NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 8 त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction to Trigonometry) प्रश्नावली 8.4

NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 8 त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction to Trigonometry) प्रश्नावली 8.4

NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 8 त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction to Trigonometry) प्रश्नावली 8.4

? Chapter – 8?

✍त्रिकोणमिति का परिचय✍

? प्रश्नावली 8.4?

1. त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A , sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए ।

हल: दिए गए त्रिकोणमितीय अनुपातों को खाट फलनों के रूप में बदलने के लिए, त्रिकोणमितीय सूत्रों का प्रयोग करें

हम जानते हैं कि,

cosec ² A – cot ² A = 1

cosec ² A = 1 + cot ² A

चूँकि cosec फलन sin फलन का विलोम है, इसे इस प्रकार लिखा जाता है

1/sin ² A= 1 + cot ² A

अब, पदों को पुनर्व्यवस्थित करें, यह बन जाता है

sin²A = 1/(1+cot²A)

अब, दोनों ओर वर्गमूल लें, हमें प्राप्त होता है

sin A = ±1/(√(1+cot²A)

उपरोक्त समीकरण cot फलन के रूप में sin फलन को परिभाषित करता है

अब, sec फलन को cot फलन के रूप में व्यक्त करने के लिए, इस सूत्र का प्रयोग करें

sin²A = 1/ (1+cot²A)

अब, sin फलन को cos फलन के रूप में निरूपित करें

1 – cos ² A = 1/ (1+cot ² A)

शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करें,

cos ² A = 1 – 1/(1+cot ² A)

⇒cos ² A = (1-1+cot ² A)/(1+cot ² A)

चूँकि sec फलन cos फलन का विलोम है,

⇒ 1/sec² A = cot ² A/(1+cot² A)

दोनों पक्षों के व्युत्क्रम और वर्गमूल लें, तो हमें प्राप्त होता है

⇒ sec A = ±√ (1+cot²A)/cotA

अब, tan फलन को cot फलन के रूप में व्यक्त करना

tan A = sin A/cos A और cot A = cos A/sin A

चूँकि cot फलन tan फलन का विलोम है, इसलिए इसे इस प्रकार लिखा जाता है

tan A = 1/cot A

2. ∠A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में लिखिए ।

हल: Cos A फलन को sec A के पदों में लिखिए।

sec A = 1/cos A

⇒ cos A = 1/sec A

सेकंड A के संदर्भ में सेकंड ए फ़ंक्शन:

cos ² A + sin ² A = 1

शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करें

sin²A = 1 – cos²A

sin²A = 1 – (1/sec²A)

sin²A = (sec²A-1)/sec²A

sin A = ± √(sec²A-1)/sec A

cosec A के संदर्भ में कोसेक ए फ़ंक्शन:

sin A = 1/cosec A

⇒cosec A = 1/sin A

cosec A = ± sec A/√(sec²A-1)

अब, सेकंड A के संदर्भ में टैन A फ़ंक्शन:

sec²A – tan²A = 1

शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करें

⇒ tan²A = sec²A – 1

tan A = √(sec²A – 1)

cot A फंक्शन सेकंड A के संदर्भ में:

tan A = 1/cot A

⇒ cot A = 1/tan A

cot A = ±1/√(sec²A – 1)

3. मान निकालिए :

(i) (sin ² 63° + sin ² 27°)/(cos ² 17° + cos ² 73°)
(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°

हल: (i) (sin ² 63° + sin ² 27°)/(cos ² 17° + cos ² 73°)

इसे सरल बनाने के लिए, कुछ पाप कार्यों को कॉस फ़ंक्शन में और कॉस फ़ंक्शन को पाप फ़ंक्शन में परिवर्तित करें और यह बन जाता है,

= [sin²(90°-27°) + sin²27°] / [cos²(90°-73°) + cos²73°)]

= (cos²27° + sin²27°)/(sin²27° + cos²73°)

= 1/1 =1                       (since sin²A + cos²A = 1)

Therefore, (sin²63° + sin²27°)/(cos²17° + cos²73°) = 1

(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°

इसे सरल बनाने के लिए, कुछ पाप कार्यों को कॉस फ़ंक्शन में और कॉस फ़ंक्शन को पाप फ़ंक्शन में परिवर्तित करें और यह बन जाता है,

= sin(90°-25°) cos 65° + cos (90°-65°) sin 65°

= cos 65° cos 65° + sin 65° sin 65°

= cos²65° + sin²65° = 1 (since sin²A + cos²A = 1)

अत: sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65° = 1

4. सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए

(i) 9 sec²A – 9 tan²A  बराबर है :
(A) 1                 (B) 9              (C) 8                (D) 0
(ii) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ) बराबर है :
(A) 0                 (B) 1              (C) 2                (D) – 1
(iii) (sec A + tan A) (1 – sin A) बराबर है :
(A) sec A           (B) sin A        (C) cosec A      (D) cos A

(iv) 1+tan²A/1+cot²A बराबर है :   (A) sec² A                 (B) -1              (C) cot²A                (D) tan²A

हल: (i) (B) सही है।

औचित्य:

9 बाहर ले लो, और यह बन जाता है

9 sec²A – 9 tan²A

= 9 (sec²A – tan²A)

= 9×1 = 9             (∵ sec2 A – tan2 A = 1)

इसलिए, 9 sec²A – 9 tan²A = 9

(ii) (C) सही है

औचित्य:

(1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ)

हम जानते हैं कि, tan = sin θ/cos

sec θ = 1/ cos θ

cot θ = cos θ/sin θ

cosec θ = 1/sin θ

अब, दी गई समस्या में उपरोक्त मानों को प्रतिस्थापित करें, हमें प्राप्त होता है

= (1 + sin / cos + 1 / cos ) (1 + cos / sin θ – 1 / sin )

उपरोक्त समीकरण को सरल कीजिए,

= (cos θ +sin θ+1)/cos θ × (sin θ+cos θ-1)/sin θ

= (cos θ+sin θ)²-1²/(cos θ sin θ)

= (cos²θ + sin²θ + 2cos θ sin θ -1)/(cos θ sin θ)

= (1+ 2cos θ sin θ -1)/(cos θ sin θ) (Since cos²θ + sin²θ = 1)

= (2cos θ sin θ)/(cos θ sin θ) = 2

इसलिए, (1 + tan + sec ) (1 + cot θ – cosec ) =2

(iii) (D) सही है।

औचित्य:

हम जानते हैं कि,

Sec A= 1/cos A

Tan A = sin A / cos A

अब, दी गई समस्या में उपरोक्त मानों को प्रतिस्थापित करें, हमें प्राप्त होता है

(sec A + tan A) (1 – sin A)

= (1/cos A + sin A/cos A) (1 – sin A)

= (1+sin A/cos A) (1 – sin A)

= (1 – sin ² A)/cos A

= cos ² A/cos A = cos A

इसलिए, (sec A + tan A) (1 – sin A) = cos A

(iv) (D) सही है।

औचित्य:

हम जानते हैं कि,

tan²A =1/cot²A

अब, दी गई समस्या में इसे प्रतिस्थापित करें, हमें प्राप्त होता है

1+tan²A/1+cot²A

= (1+1/cot²A)/1+cot²A

= (cot²A+1/cot²A)×(1/1+cot²A)

= 1/cot²A = tan²A

तो, 1+tan ² A/1+cot ² A = tan ² A

5. निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यून कोण है :

(i) (cosec θ – cot θ)² = (1-cos θ)/(1+cos θ)

(ii) cos A/(1+sin A) + (1+sin A)/cos A = 2 sec A

(iii) tan θ/(1-cot θ) + cot θ/(1-tan θ) = 1 + sec θ cosec θ

(iv) (1 + sec A)/sec A = sin²A/(1-cos A)  

(v) ( cos A–sin A+1)/( cos A +sin A–1) = cosec A + cot A, using the identity cosec²A = 1+cot²A.

(vii) (sin θ – 2sin³θ)/(2cos³θ-cos θ) = tan θ
(viii) (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7+tan²A+cot²A
(ix) (cosec A – sin A)(sec A – cos A) = 1/(tan A+cotA)
(x) (1+tan²A/1+cot²A) = (1-tan A/1-cot A)² = tan²A

हल: (i) (cosec – cot θ) ²  = (1−cos θ)/(1+cos )

इसे सिद्ध करने के लिए, पहले दिए गए समीकरण के बाएँ हाथ (LHS) को लें, दाएँ हाथ की ओर (RHS) को सिद्ध करने के लिए।

L.H.S. = (cosec θ – cot θ)²

उपरोक्त समीकरण (ab) ² के रूप में है , और इसका विस्तार करें

चूँकि (ab) ²  = a ²  + b ²  – 2ab

यहाँ a = cosec θ and b = cot θ

= (cosec²θ + cot²θ – 2cosec θ cot θ)

अब, सरल बनाने के लिए संबंधित प्रतिलोम फलन और समतुल्य अनुपात लागू करें

= (1/sin²θ + cos²θ/sin²θ – 2cos θ/sin²θ)

= (1 + cos²θ – 2cos θ)/(1 – cos²θ)

= (1-cos θ)²/(1 – cosθ)(1+cos θ)

= (1-cos θ)/(1+cos θ) = R.H.S.

इसलिए, (cosec θ – cot θ) ²  = (1-cos θ)/(1+cos )

इसलिए साबित हुआ।

(ii) (cos A/(1+sin A)) + ((1+sin A)/cos A) = 2 सेकंड A

अब दिए गए समीकरण का LHS लीजिए।

L.H.S. = (cos A/(1+sin A)) + ((1+sin A)/cos A)

= [cos ² A + (1+sin A) ² ]/(1+sin A)cos A

= (cos ² A + sin ² A + 1 + 2sin A)/(1+sin A) cos A

चूँकि cos ² A + sin ² A = 1, हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं

= (1 + 1 + 2sin A)/(1+sin A) cos A

= (1 + 1 + 2sin A)/(1+sin A) cos A

= (2+ 2sin A)/(1+sin A)cos A

= 2(1+sin A)/(1+sin A)cos A

= 2/cos A = 2 sec A = R.H.S.

L.H.S. = R.H.S.

(cos A/(1+sin A)) + ((1+sin A)/cos A) = 2 sec A

इसलिए साबित हुआ।

(iii) tan θ/(1-cot θ) + cot θ/(1-tan θ) = 1 + sec θ cosec

L.H.S. = tan θ/(1-cot θ) + cot θ/(1-tan θ)

हम जानते हैं कि tan θ =sin /cos

cot θ = cos θ/sin θ

अब, इसे सरलीकृत रूप में बदलने के लिए, दिए गए समीकरण में इसे प्रतिस्थापित करें

= [(sin θ/cos θ)/1-(cos θ/sin θ)] + [(cos θ/sin θ)/1-(sin θ/cos θ)]

= [(sin θ/cos θ)/(sin θ-cos θ)/sin θ] + [(cos θ/sin θ)/(cos θ-sin θ)/cos θ]

= sin²θ/[cos θ(sin θ-cos θ)] + cos²θ/[sin θ(cos θ-sin θ)]

= sin²θ/[cos θ(sin θ-cos θ)] – cos²θ/[sin θ(sin θ-cos θ)]

= 1/(sin θ-cos θ) [(sin²θ/cos θ) – (cos²θ/sin θ)]

= 1/(sin θ-cos θ) × [(sin³θ – cos³θ)/sin θ cos θ]

= [(sin θ-cos θ)(sin²θ+cos²θ+sin θ cos θ)]/[(sin θ-cos θ)sin θ cos θ]

= (1 + sin θ cos θ)/sin θ cos θ

= 1/sin θ cos θ + 1

= 1 + sec θ cosec θ = R.H.S.

इसलिए, L.H.S. = R.H.S.

इसलिए साबित हुआ

(iv)  (1 + sec A)/sec A = sin²A/(1-cos A)

पहले L.H.S. का सरलीकृत रूप खोजें

L.H.S. = (1 + sec A)/sec A

चूँकि secant फलन cos फलन का प्रतिलोम फलन है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है

= (1 + 1/cos A)/1/cos A

= (cos A + 1)/cos A/1/cos A

इसलिए, (1 + sec A)/sec A = cos A + 1

RHS = sin ² A/(1-cos A)

हम जानते हैं कि sin ² A = (1 – cos ² A), हमें प्राप्त होता है

= (1 – cos ² A)/(1-cos A)

= (1-cos A)(1+cos A)/(1-cos A)

इसलिए, sin ² A/(1-cos A)= cos A + 1

L.H.S. = R.H.S.

इसलिए साबित हुआ

(v) (cos A–sin A+1)/(cos A+sin A–1) = cosec A + cot A, using the identity cosec²A = 1+cot²A.

सर्वसमिका फलन, cosec ² A = 1+cot ² A की सहायता से, आइए हम उपरोक्त समीकरण को सिद्ध करें।

LHS = (cos A–sin A+1)/(cos A+sin A–1)

अंश और हर को पाप ए से विभाजित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं

= (cos A–sin A+1)/sin A/(cos A+sin A–1)/sin A

हम जानते हैं कि cos A/sin A = cot A और 1/sin A = cosec A

= (cot A – 1 + cosec A)/(cot A+ 1 – cosec A)

= (cot A – cosec²A + cot²A + cosec A)/(cot A+ 1 – cosec A) (using cosec²A – cot²A = 1

= [(cot A + cosec A) – (cosec²A – cot²A)]/(cot A+ 1 – cosec A)

= [(cot A + cosec A) – (cosec A + cot A)(cosec A – cot A)]/(1 – cosec A + cot A)

=  (cot A + cosec A)(1 – cosec A + cot A)/(1 – cosec A + cot A)

=  cot A + cosec A = R.H.S.

इसलिए, (cos A–sin A+1)/(cos A+sin A–1) = cosec A + cot A

इसलिए सिद्ध

पहले LHS के अंश और हर को cos A से भाग दें,

हम जानते हैं कि 1/cos A = sec A और sin A/cos A = tan A और यह बन जाता है,

= √(sec A+ tan A)/(sec A-tan A)

अब युक्तिकरण का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

= (sec A + tan A)/1

= sec A + tan A = R.H.S

इसलिए साबित हुआ

(vii) (sin θ – 2sin ³ ) / (2cos ³ θ-cos ) = tan

L.H.S. = (sin θ – 2sin³θ)/(2cos³θ – cos θ)

sin को अंश के रूप में और cos को हर में बाहर के रूप में लें, यह बन जाता है

= [sin θ(1 – 2sin²θ)]/[cos θ(2cos²θ- 1)]

हम जानते हैं कि sin ² = 1-cos ²

= sin θ[1 – 2(1-cos²θ)]/[cos θ(2cos²θ -1)]

= [sin θ(2cos²θ -1)]/[cos θ(2cos²θ -1)]

= tan θ = R.H.S.

इसलिए साबित हुआ

(viii) (sin A + cosec A) ²  + (cos A + sec A) ²  = 7+tan ² A+cot ² A

LHS = (sin A + cosec A) ²  + (cos A + sec A) ²

यह (a+b) ² के रूप का है, इसे विस्तृत करें

(a+b)² =a² + b² +2ab

= (sin²A + cosec²A + 2 sin A cosec A) + (cos²A + sec²A + 2 cos A sec A)

= (sin²A + cos²A) + 2 sin A(1/sin A) + 2 cos A(1/cos A) + 1 + tan²A + 1 + cot²A

= 1 + 2 + 2 + 2 + tan²A + cot²A

= 7+tan²A+cot²A = R.H.S.

इसलिए, (sin A + cosec A) ²  + (cos A + sec A) ²  = 7+tan ² A+cot ² A

इसलिए साबित हुआ।

(ix) (cosec A – sin A) (sec A – cos A) = 1 / (tan A + cotA)

सबसे पहले, L.H.S का सरलीकृत रूप खोजें

L.H.S. = (cosec A – sin A)(sec A – cos A)

अब, प्रतिलोम और समतुल्य त्रिकोणमितीय अनुपात रूपों को प्रतिस्थापित करें

= (1/sin A – sin A)(1/cos A – cos A)

= [(1-sin²A)/sin A][(1-cos²A)/cos A]

= (cos²A/sin A)×(sin²A/cos A)

= क्योंकि एक पाप ए

अब, RHS को सरल कीजिए

R.H.S. = 1/(tan A+cotA)

= 1/(sin A/cos A +cos A/sin A)

= 1/[(sin²A+cos²A)/sin A cos A]

= cos A sin A

L.H.S. = R.H.S.

(cosec A – sin A) (sec A – cos A) = 1 / (tan A + cotA)

इसलिए साबित हुआ

(x) (1+tan ² A/1+cot ² A) = (1-tan A/1-cot A) ²  =  tan ² A

L.H.S. = (1+tan²A/1+cot²A)

चूँकि cot फलन tan फलन का विलोम है,

= (1+tan²A/1+1/tan²A)

= 1+tan²A/[(1+tan²A)/tan²A]

अब 1+tan ² A पदों को रद्द करें, हमें प्राप्त होता है

= tan²A

(1+tan ² A/1+cot ² A) = tan ² A

इसी तरह,

(1-tan A/1-cot A)² = tan²A

इसलिए साबित हुआ