NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6.5

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6.5

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6.5

? Chapter – 6?

✍त्रिभुज✍

? प्रश्नावली 6.5?

1. कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई है निर्धारित कीजिए कि इनमे से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज है इस स्थिति में कर्ण की लम्बाई भी लिखिए

(i) 7cm, 24 cm, 25 cm
(ii) 3cm, 8cm, 6cm
(iii) 50cm, 80cm, 100 cm
(iv) 13cm, 12cm, 5cm

हल:
(i) दिया गया है, त्रिभुज की भुजाएँ 7 cm, 24 cm और 25 cm हैं।
की भुजाओं की लंबाई का वर्ग करने पर, हमें 49, 576 और 625 प्राप्त होंगे।
49 + 576 = 625
(7)² + (24)² = (25)²
इसलिए, उपरोक्त समीकरण पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है। अत: यह समकोण त्रिभुज है।
कर्ण की लंबाई = 25 cm

(ii) दिया गया है, त्रिभुज की भुजाएँ 3 , 8 cm और 6 cm हैं।
इन भुजाओं की लंबाई का वर्ग करने पर, हमें 9, 64 और 36 प्राप्त होंगे।
स्पष्ट रूप से, 9 + 36 ≠ 64
या, 3 ²  + 6 ²  ≠ 8 ²
इसलिए, दो भुजाओं की लंबाई के वर्गों का योग बराबर नहीं होता है। कर्ण की लंबाई के वर्ग तक।
अत: दिया गया त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट नहीं करता है।

(iii) दिया गया है, त्रिभुज की भुजाएँ 50 सेमी, 80 cm और 100 cm हैं।
इन भुजाओं की लंबाई का वर्ग करने पर हमें 2500, 6400 और 10000 प्राप्त होंगे।
हालाँकि, 2500 + 6400 10000
या, 50 ²  + 80 ²  ≠ 100 ²
जैसा कि आप देख सकते हैं, दो भुजाओं की लंबाई के वर्गों का योग तीसरी भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर नहीं है।
अत: दिया गया त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट नहीं करता है।
अत: यह एक समकोण त्रिभुज नहीं है।

(iv) दिया गया है, भुजाएँ 13 cm, 12 cm और 5 cm हैं।
इन भुजाओं की लंबाई का वर्ग करने पर हमें 169, 144 और 25 प्राप्त होंगे।
इस प्रकार, 144 +25 = 169
या, 12 ²  + 5 ²  = 13 ²
दिए गए त्रिभुज की भुजाएँ पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करती हैं।
अतः यह एक समकोण त्रिभुज है।
अत: इस त्रिभुज के कर्ण की लंबाई 13 cm है।

2. PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि PM⊥QR है । दर्शाइए कि PM² = QM.MR  है ।

हल: दिया गया है, PQR, P पर समकोण है, QR पर एक ऐसा बिंदु है कि PM QR

हमें सिद्ध करना है, PM ²  = QM × MR
ΔPQM में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
PQ ²  = PM ²  + QM ²
या, PM ²  = PQ ²  – QM ²  ………………………………….. (i )
ΔPMR में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
PR ²  = PM ²  + MR ²
या, PM ²  = PR ²  – MR ²  …………………………………….. (ii)
समीकरण जोड़ना, (i ) ) और (ii), हम प्राप्त करते हैं,
2PM ²  = (PQ ²  + PM ² ) – (QM ²  + MR ² )
= QR ²  – QM ²  – MR ²         [∴ QR ²  = PQ ²  + PR ² ]
= (QM + MR) ²  – QM ²  – MR ²
= 2QM × MR
∴ PM ²  = QM × MR

3. आकृति 6 . 53 में ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है तथा AC⊥BD है। दर्शाइए कि
(i) AB ²  = BC × BD
(ii) AC ²  = BC × DC
(iii) AD ²  = BD × CD

हल:
(i) ADB और ΔCAB में,
DAB = ACB (प्रत्येक 90°)
ABD = CBA (उभय कोण)
ADB ~ CAB [AA समरूपता मानदंड]
AB/CB = BD/AB
⇒ AB² = CB × BD

(ii) माना CAB = x
CBA में,
CBA = 180° – 90° – x
CBA = 90° – x
इसी प्रकार, CAD में
CAD = 90° – ∠CBA
= 90° – x
∠CDA = 180° – 90° – (90° – x)
∠CDA = x
CBA और ΔCAD में, हमारे पास
CBA = ∠CAD
∠CAB = ∠CDA
∠ACB = ∠DCA (प्रत्येक 90°)
CBA ~ CAD [AAA समानता मानदंड]
⇒ AC/DC = BC/AC
⇒ AC ²  = DC × BC

(iii) ΔDCA और ΔDAB में,
DCA = DAB (प्रत्येक 90°)
∠CDA = ADB (उभय कोण)
DCA ~ DAB [AA समरूपता मानदंड]
DC/DA = DA/DA
⇒ AC ²  = DC × ईसा पूर्व

4. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण c समकोण है। सिद्ध कीजिए कि AB² =  2AC ²  है।

हल: दिया गया है, ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसका कोणC

ΔACB में, C = 90°
AC = BC (समद्विबाहु त्रिभुज गुण द्वारा)
AB ²  = AC ²  + BC ²  [पाइथागोरस प्रमेय द्वारा]
= AC ²  + AC ²  [चूंकि, AC = BC]
AB ²  = 2AC ²

5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें  AC = BC है। यदि AB ²  = 2AC ² है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।

हल: दिया गया है, ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC और AB² = 2AC²

ACB में,
AC = BC
AB ²  = 2AC ²
AB ²  = AC ²  + AC ²
= AC ²  + BC ²  [चूंकि, AC = BC]
इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार ABC समकोण त्रिभुज है।

6. एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल: दिया गया है, ABC भुजा 2a का एक समबाहु त्रिभुज है।

ADB
और ADC में,
AB = AC
AD = AD
ADB = ADC [दोनों 90° हैं]
इसलिए, RHS सर्वांगसमता से ADB ADC खींचिए।
इसलिए, BD = DC [CPCT द्वारा]
समकोण ADB में,
AB ²  = AD ²  + BD ²
(2 a ) ²  = AD ²  +  a ² 
AD ^{2 =}  4 a ²  –  a ²
AD ^{2 =}  3 a ²
AD = √3a

7. सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के योग के बराबर होता है।

हल: दिया गया है, ABCD एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC और BD, O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

हमें प्रश्न के अनुसार सिद्ध करना है कि
AB ²  + BC ²  + CD ²  + AD ²  = AC ²  + BD ²
क्योंकि समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए, AO = CO और BO = DO
, AOB में,
AOB = 90°
AB ²  = AO ²  + BO ²  ……………………..  (i)  [पाइथागोरस प्रमेय द्वारा]
इसी प्रकार,
AD ²  = AO ²  + DO ²  ……………………..  (ii)
DC ²  = DO ²  + CO ²  …………………….. (iii)
BC ²  = CO ²  + BO ²  ……………………..  (iv)
समीकरणों को जोड़ने पर (i) + (ii) + (iii) + (iv), हम प्राप्त करते हैं,
AB ²  + AD ²  +  DC ²  +  BC ²  = 2 (AO ²  + BO ²  + DO ²  + CO ² )
= 4AO ²  + 4BO ²  [चूंकि, AO = CO और BO =DO]
= (2AO) ²  + (2BO) ²  = AC ²  + BD ²
AB ²  + AD ²  +  DC ² +  BC ²  = AC ²  + BD ²
अत: सिद्ध हुआ।

8. आकृति 6 . 54 में ΔABC के अभ्यन्तर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD⊥BC,OE⊥AC और OF⊥AB है दर्शाइए कि

(i) OA ²  + OB ²  + OC ²  – OD ²  – OE ²  – OF ²  = AF ²  + BD ²  + CE ²  ,
(ii) AF ²  + BD ²  + CE ²  = AE ²  + CD ²  + बीएफ ² ।

हल: दिया गया है, ABC में, O एक त्रिभुज के अभ्यंतर में एक बिंदु है।
और OD ⊥ BC, OE AC और OF AB।
OA, OB और OC को मिलाइए

 ( i ⁾ AOF में पाइथागोरस प्रमेय ^के  अनुसार , हमारे  पास
OA ²  =  OF ²  +  AF ^{2 है । _ _ _} OB ²  + OC ²  = OF ²  + AF ²  + OD ²  + BD ²  + OE ²  + EC ² OA ²  + OB ²  + OC ²  – OD ²  – OE

²  – OF ²  = AF ²  + BD ²  + CE ² ।

(ii) AF ²  + BD ²  + EC ²  = (OA ²  – OE ² ) + (OC ²  – OD ² ) + (OB ²  – OF ² )
AF ²  + BD ²  + CE ²  = AE ²  + CD ²  + BF ² ।

9. 10 m लंबी एक सीढी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8 m की उँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुँचती है। दीवार के आधार से सीढी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: दिया गया है, 10 मीटर लंबी एक सीढ़ी जमीन से 8 मीटर ऊपर एक खिड़की तक पहुँचती है।

माना BA दीवार है और AC सीढ़ी है,
इसलिए पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
AC ²  =  AB ²  + BC ²
10 ²  = 8 ²  + BC ²
BC ²  = 100 – 64
BC ²  = 36
BC = 6m
इसलिए, दूरी दीवार के आधार से सीढ़ी का पाद 6 मीटर है।

10.एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 km/hr की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अण्डे से पश्चिम की ओर 1200 k/hr की चाल से उड़ता है। 1 1/2 घण्टे बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी ?

हल: दिया गया है, 18 मीटर ऊंचाई के एक ऊर्ध्वाधर खंभे से जुड़ा एक पुरुष तार 24 m लंबा है और दूसरे छोर से जुड़ा हुआ है।

मान लीजिए AB ध्रुव है और AC तार है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
AC ²  =  AB ²  + BC ²
24 ²  = 18 ²  + BC ²
BC ²  = 576 – 324
BC ²  = 252
BC = 6√7m
इसलिए, आधार से दूरी 6√7m है।

11. एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से निकलता है और 1,000 किमी प्रति घंटे की गति से उत्तर की ओर उड़ता है। उसी समय, एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे को छोड़ देता है और पश्चिम की ओर 1,200 किमी प्रति घंटे की गति से उड़ान भरता है। बाद में दोनों विमान कितनी दूर होंगे

  घंटे?
हल: दिया गया है,
पहले हवाई जहाज की गति = 1000 किमी/घंटा
उत्तर दिशा में उड़ान भरने वाले पहले हवाई जहाज द्वारा तय की गई दूरी

  घंटे (OA) = 1000 × 3/2 किमी = 1500 किमी
दूसरे हवाई जहाज की गति = 1200 किमी/घंटा
पश्चिम में उड़ान भरने वाले दूसरे हवाई जहाज द्वारा तय की गई दूरी

  घंटे (OB) = 1200 × 3/2 किमी = 1800 किमी

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा समकोण ΔAOB में,
AB ²  =  AO ²  + OB ²
AB ²  =  (1500) ²  + (1800) ²
AB = √ (2250000 + 3240000)
= √5490000
AB = 300√61 किमी
इसलिए , दो हवाई जहाजों के बीच की दूरी 300√61 किमी होगी।

12. दो खंभे जिनकी ऊँचाइयाँ 6 m और 11 m हैं तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके ऊपरी सिरों के बीच की  दूरी 12 m है तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: दिया गया है, 6 m और 11 m ऊँचाई वाले दो खम्भे एक समतल भूमि पर खड़े हैं।
और डंडे के पैरों के बीच की दूरी 12m है।

मान लीजिए AB और CD 6 मी और 11 m ऊँचाई के खम्भे हैं।
इसलिए, CP = 11 – 6 = 5m
आकृति से, यह देखा जा सकता है कि AP = 12m
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा ΔAPC के लिए, हम प्राप्त करते हैं,
AP ²  =  PC ²  + AC ²
(12m) ²  + (5m) ²  = (AC ) ²
AC ²  = (144+25) M ²  = 169 M ²
AC = 13 m
इसलिए, उनके शीर्ष के बीच की दूरी 13 m है।

13. एक त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है , कि भुजाओं CA और CB पर क्रमश: बिंदु D और E स्थित है। सिद्ध कीजिए कि AE ²  + BD ²  = AB ²  + DE ² है।

हल: दिया गया है, D और E त्रिभुज ABC की भुजाओं CA और CB पर क्रमशः C पर समकोण पर स्थित बिंदु हैं।

ACE में पाइथागोरस प्रमेय से, हमें
AC ²  +  CE ²  = AE ²  ………………………………….. प्राप्त होता है। (i)
BCD में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, हम प्राप्त करते हैं
BC ²  +  CD ²  = BD ²  ………………………….. (ii)
समीकरणों (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं,
AC ²  +  CE ²  + BC ²  +  CD ²  = AE ²  + BD ²  …………….. (iii)
CDE में, पाइथागोरस प्रमेय से, हम प्राप्त करते हैं
DE ²  =  CD ²  + CE ²
ABC में, पाइथागोरस प्रमेय से, हम प्राप्त करते हैं
AB ²  =  AC ²  + CB ²
उपरोक्त दो मानों को समीकरण (iii) में रखने पर, हमें
DE ²  + AB ²  = AE ²  + BD ² प्राप्त होता है।

14. किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लम्ब BC को बिंदु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेदित करता है कि DB=3CD है ( देखिए आकृति )6.55 ) । सिद्ध कीजिए कि 2AB ²  = 2AC ²  + BC ² है।

हल: दिया गया है, ABC की भुजा BC पर A से लम्ब BC को D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि;
DB = 3CD।
ABC में,
AD BC और BD = 3CD समकोण
त्रिभुज में, ADB और ADC, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
AB² = AD² + BD² ………………………। (i)
AC² = AD² + DC² ……………………………..(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) से घटाने पर, हमें
AB² – AC² = BD² – DC²
= 9CD² – CD² [चूंकि, BD = 3CD]
= 8CD ²
= 8(BC/4) ²  [चूंकि, BC = DB + CD = 3CD + CD = 4CD]
इसलिए, AB ²  – AC ²  = BC ² /2
⇒ 2 (AB ²  – AC ² ) = BC ²
⇒ 2AB ²  – 2AC ²  = BC ²
2AB ²  = 2AC ²  + BC ² ।

15. किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि BD = 1/3 BC है। सिद्ध कीजिए कि 9AD²  = 7 AB² है।

हल: दिया गया है, ABC एक समबाहु त्रिभुज है।
और D, BC पर एक बिंदु इस प्रकार है कि BD = 1/3BC

माना समबाहु त्रिभुज की भुजा a है, और AE ABC की ऊंचाई है।
BE = EC = BC/2 = a/2
और, AE = a√3/2
दिया गया है, BD = 1/3BC
∴ BD = a/3
DE = BE – BD = a/2 – a/3 = a/ 6
ADE में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
AD ²  = AE ²  + DE ² 

^{9 AD2 = 7 AB2}

16. किसी समबाहु त्रिभुज में , सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलंब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।

हल: दिया गया है, एक समबाहु त्रिभुज मान लीजिए ABC,

माना समबाहु त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई a है, और AE ABC की ऊंचाई है।
BE = EC = BC/2 = a/2
ABE में, पाइथागोरस प्रमेय से, हमें
AB ²  = AE ²  + BE ^{2 प्राप्त होता है।}