NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 14 – गणितीय विवेचन प्रश्नावली (Mathematical Reasoning) 14.5

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 14 – गणितीय विवेचन (Mathematical Reasoning) प्रश्नावली 14.5

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 14 – गणितीय विवेचन (Mathematical Reasoning) प्रश्नावली 14.5

? Chapter – 14?

✍गणितीय विवेचन✍

? प्रश्नावली 14.5?

1.सिद्ध कीजिए एक कथन यदि x एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि x³+4x = 0 तो x = 0
(i) प्रत्यक्ष विधि द्वारा
(ii) विरोधोक्‍ति द्वारा
(iii) प्रतिधनात्मक कथन द्वारा।

हल: मान लीजिए p: ‘यदि x एक वास्तविक संख्या है जैसे कि x ³ + 4x = 0, तो x 0 है’
q: x एक वास्तविक संख्या है जैसे कि x ³ + 4x = 0
r: x 0 है

(i) हम मानते हैं कि q सत्य है, यह दर्शाने के लिए कि कथन p सत्य है और फिर दर्शाइए कि r सत्य है
इसलिए, कथन q को सत्य
मानिए, x ³ + 4x = 0
x (x ²  + 4) = 0
x = 0 या x ² + 4 = 0
चूँकि x वास्तविक है, यह 0 है।
अतः, कथन r सत्य है।
अत: दिया गया कथन सत्य है।

(ii) विरोधाभास द्वारा, कथन p को सत्य दिखाने के लिए, हम मानते हैं कि p सत्य नहीं है।
मान लीजिए x एक वास्तविक संख्या है जैसे कि x ³  + 4x = 0 और मान लीजिए x 0
इसलिए, x ³  + 4x = 0
x (x ² + 4) = 0
x = 0 या x ² + 4 = 0
x = 0 या x ² = -4
हालांकि x वास्तविक है। इसलिए, x = 0, जो एक अंतर्विरोध है क्योंकि हमने यह मान लिया है कि x 0
इसलिए, दिया गया कथन p सत्य है।

(iii) प्रतिधनात्मक विधि से, कथन p को सत्य सिद्ध करने के लिए, हम मान लेते हैं कि r गलत है और सिद्ध कीजिए कि q अवश्य ही असत्य होगा
∼r: x ≠ 0
स्पष्ट रूप से, यह देखा जा सकता है कि
(x ² + 4) हमेशा रहेगा धनात्मक
x 0 का तात्पर्य है कि x वाली किसी धनात्मक वास्तविक संख्या का गुणनफल शून्य नहीं है।
अब, (x ² + 4)
∴ x (x ² + 4) 0
x ³  + 4x ≠ 0 के साथ x का गुणनफल लें,
यह दर्शाता है कि कथन q सत्य नहीं है।
इसलिए, सिद्ध किया कि
∼r ⇒ ∼q
इसलिए, दिया गया कथन p सत्य है।

2. प्रत्युदाहरण द्वारा सिद्ध कीजिए कि कथन किसी भी ऐसी वास्तविक संख्याओें a और b के लिए जहां a²= b², का तात्पर्य है कि a = b सत्य नहीं है।

हल: ^{दिएगए}
कथनको नीचे दिए गए ‘यदि तब’ के रूप में लिखा जासकताहै
।²= b²
q: a = b
दिए गए कथन को असत्य सिद्ध करना है। इसे दर्शाने के लिए, दो वास्तविक संख्याएँ, a और b, जिनकी a²= b²है, की आवश्यकता इस प्रकार है कि a b
मान लें कि a = 1 और b = – 1
a²= (1)²
= 1 और
b²= ( -1)²
= 1
इसलिए, a²= b²
हालांकि, a b
अतः यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि दिया गया कथन असत्य है।

3. प्रतिधनात्मक विधि द्वारा सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य है
p: यदि x एक पूर्णांक है और x ²  सम है, तो x भी सम है।

हल: मान लीजिए p: यदि x एक पूर्णांक है और x ² सम है, तो x भी सम है
। मान लीजिए q: x एक पूर्णांक है और x²
सम है r: x सम है
। मान लें कि r गलत है और साबित करें कि q भी झूठा है
माना x भी नहीं है
यह साबित करने के लिए कि q गलत है, यह साबित करना होगा कि x एक पूर्णांक नहीं है या x²भी नहीं
है x यह भी इंगित नहीं करता है कि x² है भी नहीं।
अत: कथन q गलत है।
इसलिए, दिया गया कथन p सत्य है

4. प्रत्युदाहरण द्वारा सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य नहीं है,
(i) p यदि किसी त्रिभुज के कोण समान है तो त्रिभुज एक अधिक कोण त्रिभुज है।
(ii) q समीकरण x² − 1 = 0 के मूल 0 और 2 के बीच स्थित नहीं है।

हल: (i) मान लीजिए q: त्रिभुज के सभी कोण बराबर हैं
r: त्रिभुज एक अधिक कोण वाला त्रिभुज है
। दिए गए कथन p को असत्य सिद्ध करना है।
इसे दर्शाने के लिए त्रिभुज के आवश्यक कोण अधिक कोण नहीं होने चाहिए।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के सभी कोणों का योग 1800 होता है। इसलिए, यदि तीनों कोण बराबर हों तो प्रत्येक कोण का माप 600 होगा, जो अधिक कोण नहीं है। .
एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण बराबर होते हैं। हालाँकि, त्रिभुज एक अधिक कोण वाला त्रिभुज नहीं है।
इसलिए, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि दिया गया कथन p गलत है

(ii) दिया गया कथन
q है: समीकरण x ² – 1 = 0 का मूल 0 और 2 के बीच में नहीं है।
इस कथन को असत्य सिद्ध करना होगा ।
इसे दर्शाने के लिए, आइए
x ² – 1 = 0
x पर विचार करें। ² = 1
x = ± 1
समीकरण का एक मूल x ² – 1 = 0, अर्थात मूल x = 1, 0 और 2 के बीच स्थित है
, इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

5. निम्नलिखित कथनों में से कौन से सतय है और कौन से असत्य है? प्रत्येक दशा में अपने उत्तर के लिए वैध कारण बतलाइएः
(i) p: किसी वृत्त की प्रत्येक त्रिज्या वृत्त की जीवा होती है।
(ii) किसी वृत्त का केंद्र वृत्त की प्रत्येक जीवा को समद्विभाजित करता है। q
(iii) r एक वृत्त किसी दीर्घवृत्त की एक विशेष्‍ स्थिति है।
(iv) s: यदि x और y ऐसे पूर्णांक है कि x > y तो −x < − y है।
(v) t: √11 एक परिमेय संख्या है।

हल: (i) दिया गया कथन p गलत है।
जीवा की परिभाषा के अनुसार, इसे वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटना चाहिए

(ii) दिया गया कथन q गलत है।
केंद्र उस जीवा को समद्विभाजित नहीं करेगा जो वृत्त का व्यास नहीं है।
दूसरे शब्दों में, एक वृत्त का केंद्र केवल व्यास को समद्विभाजित करता है, जो कि वृत्त की जीवा है।

(iii) एक दीर्घवृत्त का समीकरण है,

यदि हम a = b = 1 रखते हैं, तो हमें
x ²  + y ²  = 1 प्राप्त होता है, जो एक वृत्त का एक समीकरण है
, इसलिए वृत्त एक दीर्घवृत्त की एक विशेष स्थिति है।
इसलिए, कथन r सत्य है

(iv) x > y
असमानता के नियम से
-x < – y
इसलिए, दिया गया कथन सत्य है

(v) 11 एक अभाज्य संख्या है
हम जानते हैं कि किसी भी अभाज्य संख्या का वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या होती है।
अत: 11 एक अपरिमेय संख्या है
अत: दिया गया कथन t गलत है।