NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 11 रचनाएँ (Constructions) प्रश्नावली 11.1

June 9, 2022

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 11 रचनाएँ (Constructions) प्रश्नावली 11.1

Textbook	NCERT
Class	Class 10th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	Chapter – 11
Chapter Name	रचनाएँ (Constructions)
Mathematics	Class 10th गणित Question & Answer
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 11 रचनाएँ (Constructions) प्रश्नावली 11.1

? Chapter – 11?

✍ रचनाएँ ✍

? प्रश्नावली 11.1?

निम्नलिखित में से प्रत्येक में, निर्माण का औचित्य भी दीजिए:

1. 7.6 cm लंबा एक रेखाखंड खींचिए और इसे $5 : 8$ अनुपात में विभाजित कीजिए। दोनों भागों को मापिए।

हल: निर्माण प्रक्रिया: 7.6 cm लंबाई के एक रेखा खंड को 5:8 के अनुपात में निम्नानुसार विभाजित किया गया है।
1. 7.6 cm लंबाई का रेखाखंड AB खींचिए
। 2. एक किरण AX खींचिए जो रेखाखंड AB के साथ न्यून कोण बनाती है।
3. किरण AX पर बिंदुओं जैसे, 13 (= 5+8) बिंदु, जैसे A₁, A₂, A₃, A₄…….. A₁₃को इस प्रकार खोजें कि यह AA₁= A₁A₂= a₂a₃और इसी तरह।
4. रेखाखंड और किरण, BA₁₃।
5. बिंदु A से होकर₅_{BA 13} के समानांतर एक रेखा खींचिए जो AA ₁₃ B 6 के बराबर कोण बनाती है।
बिंदु A ₅ जो रेखा AB को बिंदु C पर काटती है।
7. C, 7.6 cm के रेखा खंड AB को 5 के आवश्यक अनुपात में विभाजित करता है। :8.
8. अब, रेखा AC और CB की लंबाई मापें। इसका माप क्रमशः 2.9 सेमी और 4.7 cm है।

औचित्य:
दी गई समस्या के निर्माण को यह सिद्ध करके उचित ठहराया जा सकता है कि
AC/CB = 5/8
रचना से, हमारे पास A ₅ C || a ₁₃ b। त्रिभुज aa ₁₃ b के लिए मूल आनुपातिकता प्रमेय से , हमें
AC/CB = aa ₅ /a 5 _a 13 _… .. (1) _{मिलता}_है
। ₁₃ में क्रमशः रेखाखंडों के 5 और 8 बराबर भाग हैं।
इसलिए, यह
AA ₅ /A ₅ A ₁₃ =5/8… (2) हो जाता है
समीकरणों (1) और (2) की तुलना करने पर हमें
AC/CB =
5/8 प्राप्त होता है।

2. 4cm, 5cm and 6 cm भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएं दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की 2/3 गुनी हों।

हल: निर्माण प्रक्रिया:
1. एक रेखाखंड AB खींचिए जिसका माप 4 cm, अर्थात AB = 4 cm है।
2. बिंदु A को केंद्र मानकर 5 cm त्रिज्या का एक चाप खींचिए।
3. इसी प्रकार, बिंदु B को उसका केंद्र मानकर 6 cm त्रिज्या का एक चाप खींचिए।
4. खींचे गए चाप एक दूसरे को बिंदु C पर
5. अब, हमने AC = 5 cm और BC = 6 cm प्राप्त किया है, और इसलिए ABC अभीष्ट त्रिभुज है।
6. एक किरण AX खींचिए जो शीर्ष C के विपरीत दिशा में रेखा खंड AB के साथ एक न्यून कोण बनाती है।₁, A₂और A₃
जैसे 3 बिंदुओं का पता लगाएँ(क्योंकि 3 2 और 3 के बीच बड़ा है) लाइन AX पर इस तरह से कि यह AA₁= A₁A₂ = a ₂ a ₃ ।
8. बिंदु BA ₃ को मिलाइए और A2 से होकर एक रेखा खींचिए जो रेखा BA ₃ के समानांतर है जो AB को बिंदु B’ पर काटती है।
9. बिंदु B’ से होकर रेखा BC के समांतर एक रेखा खींचिए जो रेखा AC को C’ पर प्रतिच्छेद करती है।
10. इसलिए, AB’C’ अभीष्ट त्रिभुज है।

औचित्य:
दी गई समस्या की रचना को यह सिद्ध करके उचित ठहराया जा सकता है कि
AB’ = (2/3)AB
B’C’ = (2/3)BC
AC’= (2/3)AC
रचना से हमें B प्राप्त होता है। ‘C’ || BC
AB’C’ = ABC (संगत कोण)
AB’C’ और ΔABC में,
ABC = AB’C (ऊपर सिद्ध)
BAC = B’AC’ (उभयनिष्ठ)
AB’C’ ABC (AA समानता मानदंड से)
इसलिए, AB’/AB = B’C’/BC= AC’/AC…. (1)
AAB’ और AAB में,
A ₂ AB’ =∠A ₃ AB (उभयनिष्ठ)
संगत कोणों से, हम प्राप्त करते हैं,
ZAA ₂ B’ =∠AA ₃ B
इसलिए, AA समानता मानदंड से, हम प्राप्त करते हैं
aa ₂B’ और aa ₃ B
तो, AB’/AB = aa ₂ /aa ₃
इसलिए, AB/AB = 2/3 ……। (2)
समीकरण (1) और (2) से, हमें
AB’/AB=B’C’/BC = AC’/ AC = 2/3 मिलता है इसे AB’ = (2/3)AB के
रूप में लिखा जा सकता है B’C’ = (2/3)BC AC’= (2/3)एसी इसलिए, उचित है।

3. 5cm, 6cm and 7 cm भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएं दिए हुये त्रिभुज की संगत भुजाओं की 7/5 गुनी हों।

हल: निर्माण प्रक्रिया:
1. एक रेखाखंड AB = 5 cm खींचिए।
2. A और B को केंद्र मानकर त्रिज्या 6 cm और 7 cm के चाप खींचिए।
3. ये चाप एक दूसरे को बिंदु C पर काटेंगे और इसलिए ABC अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाओं की लंबाई क्रमशः 5 cm, 6 cm और 7 cm है।
4. एक किरण AX खींचिए जो शीर्ष C के विपरीत दिशा में रेखा खंड AB के साथ एक न्यून कोण बनाती है।
5. 7 बिंदुओं जैसे A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆,A₇(जैसा कि 7 5 और 7 के बीच बड़ा है), लाइन AX पर इस तरह कि यह AA₁= A₁a ₂ = a ₂ a ₃ = a ₃ a ₄ = a ₄ a ₅ = a ₅ a ₆ = a ₆ a ₇
6. बिंदुओं BA ₅ को मिलाएं और A 7 से BA ₅ तक एक रेखा खींचें जो रेखा BA के समानांतर है। ₅ जहाँ यह विस्तारित रेखाखंड AB को बिंदु B’ पर प्रतिच्छेद करती है।
7. अब, B’ विस्तारित रेखा खंड AC से C’ पर एक रेखा खींचिए जो रेखा BC के समानांतर है और यह एक त्रिभुज बनाने के लिए प्रतिच्छेद करती है।
8. इसलिए, AB’C’ अभीष्ट त्रिभुज है।

औचित्य:
दी गई समस्या की रचना को यह सिद्ध करके न्यायोचित ठहराया जा सकता है कि
AB’ = (7/5)AB
B’C’ = (7/5)BC
AC’= (7/5)AC
रचना से हमें B प्राप्त होता है। ‘C’ || BC
AB’C’ = ABC (संगत कोण)
AB’C’ और ΔABC में,
ABC = AB’C (ऊपर सिद्ध)
BAC = B’AC’ (उभयनिष्ठ)
AB’C’ ABC (AA समानता मानदंड से)
इसलिए, AB’/AB = B’C’/BC= AC’/AC…. (1)
AA7B’ और AA5B में,
A ₇ AB’=∠A ₅ AB (उभयनिष्ठ)
संगत कोणों से, हम प्राप्त करते हैं,
AA ₇ B’=∠AA ₅ B
इसलिए, AA समानता मानदंड से, हम प्राप्त करते हैं
a a ₂B’ और aa ₃ B
तो, AB’/AB = aa ₅ aa ₇
इसलिए, AB/AB’ = 5/7 ……। (2)
समीकरण (1) और (2) से, हमें
AB’/AB = B’C’/BC = AC’/ AC = 7/5 मिलता है इसे AB’ = (7/5)AB के
रूप में लिखा जा सकता है B’C’ = (7/5)BC AC’= (7/5)AC इसलिए, उचित है।

4. आधार 8cm तथा ऊंचाई 4cm के एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएं इस समद्विबाहु त्रिभुज की संगत भुजाओं की 1 1/2 गुनी हो।

हल: निर्माण प्रक्रिया:
1. 8 cm के माप के साथ एक रेखाखंड BC खींचिए।
2. अब रेखाखंड BC का लंब समद्विभाजक खींचिए और बिंदु D पर प्रतिच्छेद कीजिए
। बिंदु D को केंद्र मानकर एक चाप खींचिए जिसकी त्रिज्या 4 cm है जो लंब समद्विभाजक को बिंदु A
4 पर काटती है। अब मिलाइए रेखाएँ AB और AC तथा त्रिभुज अभीष्ट त्रिभुज है।
5. एक किरण BX खींचिए जो शीर्ष A के विपरीत दिशा में BC रेखा के साथ एक न्यून कोण बनाती है।
6. किरण BX पर 3 बिंदुओं B₁, B₂और B₃को इस प्रकार खोजें कि BB₁= B₁B₂= B₂B₃
7. बिंदु B ₂ C को मिलाइए और B ₃ से एक रेखा खींचिए जो रेखा B2C के समानांतर है जहां यह विस्तारित रेखा खंड BC को बिंदु C’ पर काटती है।
8. अब, C’ से A पर विस्तारित रेखा खंड AC तक एक रेखा खींचिए जो AC के समानांतर है और यह एक त्रिभुज बनाने के लिए प्रतिच्छेद करती है।
9. इसलिए, A’BC’ अभीष्ट त्रिभुज है।

औचित्य:
दी गई समस्या की रचना को सिद्ध करके उचित ठहराया जा सकता है कि
A’B = (3/2)AB
BC’ = (3/2)BC
A’C’= (3/2)AC
रचना से, हम प्राप्त करते हैं a’c’ || AC
A’C’B = ∠ACB (संगत कोण)
A’BC’ और ABC में,
B = B (सामान्य)
A’BC’ = ∠ACB
A’BC’ ABC (AA समानता से मानदंड)
इसलिए, A’B/AB = BC’/BC= A’C’/AC
चूँकि समरूप त्रिभुज की संगत भुजाएँ समान अनुपात में हैं, इसलिए यह
A’B/AB = BC’/BC= A’ हो जाती है। c’/AC = 3/2
इसलिए, उचित।

5. एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें BC = 6 cm, AB = 5 cm और ABC = 60° हो। फिर एक त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएं ABC की संगत भुजाओं की 3/4 गुनी हों

हल: निर्माण प्रक्रिया:
1. आधार भुजा BC = 6 cm, और AB = 5 cm और ∠ABC = 60° वाली एक ABC खींचिए।
2. एक किरण BX खींचिए जो शीर्ष A के विपरीत दिशा में BC के साथ एक न्यून कोण बनाती है।
3. 4 बिंदुओं का पता लगाएँ (जैसा कि 3 और 4 में 4 बड़ा है), जैसे B₁, B₂B₃और B₄, ऑनलाइन खंड BX।
4. बिन्दुओं B4C को मिलाइए और B3 से होकर एक रेखा भी खींचिए जो B4C के समांतर रेखाखंड BC को C’ पर प्रतिच्छेद करती है।
5. C’ से होकर रेखा AC के समांतर एक रेखा खींचिए जो रेखा AB को A’ पर प्रतिच्छेद करती है।
6. इसलिए, A’BC’ अभीष्ट त्रिभुज है।

a’c’AC = 3/4
इसलिए, उचित है। औचित्य:
दी गई समस्या के निर्माण को यह साबित करके उचित ठहराया जा सकता है कि
चूंकि स्केल फैक्टर 3/4 है, इसलिए हमें
A’B = (3/4)AB
BC’ = (3/4)BC
A’C’ सिद्ध करना होगा। = (3/4)AC
रचना से हमें A’C’ प्राप्त होता है || A’BC
‘ और ΔABC में,
A’C’B = ∠ACB (समान कोण)
B = B (उभयनिष्ठ)
A’BC’ ABC (AA समरूपता मानदंड से)
चूँकि समरूप त्रिभुज समान अनुपात में हैं, इसलिए यह बन जाता है,
इसलिए, A’B/AB = BC’/BC= A’C’/AC
तो, यह A’B/AB = BC’/BC = A’C’/AC बन जाता है

6. एक त्रिभुज ABC बनाइए, जिसमें BC = 7 सेमी, B = 45°, A = 105° हो। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएं ABC की संगत भुजाओं की 4/3 गुनी हों।

हल: ∠C ज्ञात करना:
:
∠B = 45°, ∠A = 105°
हम जानते हैं कि
त्रिभुज के सभी अंतः कोणों का योग 180° होता है।
A+∠B +∠C = 180°
105°+45°+∠C = 180°
∠C = 180° – 150°
∠C = 30°
अतः त्रिभुज के गुणधर्म से हमें ∠C = 30° प्राप्त होता है।
निर्माण प्रक्रिया:
वांछित त्रिभुज को निम्नानुसार खींचा जा सकता है।
1. आधार BC = 7 cm, ∠B = 45° और C = 30° के पार्श्व मापों के साथ एक ABC खींचिए।
2. एक किरण खींचिए BX शीर्ष A के विपरीत दिशा में BC के साथ एक न्यून कोण बनाता है।
3. 4 बिंदुओं का पता लगाएँ (जैसा कि 4 और 3 में 4 बड़ा है), जैसे B₁, B₂, B₃और B₄, किरण BX पर।
4. बिंदुओं B ₃ C को मिलाइए। 5. B _{4 से होकर B}₃ C के समांतर
एक रेखा खींचिए जो विस्तारित रेखा BC को C’ पर प्रतिच्छेद करती है।
6. C’ से होकर रेखा AC के समांतर एक रेखा खींचिए जो विस्तारित रेखाखंड को C’ पर प्रतिच्छेद करती है।
7. इसलिए, A’BC’ अभीष्ट त्रिभुज है।

औचित्य:
दी गई समस्या के निर्माण को यह साबित करके उचित ठहराया जा सकता है कि
चूंकि स्केल फैक्टर 4/3 है, इसलिए हमें
A’B = (4/3)AB
BC’ = (4/3)BC
A’C’ सिद्ध करना होगा। = (4/3)AC
रचना से हमें A’C’ प्राप्त होता है || A’BC
‘ और ΔABC में,
A’C’B = ∠ACB (समान कोण)
∠B = B (उभयनिष्ठ)
A’BC’ ABC (AA समरूपता मानदंड से)
चूँकि समरूप त्रिभुज समान अनुपात में होते हैं, इसलिए यह बन जाता है,
इसलिए, A’B/AB = BC’/BC= A’C’/AC
तो, यह A’B/AB = BC’/BC= A’C’/AC बन जाता है = 4/3
अत: न्यायोचित।

7. एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए. जिसकी भुजाएँ (कर्ण के अतिरिक्त) 4cm तथा 3 cm लंबाई की हों। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए. जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की 5/3 गुनी हो।

हल: दिया है:
कर्ण के अलावा अन्य भुजाओं की लंबाई 4cm और 3cm है। यह परिभाषित करता है कि भुजाएँ एक दूसरे के लंबवत हैं
निर्माण प्रक्रिया:
वांछित त्रिभुज को निम्नानुसार खींचा जा सकता है।
1. एक रेखाखंड BC =3 cm खींचिए।
2. अब 90° का कोण मापें और खींचे
। B को केंद्र मानकर 4 cm की त्रिज्या वाला एक चाप खींचिए और किरण को बिंदु B पर काटिए।
4. अब, रेखाओं AC को मिलाइए और त्रिभुज ABC है आवश्यक त्रिकोण।
5. एक किरण खींचिए जो BX शीर्ष A के विपरीत दिशा में BC के साथ एक न्यून कोण बनाती है।
6. किरण BX पर 5 जैसे B1, B2, B3, B4, इस प्रकार लगाएं कि BB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B5
7. बिंदुओं B3C को मिलाइए।
8. B5 से होकर B3C के समांतर एक रेखा खींचिए जो विस्तारित रेखा BC को C’ पर प्रतिच्छेद करती है।
9. C’ से होकर रेखा AC के समांतर एक रेखा खींचिए जो विस्तारित रेखा AB को A’ पर प्रतिच्छेद करती है।
10. इसलिए, A’BC’ अभीष्ट त्रिभुज है।

औचित्य:
दी गई समस्या के निर्माण को यह साबित करके उचित ठहराया जा सकता है कि
चूंकि स्केल फैक्टर 5/3 है, इसलिए हमें
A’B = (5/3)AB
BC’ = (5/3)BC
A’C’ सिद्ध करना होगा। = (5/3)AC
रचना से हमें A’C’ प्राप्त होता है || A’BC
‘ और ΔABC में,
A’C’B = ∠ACB (समान कोण)
B = B (उभयनिष्ठ)
A’BC’ ABC (AA समरूपता मानदंड से)
चूँकि समरूप त्रिभुज समान अनुपात में होते हैं, इसलिए यह बन जाता है,
इसलिए, A’B/AB = BC’/BC= A’C’/AC
तो, यह A’B/AB = BC’/BC= A’C’/AC बन जाता है = 5/3
अत: न्यायोचित।