NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) प्रश्नावली 7.3
| Textbook | NCERT |
| Class | Class 10th |
| Subject | (गणित) Mathematics |
| Chapter | Chapter – 7 |
| Chapter Name | निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) |
| Mathematics | Class 10th गणित Question & Answer |
| Medium | Hindi |
| Source | Last Doubt |
NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) प्रश्नावली 7.3
? Chapter – 7?
✍ निर्देशांक✍
? प्रश्नावली 7.3?
1. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं |
(i) (2, 3), (-1, 0), (2, -4)
(ii) (-5, -1), (3, -5), (5, 2)
हल: त्रिभुज सूत्र का क्षेत्रफल = 1/2 × [x 1 (y 2 – y 3 ) + x 2 (y 3 – y 1 ) + x 3 (y 1 – y 2 )]
(i) यहां,
x1 = 2, x2 = -1, x3 = 2, y1 = 3, y2 = 0 और y3 = -4
उपरोक्त सूत्र में सभी मानों को प्रतिस्थापित करें, हमें
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 [2 { 0- (-4)} + (-1) {(-4) – (3)} + 2 (3 – 0)]
= 1/2 {8 + 7 + 6}
= 21/2
अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल 21/2 वर्ग इकाई है।
(ii) यहाँ
x 1 = -5, x 2 = 3, x 3 = 5, y 1 = -1, y 2 = -5 और y 3 = 2
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 [-5 { ( -5)- (2)} + 3(2-(-1)) + 5{-1 – (-5)}]
= 1/2{35 + 9 + 20} = 32
इसलिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल 32 वर्ग इकाई है।
2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में kk का मान ज्ञात कीजिए ताकि तीनों बिंदु संरेखी हों :
(i) (7, -2), (5, 1), (3, -k)
(ii) (8, 1), (के, -4), (2, -5)
हल: (i) संरेख बिंदुओं के लिए, उनके द्वारा बनाए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल हमेशा शून्य होता है।
मान लीजिए बिंदु (7, -2) (5, 1), और (3, k) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 [7 {1-k} + 5(k-(-2)) + 3{(-2) – 1}] = 0
7 – 7k + 5k +10 -9 = 0
-2k + 8 = 0
के = 4
(ii) संरेख बिन्दुओं के लिए उनके द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।
इसलिए, बिंदुओं (8, 1), (k, – 4), और (2, – 5) के लिए, क्षेत्रफल = 0
1/2 [8 { -4- (-5)} + k{(-5)- (1)} + 2{1 -(-4)}] = 0
8 – 6k + 10 = 0
6k = 18
k = 3
3. शीर्षों (0,−1),(2,1) और (0,3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के साथ अनुपात ज्ञात कीजिये।
हल: माना त्रिभुज के शीर्ष A (0, -1), B (2, 1), C (0, 3) हैं।
मान लीजिए D, E, F इस त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं।
D, E, और F के निर्देशांक D द्वारा दिए गए हैं
= (0+2/2, -1+1/2) = (1, 0)
E = ( 0+0/2, -1+3/2 ) = (0, 1)
F = (0+2/2, 3+1/2) = (1, 2)
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × [x 1 (y 2 – y 3 ) + x 2 (y 3 – y 1 ) + x 3 (y 1 – y 2 )]
DEF का क्षेत्रफल = 1/2 {1( 2-1) + 1(1-0) + 0(0-2)} = 1/2 (1+1) = 1
DEF का क्षेत्रफल 1 वर्ग इकाई
है ABC का क्षेत्रफल = 1/2 [0(1-3) ) + 2{3-(-1)} + 0(-1-1)] = 1/2 {8} = 4
ABC का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है
, अतः अभीष्ट अनुपात 1:4 है।
4. उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में (-4, -2), (-3, -5), (3, -2) और (2, 3) हैं|
हल: माना चतुर्भुज के शीर्ष A (- 4, – 2), B (-3, – 5), C (3, – 2), और D (2, 3) हैं।
AC को मिलाइए और चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित कीजिए।
हमारे पास दो त्रिभुज ΔABC और ACD हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × [x 1 (y 2 – y 3 ) + x 2 (y 3 – y 1 ) + x 3 (y 1 – y 2 )]
ABC का क्षेत्रफल = 1/2 [(- 4) {(-5) – (-2)} + (-3) {(-2) – (-2)} + 3 {(-2) – (-5)}]
= 1/2 (12 + 0 + 9)
= 21/2 वर्ग इकाई
ACD का क्षेत्रफल = 1/2 [(-4) {(-2) – (3)} + 3{(3) – (-2)} + 2 {(-2 ) – (-2)}]
= 1/2 (20 + 15 + 0)
= 35/2 वर्ग इकाई
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ABC का क्षेत्रफल + ΔACD का क्षेत्रफल
= (21/2 + 35/2) वर्ग इकाई = 28 वर्ग इकाई
5. कक्षा IX में आपने पढ़ा है (अध्याय 9, उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माधियका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है | उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A (4, – 6), B (3, – 2) और C (5, 2) हैं।
हल: माना त्रिभुज के शीर्ष A (4, -6), B (3, -2), और C (5, 2) हैं।
माना ABC की भुजा BC का मध्य-बिंदु D है। अत: ABC में AD माध्यिका है।
बिंदु D के निर्देशांक = BC का मध्यबिंदु = ((3+5)/2, (-2+2)/2) = (4, 0)
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र = 1/2 × [x 1 ( y 2 – y 3 ) + x 2 (y 3 – y 1 ) + x 3 (y 1 – y 2 )]
अब, ABD का क्षेत्रफल = 1/2 [(4) {(-2) – (0)} + 3{(0) – (-6)} + (4) {(-6) – (-2)}]
= 1/2 (-8 + 18 – 16)
= -3 वर्ग इकाई
हालांकि, क्षेत्रफल नहीं हो सकता नकारात्मक। अत: ABD का क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई है।
ΔACD का क्षेत्रफल = 1/2 [(4) {0 – (2)} + 4{(2) – (-6)} + (5) {(-6) – (0)}]
= 1/2 (-8 + 32 – 30) = -3 वर्ग इकाई
हालांकि, क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता। अत: ACD का क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई है।
दोनों पक्षों का क्षेत्रफल समान है। इस प्रकार, माध्यिका AD ने ABC को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित किया है।