चार अंकों की संख्या = 4! × ¹⁰_C 4 = 5040
केवल एक ही संख्या है जो सूटकेस खोल सकती है।
अत: अभीष्ट प्रायिकता 1/5040 . है