NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 10 वृत्त (Circles) प्रश्नावली 10.2
| Textbook | NCERT |
| Class | Class 10th |
| Subject | (गणित) Mathematics |
| Chapter | Chapter – 10 |
| Chapter Name | वृत्त (Circles) |
| Mathematics | Class 10th गणित Question & Answer |
| Medium | Hindi |
| Source | Last Doubt |
NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 10 वृत्त (Circles) प्रश्नावली 10.2
?Chapter – 10?
✍वृत्त ✍
?प्रश्नावली 10.2?
Q.1 से 3 में, सही विकल्प चुनें और औचित्य दें।
1. एक बिंदु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 cm तथा Q की केंद्र से दूरी 25 cm है। वृत्त की त्रिज्या हैः
(A) 7 cm
(B) 12 cm
(C) 15 cm
(D) 24.5 cm
हल: सबसे पहले, त्रिभुज के केंद्र O से वृत्त पर एक बिंदु P पर एक लंब खींचिए जो स्पर्शरेखा को स्पर्श कर रहा है। यह रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा के लंबवत होगी।
अतः, OP, PQ के लंबवत है अर्थात OP ⊥ PQ
उपरोक्त आकृति से, यह भी देखा गया है कि OPQ एक समकोण त्रिभुज है।
यह दिया गया है कि
OQ = 25 cmऔर PQ = 24 cm
OPQ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके,
OQ 2 = OP 2 +PQ 2
(25) 2 = OP 2 + (24) 2
OP 2 = 625-576
OP 2 = 49
OP = 7 cm
तो, विकल्प ए यानी 7 cm दिए गए वृत्त की त्रिज्या है।
2. आकृति 10.11 में, यदि TP और TQ केंद्र 0 वाले एक वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ हैं, जिससे POQ = 110°, तो PTQ बराबर है
(A) 60°
(B) 70°
(C) 80°
(D) 90°
हल: प्रश्न से, यह स्पष्ट है कि OP वृत्त की स्पर्शरेखा PT की त्रिज्या है और OQ स्पर्शरेखा TQ की त्रिज्या है।
तो, OP PT और TQ OQ
∴∠OPT = OQT = 90°
अब, चतुर्भुज POQT में, हम जानते हैं कि आंतरिक कोणों का योग 360° होता है
, इसलिए, PTQ+∠POQ+∠OPT+∠OQT = 360°
अब, संबंधित मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,
PTQ +90°+110°+90° = 360°
PTQ = 70°
अतः, PTQ 70° है जो विकल्प B है।
3. यदि एक बिंदु P से O केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर के कोण पर झुकी हों, तो बराबर है:
(A) 50°
(B) 60°
(C) 70°
(D) 80°
हल: पहले दिए गए कथन के अनुसार चित्र बनाइए।
अब, उपरोक्त आरेख में, OA स्पर्शरेखा PA की त्रिज्या है और OB स्पर्शरेखा PB की त्रिज्या है।
अतः, OA PA के लंबवत है और OB PB के लंबवत है अर्थात OA PA और OB ⊥ PB
इसलिए, OBP = OAP = 90° अब
, चतुर्भुज AOBP में,
सभी आंतरिक कोणों का योग 360° होगा।
, ∠AOB+∠OAP+∠OBP+∠APB = 360°
इनके मानों को रखने पर, हमें
∠AOB + 260° = 360°
∠AOB = 100° प्राप्त होता
है, अब त्रिभुज △OPB और △OPA पर विचार करें। यहाँ,
AP = BP (चूँकि एक बिंदु से स्पर्श रेखाएँ हमेशा बराबर होती हैं)
OA = OB (जो वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)
OP = OP (यह उभयनिष्ठ भुजा है)
अब, हम कह सकते हैं कि त्रिभुज OPB और OPA समरूप हैं। एसएसएस सर्वांगसमता का उपयोग करना।
OPB OPA
अतः, POB = POA
AOB = ∠POA+∠POB
2 (∠POA) = AO
संबंधित मान रखने पर,
=>∠POA = 100°/2 = 50°
प्राप्त होता है, क्योंकि कोण POA 50° है, विकल्प A सही विकल्प है।
4. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।
हल: पहले एक वृत्त खींचिए और दो बिंदुओं A और B को इस प्रकार जोड़िए कि AB वृत्त का व्यास बन जाए। अब, बिंदु A और B पर क्रमशः दो स्पर्श रेखाएँ PQ और RS खींचिए।
अब, दोनों त्रिज्याएँ अर्थात AO और OB स्पर्शरेखाओं पर लंबवत हैं।
अतः, OB RS पर लम्ब है और OA PQ पर लम्ब है।
अतः, ZOAP = ZOAQ = ZOBR = ZOBS = 90°
उपरोक्त आकृति से, कोण OBR और OAQ एकांतर अंतः कोण हैं।
साथ ही, OBR = OAQ और ∠OBS = OAP (चूंकि वे एकांतर आंतरिक कोण भी हैं)
अतः, यह कहा जा सकता है कि रेखा PQ और रेखा RS एक दूसरे के समानांतर होगी। (इसलिए सिद्ध)।
5. सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त से होकर जाता है।
हल: माना, O दिए गए वृत्त का केंद्र है।
बिंदु P पर वृत्त को स्पर्श करते हुए एक स्पर्श रेखा PR खींची गई है।
बिंदु P पर QP RP इस प्रकार खींचिए कि बिंदु Q वृत्त पर स्थित हो।
OPR = 90° (त्रिज्या स्पर्शरेखा)
साथ ही, QPR = 90° (दिया गया)
OPR = ∠QPR
अब, उपरोक्त स्थिति तभी संभव है जब केंद्र O रेखा QP पर स्थित हो।
अत: वृत्त की स्पर्श रेखा के संपर्क बिंदु पर लम्ब वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।
6. वृत्त के केन्द्र से 5 सेमी दुरी पर स्थित एक बिन्दु A से स्पर्शी की लम्बाई 4 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए ।
हल: नीचे दर्शाए अनुसार चित्र बनाइए।
यहाँ, AB एक बिंदु A से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा है।
इसलिए, त्रिज्या OB AB पर लंबवत होगी अर्थात OB AB
हम जानते हैं, OA = 5 सेमी और AB = 4 सेमी
अब, ABO में,
OA 2 =AB 2 +BO 2 (पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करके)
5 2 = 42+BO 2
BO 2 = 25-16
BO 2 = 9
BO = 3
अतः दिए गए वृत्त की त्रिज्या अर्थात BO 3 सेमी है।
7. दो संकेंद्रित वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी और 3 सेमी हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।
हल: केंद्र O के साथ दो संकेंद्रित वृत्त खींचिए। अब, बड़े वृत्त में एक जीवा AB खींचिए जो छोटे वृत्त को बिंदु P पर स्पर्श करती है जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।
उपरोक्त आरेख से, AB छोटे वृत्त से बिंदु P पर स्पर्श रेखा है।
OP ⊥ AB
त्रिभुज OPA में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,
OA 2 = AP 2 +OP 2
5 2 = AP 2 +3 2
AP 2 = 25-9
AP = 4
अब, OP AB के रूप में, चूँकि वृत्त के केंद्र से लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है, AP ,
PB के बराबर होगा । सर्कल 8 सेमी है।
8. एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है (देखिए आकृति 10.12)। सिद्ध कीजिए कि AB + CD = AD + BC
हल: दिया गया चित्र है:
इस आकृति से हम कुछ बिंदुओं का निष्कर्ष निकाल सकते हैं जो हैं:
(i) DR = DS
(ii) BP = BQ
(iii) AP = AS
(iv) CR = CQ
क्योंकि वे बिंदु D, B, A से वृत्त पर स्पर्शरेखा हैं। , और सी क्रमशः।
अब, उपरोक्त समीकरणों के LHS और RHS को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है,
DR+BP+AP+CR = DS+BQ+AS+CQ
उन्हें पुनर्व्यवस्थित करने पर हम प्राप्त करते हैं,
(DR+CR) + (BP+AP) = (CQ+ बीक्यू) + (डीएस+एएस)
सरलीकृत करके,
एडी+बीसी= सीडी+एबी
9. आकृति 10.13 में, XY तथा X ‘Y ‘, O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिंदु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X ‘Y ‘ को B पर प्रतिच्छेद करती है । सिद्ध कीजिए कि ∠AOB=90∘ है ।
हल: पाठ्यपुस्तक में दिए गए चित्र से OC को मिलाइए। अब, आरेख इस प्रकार होगा-
अब त्रिभुज △OPA और OCA SSS सर्वांगसमता का उपयोग करते हुए समान हैं:
(i) OP = OC वे एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं
(ii) AO = AO यह उभयनिष्ठ भुजा है
(iii) AP = AC ये स्पर्श रेखाएँ हैं बिंदु A से
, OPA OCA
इसी प्रकार,
OQB △OCB
तो,
POA = COA … (समीकरण i)
और, ∠QOB = COB … (समीकरण ii)
चूंकि रेखा POQ एक सीधी रेखा है, इसे वृत्त का व्यास माना जा सकता है।
अतः, POA +∠COA +∠COB +∠QOB = 180°
अब, समीकरण (i) और समीकरण (ii) से हमें प्राप्त होता है,
2∠COA+2∠COB = 180° ∠COA+ ∠COB
= 90°
एओबी = 90°
10. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है।
हल: सबसे पहले, केंद्र O वाला एक वृत्त बनाएं। एक बाहरी बिंदु P चुनें और बिंदु A और बिंदु B पर क्रमशः दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींचे। अब, A और B को मिलाकर AB इस प्रकार बनाएं कि वह वृत्त के केंद्र पर AOB को घटाए। आरेख इस प्रकार है:
उपरोक्त आरेख से, यह देखा गया है कि रेखा खंड OA और PA लंबवत हैं।
अतः, OAP = 90°
इसी प्रकार, रेखा खंड OB ⊥ PB और इसलिए, OBP = 90°
अब, चतुर्भुज OAPB में,
APB+∠OAP +∠PBO +∠BOA = 360° (क्योंकि सभी अंतः कोणों का योग 360° होगा) APB + 180° + ZBOA = 360°
का मान रखने पर , APB + ZBOA = 180° (इसलिए सिद्ध हुआ)।
11. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।
हल: एक समांतर चतुर्भुज ABCD पर विचार करें जो O केंद्र वाले एक वृत्त के परिगत है। अब चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, AB = CD और BC = AD।
उपरोक्त आकृति से, यह देखा गया है कि,
(i) DR = DS
(ii) BP = BQ
(iii) CR = CQ
(iv) AP = AS
ये D, B, C और A पर वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। क्रमश।
इन सभी को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है,
DR+BP+CR+AP = DS+BQ+CQ+AS
इन्हें पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें प्राप्त होता है,
(BP+AP)+(DR+CR) = (CQ+BQ)+(DS+AS)
इन्हें पुन: व्यवस्थित करने पर हमें प्राप्त होता है,
AB+CD = BC+AD
अब, क्योंकि AB = CD और BC = AD, उपरोक्त समीकरण
2AB = 2BC
∴ AB = BC हो जाता है
क्योंकि AB = BC = CD = DA, यह कहा जा सकता है कि ABCD एक समचतुर्भुज है।
12. 4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखण्ड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिंदु D द्वारा BC विभाजित है) की लंबाइयाँ क्रमश: 8cm और 6cm हैं। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।
हल: दिया गया चित्र इस प्रकार है:
त्रिभुज ABC पर विचार करें,
हम जानते हैं कि एक ही बिंदु से वृत्त पर खींची गई किन्हीं दो स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
तो,
(i) CF = CD = 6 सेमी
(ii) BE = BD = 8 सेमी
(iii) AE = AF = x
अब, यह देखा जा सकता है कि,
(i) AB = EB+AE = 8+x
(ii) ) CA = CF+FA = 6+x
(iii) BC = DC+BD = 6+8 = 14
अब अर्ध परिमाप “s” की गणना निम्न प्रकार से की जाएगी
2s = AB+CA+BC
संबंधित मान डालकर हम प्राप्त करते हैं ,
2s = 28+2x
s = 14+x
इसे हल करने पर,
= (14+x)48x ……… (i)
फिर से, ABC का क्षेत्रफल = 2 × (△AOF + △COD + DOB) का क्षेत्रफल
= 2×[(½×OF) ×AF)+(½×CD×OD)+(½×DB×OD)]
= 2×½(4x+24+32) = 56+4x ……………..(ii)
अब से (i) और (ii) हम पाते हैं,
(14+x)48x = 56+4x
अब, दोनों पक्षों का वर्ग करें,
48x(14+x) = (56+4x) 2
48x = [4(14+x)]2/( 14+x)
48x = 16(14+x)
48x = 224+16x
32x = 224
x = 7 सेमी
तो, AB = 8+x
यानी AB = 15 सेमी
और, CA = x+6 =13 सेमी।
13. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज की आमने सामने की भुजाएँ केन्द्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।
हल: पहले एक चतुर्भुज ABCD खींचिए जो एक वृत्त के परिगत अपने O केंद्र के साथ इस प्रकार बनाएगा कि वह वृत्त को बिंदु P, Q, R और S पर स्पर्श करे। अब, ABCD के शीर्षों को मिलाने के बाद हमें निम्नलिखित आकृति प्राप्त होती है:
अब, त्रिभुजों OAP और OAS पर विचार करें,
AP = AS (वे एक ही बिंदु A से स्पर्शरेखा हैं)
OA = OA (यह उभयनिष्ठ भुजा है)
OP = OS (वे वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)
तो, SSS सर्वांगसमता से OAP △OAS
अतः, POA = AOS
जिसका अर्थ है कि∠1 = ∠8
इसी प्रकार, अन्य कोण होंगे,
4 = ∠5
∠2 = ∠3
∠6 = ∠7
अब इन कोणों को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है,
∠1+∠2+∠3 +∠4 +∠5+∠6+∠7+∠8 = 360°
अब पुनर्व्यवस्थित करके,
(∠1+∠8)+(∠2+∠3)+(∠4+ ∠5)+(∠6+∠7) = 360°
2∠1+2∠2+2∠5+2∠6 = 360°
2 को सामान्य मानकर हल करने पर हमें प्राप्त होता है,
(∠1+∠2)+( ∠5+∠6) = 180°
अत: ∠AOB+∠COD = 180°
इसी प्रकार, यह सिद्ध किया जा सकता है कि BOC+∠DOA = 180°
इसलिए, किसी भी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ, जो किसी दिए गए वृत्त के परिगत हैं, वृत्त के केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करेंगी।