NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) प्रश्नावली 7.2

June 9, 2022

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) प्रश्नावली 7.2

Textbook	NCERT
Class	Class 10th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	Chapter – 7
Chapter Name	निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)
Mathematics	Class 10th गणित Question & Answer
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) प्रश्नावली 7.2

? Chapter – 7?

✍ निर्देशांक✍

? प्रश्नावली 7.2?

1. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं $(- 1, 7)$ और $(4, - 3)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $2 : 3$ के अनुपात में विभाजित करता है|

हल: मान लीजिए P(x, y) अभीष्ट बिन्दु है। खंड सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
x = (2×4 + 3×(-1))/(2 + 3) = (8 – 3)/5 = 1
y = (2×-3 + 3×7)/(2 + 3) = (-6 + 21)/5 = 3
अत: बिंदु (1, 3) है।

2. बिंदुओं $(4, - 1)$ और $(- 2, - 3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम-त्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|

हल: माना P (x 1 , y 1 ) और Q (x 2 , y2) दिए गए बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड के त्रिखंड के बिंदु हैं अर्थात AP = PQ = QB
इसलिए, बिंदु P AB को आंतरिक रूप से 1:2 के अनुपात में विभाजित करता है।
x 1 = (1 × (-2) + 2 × 4) / 3 = (-2 + 8) / 3 = 6/3 = 2
y 1 = (1×(-3) + 2×(-1))/(1 + 2) = (-3 – 2)/3 = -5/3
इसलिए: P (x 1 , y 1 ) = P(2, -5/3)
बिंदु Q AB को आंतरिक रूप से 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
x 2 = (2×(-2) + 1×4)/(2 + 1) = (-4 + 4)/3 = 0
y 2 = (2 × (-3) + 1 × (-1))/(2 + 1) = (-6-1)/3 = -7/3
बिंदु Q के निर्देशांक हैं (0, -7/3)

3. आपके स्कूल में खेल-कूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान $A B C D$ में, चूने से परस्पर $1 m$ की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं | $A D$ के अनुदिश परस्पर $1 m$ की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं, जैसा कि आकृति 7.12 में दर्शाया गया है | निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के 1/4 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झंडा गाड़ देती है | प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के 1/5 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक लाल झंडा गाड़ देती है दोनों झंडो के बीच की दूरी क्या है ? यदि रश्मि को एक नीला झंडा इन दोनों झंडों को मिलाने वाले रेखाखंड पर ठीक आधी दुरी (बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झंडा कहाँ गाड़ना चाहिए ?

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हल: दिए गए निर्देश से, हमने देखा कि निहारिका ने हरी झंडी को दूसरी पंक्ति के शुरुआती बिंदु से AD की 1/4^वां दूरी यानी (1/4 × 100) m = 25 m पर पोस्ट किया। अत: इस बिंदु के निर्देशांक (2, 25) हैं। इसी प्रकार, प्रीत ने 8वीं पंक्ति के आरंभिक बिंदु से AD की दूरी के 1/5 अर्थात (1/5 × 100) m = 20m पर लाल झंडा लगाया। इसलिए, इस बिंदु के निर्देशांक (8, 20) हैं। इन झंडों के बीच की दूरी की गणना दूरी सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है,

जिस बिंदु पर रश्मि को अपना नीला झंडा लगाना चाहिए, वह इन बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा का मध्य-बिंदु है। मान लीजिए कि यह बिंदु P(x, y) है। x = (2 + 8)/2 = 10/2 = 5 और y = (20 + 25)/2 = 45/2 इसलिए, P( x , y ) = (5, 45/2) इसलिए रश्मि को अपना नीला झंडा 5वीं लाइन पर 45/2 = 22.5 m पर लगाना चाहिए।

4. बिंदुओं $(- 3, 10)$ और $(6, - 8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु $(- 1, 6)$ किस अनुपात में विभाजित करता है|

हल: उस अनुपात पर विचार करें जिसमें (-3, 10) और (6, -8) को मिलाने वाले रेखाखंड को बिंदु (-1, 6) से विभाजित किया जाता है, k :1 है।
इसलिए, -1 = (6 k -3)/( k +1)
– के – 1 = 6 के -3
7 के = 2
कश्मीर = 2/7
अतः अभीष्ट अनुपात 2:7 है।

5. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमे बिंदुंओ A (1,−5) और B (−4,5) को मिलाने वाले रेखाखंड x− अक्ष से विभाजित होता है| इस विभाजित बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए|

हल: मान लीजिए कि A (1, – 5) और B (-4, 5) को मिलाने वाले रेखाखंड को x-अक्ष से विभाजित करने वाला अनुपात k : 1 है। इसलिए, विभाजन बिंदु के निर्देशांक, मान लीजिए P( x, y) है ((-4 k +1)/( k +1), (5 k -5)/( k +1))।

हम जानते हैं कि x-अक्ष पर किसी बिंदु का y-निर्देशांक 0 होता है।
इसलिए, (5k – 5)/(k + 1) = 0
5k = 5
या कश्मीर = 1
अतः x- अक्ष रेखाखंड को 1:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
अब, विभाजन के बिंदु के निर्देशांक खोजें:
p (x, y) = ((-4(1)+1)/(1+1) , (5(1)-5)/(1+1)) = (-3/2 , 0)

6. यदि बिंदु (1,2),(4,y),(x,6) और (3,5) इसी क्रम में लेने पर एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हो तो x और y ज्ञात कीजिये।

हल: मान लीजिए कि A,B,C और D एक समांतर चतुर्भुज के बिंदु हैं: A(1, 2), B(4, y ), C( x , 6) और D(3, 5)।

चूँकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं, मध्यबिंदु समान होता है।
x और y का मान ज्ञात करने के लिए, पहले मध्यबिंदु को हल करें।
AC का मध्यबिंदु = ( (1+x)/2 , (2+6)/2 ) = ((1+x)/2 , 4)
BD का मध्यबिंदु = ((4+3)/2 , (5+y)/2 ) = (7/2 , (5+y)/2)
AC और BD का मध्यबिंदु समान है, इसका अर्थ है
(1+x)/2 = 7/2 और 4 = (5+y)/2
x + 1 = 7 और 5 + y = 8
x = 6 और y = 3

7. बिंदु $A$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ $A B$ एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र $(2, - 3)$ है तथा $B$ के निर्देशांक (1,4) है |

हल: मान लीजिए कि बिंदु A के निर्देशांक हैं ( x , y )।
AB का मध्य-बिंदु (2, – 3) है, जो वृत्त का केंद्र है।
B का निर्देशांक = (1, 4)
(2, -3) =((x+1)/2 , (y+4)/2)
(x+1)/2 = 2 और (y+4)/2 = -3
x + 1 = 4 और y + 4 = -6
x = 3 और y = -10
A(3,-10) के निर्देशांक।

8. यदि $A$ और $B$ क्रमश: $(- 2, - 2)$ और $(2, - 4)$ हो तो बिंदु $P$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = 3/7 AB हो और $P$ रेखाखंड $A B$ पर स्थित हो |

हल: बिंदु A और B के निर्देशांक क्रमशः (-2,-2) और (2,-4) हैं। चूँकि AP = 3/7 AB
इसलिए, AP: PB = 3:4
बिंदु P रेखाखंड AB को 3:4 के अनुपात में विभाजित करता है।

9. बिंदुंओ A (−2,2) औरB (2,8) को जोड़ने वाले रेखाखंड $A B$ को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुंओ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|

हल: एक आकृति, रेखा खींचिए जो 4 बिंदुओं से विभाजित हो।

आकृति से, यह देखा जा सकता है कि बिंदु X, Y, Z रेखा खंड को क्रमशः 1:3, 1:1, 3:1 के अनुपात में विभाजित कर रहे हैं।

10. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसकी क्रम में (3, 0), (4, 5), (-1, 4) और (-2, -1)हैं। [संकेत: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 (उसके विकर्णों का गुणनफल

हल: मान लीजिए A(3, 0), B (4, 5), C(-1, 4) और D (-2, – 1) एक समचतुर्भुज ABCD के शीर्ष हैं।