NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6.6

June 9, 2022

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6.6

Textbook	NCERT
Class	Class 10th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	Chapter – 6
Chapter Name	त्रिभुज (Triangles)
Mathematics	Class 10th गणित Question & Answer
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6.6

? Chapter – 6?

✍त्रिभुज✍

? प्रश्नावली 6.6?

1. आकृति 6.56 में PS कोण QPR का समद्विभाजिक है। सिद्ध कीजिए कि QS/SR = PQ/PR है।

हल: आइए हम SP के समानांतर एक रेखाखंड RT खींचते हैं जो विस्तारित रेखा खंड QP को बिंदु T पर प्रतिच्छेद करता है।
दिया गया है, PS ∠QPR का कोण समद्विभाजक है। इसलिए,
QPS = ∠SPR………………………………..(i)

निर्मित आकृति के अनुसार,
SPR=∠PRT(चूंकि, PS||TR)……………(ii)
∠QPS = QRT(चूंकि, PS||TR) ……..(iii)
से उपरोक्त समीकरण, हम प्राप्त करते हैं,
∠PRT=∠QTR
इसलिए,
PT=PR QTR
में, मूल आनुपातिकता प्रमेय द्वारा,
QS/SR = QP/PT
चूँकि, PT=TR
इसलिए,
QS/SR = PQ/PR
इसलिए, सिद्ध हुआ .

2. आकृति 6.57 में D त्रिभुज ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिंदु है जबकि BD ⊥AC, DM BC और DN AB। सिद्ध कीजिए कि: (i) DM2=DN.MC
(ii) DN2=DM.AN

हल:

(i) आइए हम बिंदु D और B को मिलाते हैं। दिया गया है ,
BD ⊥AC, DM BC और DN ⊥ AB
अब हमारे पास दी गई आकृति से,
DN || CB, DM || AB और B = 90°
इसलिए, DMBN एक आयत है।
तो, DN = MB और DM = NB
दी गई शर्त जिसे हमें सिद्ध करना है, वह है जब D, B से AC पर खींचे गए लंब का पाद है।
CDB = 90° 2 + 3 = 90° ……………. (i)
CDM में, 1 + ∠2 + ∠DMC = 180°
1 + ∠2 = 90° ………………………………….. (ii)
∆DMB में, 3 + DMB + ∠4 = 180°
3 + ∠4 = 90° ………………………………….. (iii)
समीकरण (i) और (ii) से, हम समीकरण (i) और (iii) से 1 = ∠3 प्राप्त
करें , 2 = ∠4 DCM और ∆BDM में, 1 = ∠3 (पहले से सिद्ध)

2 = ∠4 (पहले से सिद्ध)
DCM BDM (AA समरूपता मानदंड)
BM/DM = DM/MC
DN/DM = DM/MC (BM = DN)
DM ² = DN × MC
इसलिए, सिद्ध हुआ।

(ii) समकोण त्रिभुज DBN में,
5 + 7 = 90° ……………….. (iv)
समकोण त्रिभुज DAN में,
∠6 + ∠8 = 90° ………………… (v)
D त्रिभुज का वह बिंदु है, जो B से AC पर खींचे गए लंब का पाद है।
∠ADB = 90° 5 + ∠6 = 90° …………….. (vi)
समीकरण (iv) और (vi) से, हम प्राप्त करते हैं,
6 = 7
समीकरण (v) और (vi) से ), हम प्राप्त करते हैं,
8 = ∠5
DNA और ∆BND में,
6 = ∠7 (पहले से सिद्ध)
8 = ∠5 (पहले से सिद्ध)
DNA ∼ BND (AA समानता मानदंड)
AN/DN = DN/NB
⇒ DN ² = AN × NB
⇒ DN ² = AN × DM (चूंकि, NB = DM)

3. आकृति 6.68 में ABC एक त्रिभुज हैं जिसमे ABC > 90° है तथा AD CB हैं| सिध्य कीजिये कि

AC ² = AB ² + BC ² + 2 BC.BD।

हल:^ADBमेंपाइथागोरसप्रमेय को लागू करने पर, हम पाते हैं,
AB² = AD² + DB² ………………² + DC²AC² = AD² + (DB + BC) ²AC² = AD² + DB² + BC² + 2DB × BCसमीकरण (i) से हम लिख सकते हैं,AC² = AB² + BC² + 2DB × BCअत: सिद्ध हुआ।

4. आकृति 6.59 में ABC एक त्रिभुज हैं जिसमे ABC <90° है तथा AD BC है। सिध्य कीजिये कि

AC ² = AB ² + BC ² – 2 BC.BD।

हल: पाइथागोरस प्रमेय को ADB में लागू करने पर, हम पाते हैं,
AB² = AD² + DB²
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं;
AD² = AB² – DB² ……………….. (i)
ADC में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने से, हम प्राप्त करते हैं,
AD² + DC² = AC²
समीकरण (i) से,
AB² – BD² + DC² = AC²
AB² – BD² + (BC – BD)² = AC²
AC² = AB² – BD² + BC ² + BD ² -2BC × BD
AC ² = AB ² + BC ² – 2BC × BD
अत: सिद्ध हुआ।

5. आकृति 6.60 में AD त्रिभुज ABC कि एक माधियाका हैं तथा AM BC है। सिद्ध कीजिए कि :
(i) AC ² = AD ² + BC.DM + 2 (BC/2) ²
(ii) AB ² = AD ² – BC.DM + 2 (BC/2) ²

(iii) AC ² + AB ² = 2 AD ² + ½ BC ²

हल:
(i) AMD में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
AM² + MD² = AD² ……………। (i)
पुन:, AMC में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
AM² + MC² = AC²
AM² + (MD + DC)² = AC²
(AM² + MD² ) + DC² + 2MD.DC = AC²
समीकरण (i) से, हमें
AD² + DC² + 2MD.DC = AC²
, क्योंकि DC = BC/2, इस प्रकार, हम
AD²+ (BC/2)²+ 2MD। (BC/2) ² = AC ²
AD ² + (BC/2) ² + 2 MD × BC = AC ²
इसलिए, साबित हुआ।

(ii) ABM में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं;
AB ² = AM ² + MB ²
= (AD ² – DM ² ) + MB ²
= (AD ² – DM ² ) + (BD – MD) ²
= AD ² – DM ² + BD ² + MD ² – 2BD × MD
= AD ² + BD ² – 2BD × MD
= AD ² + (BC/2) ² – 2 (BC/2) MD
= AD ² + (BC/2) ² – BC MD
इसलिए, साबित हुआ।

^{(iii) ABM}में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं, AM ²
+ ^MB 2 = ^AB 2 ^{…………………} . … = AC ² …………………..… (ii) दोनों समीकरणों (i) और (ii) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं, 2AM ² + MB ² + MC ² = AB ² + AC ² 2AM ² + (BD) – DM) ² + (MD + DC) ² = AB ² +AC ^{2 2} AM ² +BD ² + DM ²

-2BD.DM + MD ² + DC ² + 2MD.DC = AB ² + AC ^{2 2 AM}² + 2MD
2 ⁺ BD ² + DC ² + 2MD (- BD + DC) = AB ² + AC ²
2 (AM ² + MD ² ) + (BC/2) ² + (BC/2) ² + 2 MD (-BC/2 + BC/2) ²⁼ AB ² + AC ^{2 2}
AD ² + BC 2/2 =AB ² + AC ²

6. सिध्य कीजिये कि एक समांतर चतुर्भुज कि विकरणों कि वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता हैं।

हल: मान लीजिए, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। अब, AB की विस्तारित भुजा पर लम्ब DE खींचिए, और बिंदु F पर DC को मिलाते हुए एक लंब AF खींचिए।

पाइथागोरस प्रमेय को DEA में लागू करने पर, हम प्राप्त ^करते^हैं^,
DE ² + EA ² = DA ² ……………… . … ² + (EA + AB) ² = DB ² (DE ² + EA ² ) + AB ² + 2EA × AB = DB ² DA ² + AB ² + 2EA × AB = DB ² ……………। (ii) ADF में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम पाते हैं, AD ² = AF ² + FD ²

AFC में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम पाते हैं,
AC ² = AF ² + FC ² = AF ² + (DC – FD) ²
= AF ² + DC ² + FD ² – 2DC × FD
= (AF ² + FD ² ) + DC ² – 2DC × FD AC ²
AC ² = AD ² + DC ² – 2DC × FD ……………………… (iii)
चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है,
AB = CD …………….. (iv)
और BC = AD ………………। (v)
DEA और ∆ADF में,
DEA = AFD (प्रत्येक 90°)
EAD = ADF (EA || DF)
AD = AD (
उभय कोण) EAD FDA (AAS सर्वांगसमता मानदंड)
EA = DF ……………… (vi)
समीकरण (i) और (iii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं,
DA ² + AB ² + 2EA × AB + AD ² + DC ² – 2DC × FD = DB ² + AC ²
DA ² + AB ² + AD ² + DC ² + 2EA × AB – 2DC × FD = DB ² + AC ²
समीकरण (iv) से (vi),
BC ² + AB ² + AD ² + DC ² + 2EA × AB – 2AB × EA = DB ² + AC ²
AB ² + BC ² + CD ² + DA ² = AC ² + BD ²

7. आकृति 6.61 में एक वृत्त कि दो जीवाये AB और CD परस्पर बिंदु P पर प्रतिछेद करती हैं। सिध्य कीजिये कि
(i) ∆APC ~ DPB
(ii) AP। PB = CP। D P

हल: सबसे पहले, दी गई आकृति में CB को मिलाते हैं।
(i) APC और DPB में,
APC = DPB (लंबवत विपरीत कोण)
CAP = BDP (जीवा CB के लिए एक ही खंड में कोण)
इसलिए,
APC DPB (AA समानता मानदंड)

(ii) उपरोक्त में, हमने सिद्ध किया है कि APC DPB
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
AP/DP = PC/PB = CA/BD
AP/DP = PC/PB
∴AP। PB = PC। DP
इसलिए, साबित हुआ।

8. आकृति 6.62 में एक वृत्त कि दो जीवाये AB और CD बढ़ने पर परस्पर बिंदु P पर प्रतिछेदित करती हैं। सिध्य कीजिये कि
(i) ∆ PAC ~ PDB
(ii) PA । PB = PC। PD.

हल:
(i) PAC और ∆PDB में,
∠P = P (उभय कोण)
जैसा कि हम जानते हैं, एक चक्रीय चतुर्भुज का बहिष्कोण ∠PCA है और ∠PBD विपरीत आंतरिक कोण है, जो दोनों बराबर हैं।
PAC = PDB
इस प्रकार, PAC PDB (AA समानता मानदंड)

(ii) हम पहले ही ऊपर सिद्ध कर चुके हैं,
APC DPB
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
इसलिए,
AP/DP = PC/PB = CA/BD
AP/DP = PC/PB
AP। PB = PC। D P

9. आकृति 6.63 में त्रिभुज ABC कि भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्तिथ हैं कि BD/CD = AB/AC है। स्तिथ कीजिये कि AD, कोण BAC का समद्विभाजक हैं।

हल: दी गई आकृति में, आइए हम BA को P तक इस प्रकार विस्तारित करें कि;
AP = AC।
अब PC से जुड़ें।

दिया गया है, BD/CD = AB/AC
BD/CD = AP/AC
मूलभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम का प्रयोग करने पर, हम पाते हैं,
AD || PC
∠BAD = APC (संगत कोण) ……………….. (i)
और, DAC = ACP (वैकल्पिक आंतरिक कोण) …….… (ii)
नई आकृति से, हमारे पास है;
AP = AC
∠APC = ∠APC ………………। (iii)
समीकरणों (i), (ii), और (iii) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
ZBAD = APC
इसलिए, AD कोण BAC का समद्विभाजक है।
इसलिए सिद्ध किया।

10. नाजिमा एक नदी कि धरा में मछलियां पकड़ रही हैं। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी का सतह से 1.8 m ऊपर हैं तथा डोरी के निचले सिरे से लगा कांटा पानी के सतह पर स्तिथ बिंदु से उसकी दूरी 2.4 m हैं। यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से कांटे तक) तानी हुई हैं, उसने कितनी डोरी बाहर निकली हुई हैं (देखिये आकृति 6.64)? यदि वह डोरी को 5cm/s कि दर से अंदर खींचे, तो 12 सेकंड के बाद नाजिमा कि कांटे से श्रीतीज दूरी कितनी होगी?

हल: मान लीजिए, AB पानी की सतह से मछली पकड़ने वाली छड़ी की नोक की ऊंचाई है और BC
मछली पकड़ने वाली छड़ी की नोक से मक्खी की क्षैतिज दूरी है। अत: AC अब डोरी की लंबाई है।

AC ज्ञात करने के लिए हमें ABC में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करना होगा, यह इस प्रकार है;
AC ² = AB ² + BC ²
AB ² = (1.8 m) ² + (2.4 m) ²
AB ² = (3.24 + 5.76) m ²
AB ² = 9.00 m ²
AB = √9 m = 3 m
इस प्रकार, लंबाई स्ट्रिंग आउट का 3 m है।
जैसा दिया गया है, वह 5 cm प्रति सेकंड की दर से डोरी खींचती है।
अतः 12 सेकंड में खींची गई डोरी = 12 × 5 = 60 cm = 0.6 m

मान लीजिए अब मक्खी 12 सेकंड के बाद बिंदु D पर है।
12 सेकंड के बाद स्ट्रिंग की लंबाई AD है।
AD = AC – 12 सेकंड में नाजिमा द्वारा खींची गई स्ट्रिंग
= (3.00 – 0.6) m
= 2.4 m
ADB में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
AB ² + BD ² = AD ²
(1.8 m) ² + BD ² = (2.4 m) ²
BD ² = (5.76 – 3.24) m ² = 2.52 m ²
BD = 1.587 m
मक्खी की क्षैतिज दूरी = BD + 1.2 m
= (1.587 + 1.2) m = 2.787 m
= 2.79 m