NCERT Solution Class 10th Chapter 12 – वृतों से सम्बंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles) प्रश्नावली 12.3

June 9, 2022

NCERT Solution Class 10th Math Chapter 12 – वृतों से सम्बंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles) प्रश्नावली 12.3

Textbook	NCERT
Class	Class 10th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	Chapter – 12
Chapter Name	वृतों से सम्बंधित क्षेत्रफल(Areas Related to Circles)
Mathematics	Class 10th गणित Question & Answer
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solution Class 10th Math Chapter 12 – वृतों से सम्बंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles) प्रश्नावली 12.3

? Chapter – 12?

✍वृतों से सम्बंधित क्षेत्रफल✍

? प्रश्नावली 12.3?

आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि $P Q = 24 c m, P R = 7 c m$ and O वृत्त का केंद्र है।

हल: यहाँ, P अर्धवृत्त में है और इसलिए,
P = 90°
इसलिए, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि QR वृत्त का कर्ण है और वृत्त के व्यास के बराबर है।
QR = D
पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हुए,
QR²= PR²+ PQ²
या, QR²= 7²+24²
QR = 25 cm = व्यास
इसलिए, वृत्त की त्रिज्या = 25/2 cm
अब, का क्षेत्रफल अर्धवृत्त = (πR²)/2
= (22/7)×(25/2)×(25/2)/2 cm²
= 13750/56 cm ²= 245.54 cm ²
साथ ही, ΔPQR का क्षेत्रफल = ½×PR ×PQ
=(½)×7×24 cm ²
= 84 cm²
अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 245.54 cm2-84 cm ²
= 161.54 cm ²

2.आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि केंद्र O वाले दोनों संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएं क्रमश्: 7 सेमी और 14 सेमी हैं तथा $∠ A O C = 40^{\circ}$

हल:

दिया गया है,
त्रिज्यखंड द्वारा बनाया गया कोण = 40°,
भीतरी वृत्त की त्रिज्या = r = 7 cm, और
बाहरी वृत्त की त्रिज्या = R = 14 cm
हम जानते हैं,
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°)×πr ²
तो, OAC का क्षेत्रफल = (40°/360°)×πr ² cm ²
= 68.44 cm ²
त्रिज्यखंड OBD का क्षेत्रफल = (40°/360°)×πr ² cm ²
= (1/9)×(22/7) ×7 ² = 17.11 cm ²
अब, छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ABCC = OAC का क्षेत्रफल – OBD का क्षेत्रफल = 68.44
cm ² – 17.11 cm ² = 51.33 cm ²

3. आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि ABCD भुजा 14 cm का एक वर्ग है तथा APD और BPC दो अर्धवृत्त हैं।

हल: वर्ग ABCD की भुजा (जैसा दिया गया है) = 14 cm
अतः, ABCD का क्षेत्रफल = a²
= 14×14 cm²= 196 cm²
हम जानते हैं कि वर्ग की भुजा = वृत्त का व्यास = 14 cm
तो, वर्ग की भुजा = अर्धवृत्त का व्यास = 14 cm
∴ अर्धवृत्त की त्रिज्या = 7 cm
अब, अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = (πR²)/2
= (22/7×7×7)/2 cm²
= 77 cm²
दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल = 2×77 cm²= 154 cm²
अतः, छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल
= 196 cm²-154 cm²
= 42 cm²

4. आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जहां भुजा 12 सेमी वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष O को केंद्र मान कर 6 सेमी त्रिज्‍या वाला एक वृत्तीय चाप खींचा गया है।

हल: यह दिया गया है कि OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसका प्रत्येक कोण 60° त्रिज्यखंड
का क्षेत्रफल दोनों में उभयनिष्ठ है।
वृत्त की त्रिज्या = 6 cm.
त्रिभुज की भुजा = 12 cm
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) (OA)2= (√3/4)×122 = 36√3 cm²
वृत्त का क्षेत्रफल = πR²= (22/7)×62 = 792/7 cm²
कोण बनाने वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 60° = (60°/360°) ×πr2 cm²
= (1/6)×(22/7)× 6^2cm²= 132/7 cm²
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल + वृत्त का क्षेत्रफल – त्रिज्यखंड का
क्षेत्रफल = 36√3 cm²+792/7 cm²-132/7 cm²
= (36√3+660/7) cm ²

5. 4 सेमी भुजा के एक वर्ग के प्रत्येक कोने से एक वर्ग के प्रत्येक कोने से एक सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थाश काटा गया है तथा बीच में 2 सेमी व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है, जैसे की आकृति में दिखाया गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: वर्ग की भुजा = 4 cm
वृत्त की त्रिज्या = 1 cm
एक वृत्त के चार चतुर्थांश कोने से काटे जाते हैं और त्रिज्या के एक वृत्त को बीच से काटा जाता है।
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²= 4²= 16 cm²
चतुर्भुज का क्षेत्रफल = (πR²)/4 cm²= (22/7)×(1²)/4 = 11/14 cm²
∴ कुल क्षेत्रफल 4 चतुर्भुजों में से = 4 ×(11/14) cm²= 22/7 cm²
वृत्त का क्षेत्रफल = πR^2cm2 = (22/7×1²) = 22/7 cm²
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = क्षेत्रफल वर्ग का – (4 चतुर्भुजों का क्षेत्रफल + वृत्त का क्षेत्रफल)
= 16 cm² -(22/7) cm ² – (22/7) cm ²
= 68/7 cm ²

6. एक वृत्ताकार मेजपोश, जिसकी त्रिज्या 32 सेमी है में बीच में एक समबाहु त्रिभुज ABC छोड़ते हुए एक डिजाइन बना हुआ है जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: वृत्त की त्रिज्या = 32 cm वृत्त
के केंद्र से गुजरने वाले त्रिभुज की माध्यिका AD खींचिए।
BD = AB/2
चूँकि AD त्रिभुज की माध्यिका है।
AO = वृत्त की त्रिज्या = (2/3) AD
⇒ (2/3)AD = 32 cm
⇒ AD = 48 cm
ΔADB में,

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
AB ² = AD ² +BD ²
AB ² = 48 ² +(AB/2) ²
AB ² = 2304+AB2/4 ⇒
3/4 (AB ² ) = 2304
AB ² = 3072
AB= 32√3 cm ADB
का क्षेत्रफल = √3/4 ×(32√3) ² cm ² = 768√3 cm ²
वृत्त का क्षेत्रफल = πR ² = (22/7)×32×32 = 22528/7 cm ²
डिजाइन का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – ADB का क्षेत्रफल
= (22528/7 – 768√3) cm ²

7. आकृति में ABCD भुजा 14 cm वाला वर्ग हैं A,B,C तथा D को केंद्र मानकर, चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए है कि प्रत्येक वृत्त तीन शेष वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है । छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: वर्ग की भुजा = 14 cm वर्ग
की चारों भुजाओं में चार चतुर्भुज शामिल हैं।
वृत्तों की त्रिज्या = 14/2 cm = 7 cm
वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = 14²= 196 cm2
चतुर्भुज का क्षेत्रफल = (πR²)/4 cm²= (22/7) ×7²/4 cm²
= 77/2 cm²
चतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल = 4×77/2 cm²= 154²
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = वर्ग ABCD का क्षेत्रफल – चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= 196 cm²– 154 cm²
= 42 cm²

8. आकृति एक दौड़ने का पथ दर्शाती है जिसके बाएं और दाएं सिरे अर्धवृत्ताकार हैं।

दोनों आंतरिक समांतर रेखाखंड के बीच की दूरी 60 m है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखंड 106 m लंबा है। यदि यह पथ 10m चौड़ा है तो ज्ञात कीजिए।
(i) पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी
(ii) पथ का क्षेत्रफल

हल: ट्रैक की चौड़ाई = 10 m
दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी = 60 m
समानांतर ट्रैक की लंबाई = 106 m

DE = CF = 60 m
भीतरी अर्धवृत्त की त्रिज्या, r = OD = O’C
= 60/2 m = 30 m
बाहरी अर्धवृत्त की त्रिज्या, R = OA = O’B
= 30+10 m = 40 m
साथ ही, AB = CD = EF = GH = 106 m
इसके भीतरी किनारे के साथ ट्रैक के आसपास की दूरी = CD+EF+2×(आंतरिक अर्धवृत्त की परिधि)
= 106+106+(2×πr) मीटर = 212+(2×22/7× 30) m
= 212+1320/7 m = 2804/7 m
ट्रैक का क्षेत्रफल = ABCD का क्षेत्रफल + क्षेत्रफल EFGH + 2 × (बाहरी अर्धवृत्त का क्षेत्रफल) – 2 × (आंतरिक अर्धवृत्त का क्षेत्रफल)
= (AB×CD) +(EF×GH)+2×(πr ^2/2 ) -2×(πR 2/2 ⁾ m ²
= (106×10)+(106×10)+2×π/2(r ² -R ² ) m ²
= 2120+22/7×70×10 m ²
= 4320 m²

9. दी हुई आकृति में AB तथा CD केन्द्र O वाले एक वृत्त के दो परस्पर लम्ब व्यास है तथा OD छोटे वृत्त का व्यास है। यदि OA=7 सेमी है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: बड़े वृत्त की त्रिज्या, R = 7 cm
छोटे वृत्त की त्रिज्या, r = 7/2 cm
BCA की ऊँचाई = OC = 7 cm
BCA का आधार = AB = 14 cm
BCA का क्षेत्रफल = 1/2 × AB × OC = (½)×7×14 = 49 cm²
बड़े वृत्त का क्षेत्रफल = πR²= (22/7)×7²= 154 cm²
बड़े अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = 154/2 cm²= 77 cm²
छोटे वृत्त का क्षेत्रफल = r²= (22/7)×(7/2)×(7/2) = 77/2 cm²
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = बड़े वृत्त का क्षेत्रफल – त्रिभुज का क्षेत्रफल – बड़े अर्धवृत्त का क्षेत्रफल + छोटे वृत्त का क्षेत्रफल
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = (154-49-77+77/2) cm²
= 133/2 सेमी²= 66.5cm ²

10. एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल $17320.5 c m^{2}$ है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केंद्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है । छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( $π = 3.14$ और $\sqrt{3} = 1.73205$ लीजिए।)

हल: ABC एक समबाहु त्रिभुज है।
A = ∠ B = ∠ C = 60°
ऐसे तीन त्रिज्यखंड हैं जो प्रत्येक को 60° बनाते हैं।
ABC का क्षेत्रफल = 17320.5 cm²
×(भुजा)²= 17320.5
⇒ (भुजा)²=17320.5×4/1.73205
(भुजा)²= 4×10²
⇒ भुजा = 200 cm
वृत्तों की त्रिज्या = 200/2 cm = 100 सेमी त्रिज्यखंड
का क्षेत्रफल = (60°/360°)×π r^2cm²
= 1/6×3.14×(100)^2cm²
= 15700/3cm²
3 क्षेत्रों का क्षेत्रफल = 3× 15700/3 = 15700 cm²
अत: छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल – 3
= 17320.5-15700 cm ² = 1620.5 cm ²

11. एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5cm है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केंद्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है । छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73205 लीजिए।)

हल: वृत्ताकार डिज़ाइनों की संख्या = 9
वृत्ताकार डिज़ाइन की त्रिज्या = 7 cm
वर्गाकार रूमाल की एक भुजा में तीन वृत्त हैं।
∴ वर्ग की भुजा = 3×वृत्त का व्यास = 3×14 = 42 cm
वर्ग का क्षेत्रफल = 42×42 cm²= 1764 cm²
वृत्त का क्षेत्रफल = π r²= (22/7)×7×7 = 154 cm²
डिजाइन का कुल क्षेत्रफल = 9×154 = 1386 cm²
रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – डिजाइन का कुल क्षेत्रफल = 1764 – 1386 = 378 cm²

12. आकृति में OACB केंद्र O और 3.5 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD=2cm है तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

(i) चतुर्थांश OACB,

(ii) छायांकित क्षेत्र।

हल: चतुर्भुज की त्रिज्या = 3.5 cm = 7/2 cm
(i) चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल = (πR²)/4 cm²
= (22/7)×(7/2)×(7/2)/4 cm²
= 77/8 cm²

(ii) त्रिभुज BOD का क्षेत्रफल = (½)×(7/2)×2 cm ²
= 7/2 cm ²
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = चतुर्भुज का क्षेत्रफल – त्रिभुज BOD का क्षेत्रफल
= (77/8)-(7/ 2) cm ² = 49/8 cm ²
= 6.125 cm ²

13. आकृति में एक चतृर्थांश OPBQ के अंतर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA=20cm है तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( $π = 3.14$ लीजिए।)

हल: ^वर्ग^कीभुजा=OA= AB=20^सेमी^{चतुर्भुज}
कीत्रिज्या=^OBOAB^{समकोण}
त्रिभुज^है
।400+400 OB² = 800 OB = 20√2 सेमीचतुर्भुज का क्षेत्रफल = (πR²)/4 cm²= (3.14/4)×(20√2)2 cm2 = 628 cm 2^वर्गका क्षेत्रफल = 20×20 = 400 cm²छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = चतुर्भुज का क्षेत्रफल – वर्ग का क्षेत्रफल= 628 – 400 cm²= 228

14. AB and CD केंद्र O तथा त्रिज्याओं 21 सेमी और 7 सेमी वाले दो संकेंद्रीय वृत्तों के क्रमशः दो चाप हैं। यदि $∠ A O B = 30^{\circ}$ है तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: बड़े वृत्त की त्रिज्या, R = 21 cm
छोटे वृत्त की त्रिज्या, r = 7 सेमी
दोनों संकेंद्रित वृत्तों के त्रिज्यखंडों द्वारा बनाया गया कोण = 30°
बड़े त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (30°/360°)×πR² cm²
= (1/12)×(22/7)×21² cm²
= 231/2cm²
छोटे वृत्त का क्षेत्रफल = (30°/360°)×πr² cm²
= 1/12×22/7×72 cm²
=77/6 cm²
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल =(231/2) – (77/6) cm²
= 616/6 cm²= 308/3cm²

15. आकृति में ABC त्रिज्या 14 सेमी वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मान कर एक अर्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: वृत्त के चतुर्थांश ABC की त्रिज्या = 14 सेमी
AB = AC = 14 सेमी
BC अर्धवृत्त का व्यास है।
ABC समकोण त्रिभुज है।
ABC में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
BC²= AB²+AC²
⇒ BC²= 14²+14²
BC = 14√2 सेमी
अर्धवृत्त की त्रिज्या = 14√2/2 सेमी = 7√2 सेमी ABC
का क्षेत्रफल =( ½)×14×14 = 98 सेमी²
चतुर्भुज का क्षेत्रफल = (¼)×(22/7)×(14×14) = 154 सेमी²
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = (½)×(22/7)×7√ 2×7√2 = 154 सेमी²
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = अर्धवृत्त का क्षेत्रफल + ΔABC का क्षेत्रफल – चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= 154 +98-154 सेमी²= 98 सेमी ²

16. आकृति में छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो 8 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है।

हल:

AB = BC = CD = AD = 8 cm
ABC का क्षेत्रफल = ΔADC का क्षेत्रफल = (½)×8×8 = 32 cm ²
चतुर्भुज का क्षेत्रफल AECB = चतुर्भुज का क्षेत्रफल AFCD = (¼)×22/7×82
= 352 /7 cm ²
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = (चतुर्थांश AECB का क्षेत्रफल – ΔABC का क्षेत्रफल) = (चतुर्थांश AFCD का क्षेत्रफल – ΔADC का क्षेत्रफल)
= (352/7 -32)+(352/7- 32) cm ²
= 2 ×(352/7-32) cm ²
= 256/7 cm ²