NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6.4

June 8, 2022

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6.4

Textbook	NCERT
Class	Class 10th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	Chapter – 6
Chapter Name	त्रिभुज (Triangles)
Mathematics	Class 10th गणित Question & Answer
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6.4

? Chapter – 6?

✍त्रिभुज✍

? प्रश्नावली 6.4?

1. मान लीजिए ΔABC ~ ΔDEF है और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64cm²और 121 cm² हैं | यदि EF = 15.4 cm²हो, तो BC ज्ञात कीजिए |

हल: दिया गया है, ABC ~ DEF, ABC
का क्षेत्रफल = 64 cm²
DEF का क्षेत्रफल = 121 cm²
EF = 15.4 cm

जैसा कि हम जानते हैं, यदि दो त्रिभुज समरूप हैं, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर है,
= AC ² /DF ² = BC ² / EF ²
∴ 64/121 = BC ² /EF ²
(8/11) ² = (BC/15.4) ²
8/11 = BC/15.4
⇒ BC = 8×15.4/11
⇒ BC = 8 × 1.4
⇒ BC = 11.2 BC

2. एक समलंब ABCD जिसमें AB || DC हैं, के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं | यदि AB = 2 CD हो तो ΔAOB और ΔCOD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए|

हल: दिया गया है, ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || DC. विकर्ण AC और BD एक दूसरे को बिंदु O पर काटते हैं।

AOB और COD में, हमारे पास
∠1 = ∠2 (वैकल्पिक कोण)
3 = ∠4 (वैकल्पिक कोण)
∠5 = ∠6 (लंबवत विपरीत कोण)
AOB ~ COD [AAA समानता मानदंड]
जैसा कि हम जानते हैं, यदि दो त्रिभुज समरूप होते हैं तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इसलिए,
(ΔAOB)/(ΔCOD) का क्षेत्रफल = AB ² /CD ²
= 4CD ² /CD ² = 4/1
(ΔAOB) का क्षेत्रफल/(ΔCOD) का क्षेत्रफल
= 4CD2/CD2 = 4/1
इसलिए , AOB और COD के क्षेत्रफल का अभीष्ट अनुपात = 4:1

3. आकृति 6.44 में एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC और DBC बने हुए हैं| यदि AD,BC कोप O पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए की ar(ABC) /ar(DBC) = AO/DO है|

हल: दिया गया है, ABC और DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो त्रिभुज हैं। AD, BC को O पर प्रतिच्छेद करता है।
हमें सिद्ध करना है: क्षेत्रफल (ΔABC)/क्षेत्रफल (ΔDBC) = AO/DO
आइए रेखा BC पर दो लंबवत AP और DM खींचते हैं।

हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

APO और ΔDMO में,
APO = DMO (प्रत्येक 90°)
∠AOP = DOM (लंबवत विपरीत कोण)
APO ~ DMO (AA समानता मानदंड)
AP/DM = AO/DO
⇒ क्षेत्र (ΔABC)/क्षेत्र ( DBC) = AO/DO.

4. यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हो तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वांगसम होते है

हल: मान लीजिए ABC और PQR दो समरूप त्रिभुज हैं और क्षेत्रफल में बराबर हैं

आइए अब हम ABC PQR सिद्ध करें।
चूँकि, ABC ~ PQR
(ΔABC) का क्षेत्रफल/(ΔPQR) का क्षेत्रफल = BC ² /QR ²
BC ² /QR ² =1 [चूंकि, क्षेत्रफल (ΔABC) = (ΔPQR)
⇒ BC ² /QR ²
⇒ BC = QR
इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि
AB = PQ और AC = PR
इस प्रकार, ABC PQR [सर्वांगसमता की SSS कसौटी]

5. एक त्रिभुज ABC कि भुजाओ AB, BC और CA के मध्य-बिंदु क्रमशः D,E और F है ΔDEF और ΔABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए

हल:

D, E, और F ABC DE || . के मध्य

-

बिंदु

हैं

AC और

DE = (1/2) AC (मध्य बिंदु प्रमेय) \dots. (1)

BED

और ΔBCA

BED

=

BCA

(संगत कोण)

BDE

= BAC (संगत कोण) EBD =

∠CBA

(

उभय

कोण

)

BED

BCA

(

AAA

समरूपता

मानदंड)

ar (

ΔBED

) / ar (

BCA)

=(

D

{E/}

A

{C)}

^{2 ar ( BED)}

/

ar (

BCA)

= (

1/4 )

[से (1)]

ar

(BED) = (1/4 ) ar (ΔBCA)

इसी प्रकार,

ar (ΔCFE) =

(

1/4

)

ar (

C

B

A)

और ar (

ADF) = ( 1/4) ar (ADF) = ( 1/4) ar (ABC)

साथ ही,

ar (

ΔDEF

)

=

ar (

ABC)

-

[ar (

BED)

+ ar (

CFE)

+ ar (

ADF)

]

ar ( DEF)

= ar

(

ABC)

- (

3/4

) ar

(

ABC)

= (

1/

4)

a

r (

ΔABC)

ar (\frac{ΔDEF) /}{a r (ΔABC)} = (\frac{1/4}{)}

6. सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओ के अनुपात का वर्ग होता है

हल: दिया गया है: AM और DN क्रमशः त्रिभुज ABC और DEF की माध्यिकाएँ हैं और ABC ~ DEF।

हमें सिद्ध करना है: क्षेत्रफल (ΔABC)/क्षेत्रफल (ΔDEF) = AM ² /DN ²
चूँकि, ABC ~ DEF (दिया गया है)
क्षेत्रफल (ΔABC)/क्षेत्र (ΔDEF) = (AB ² /DE ² ) …… ………………………… (i)
और, AB/DE = BC/EF = CA/FD ………………………………………(ii)

ABM और DEN में,
चूँकि ABC ~ DEF
∴ B = E
AB/DE = BM/EN [पहले से ही समीकरण (i) में सिद्ध है]
ABC ~ DEF [SAS समानता मानदंड]
AB/DE = AM/DN …… ……………………………………………..(iii)
ABM ~ DEN
चूँकि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के समानुपाती होते हैं।
क्षेत्र(ΔABC)/क्षेत्रफल(ΔDEF) = AB ² /DE ² = AM ² /DN ²
इसलिए, सिद्ध हुआ।

7. सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है

हल:

दिया गया है, ABCD एक वर्ग है जिसका एक विकर्ण AC है। APC और BQC वर्ग ABCD के विकर्णों AC और भुजा BC पर वर्णित दो समबाहु त्रिभुज हैं।
क्षेत्र (ΔBQC) = ½ क्षेत्र (ΔAPC)
चूंकि, ΔAPC और ΔBQC दोनों समबाहु त्रिभुज हैं, दिए गए अनुसार,
APC ~ BQC [AAA समानता मानदंड]
क्षेत्र (ΔAPC)/क्षेत्र (ΔBQC) = (AC ² /BC ² ) = AC ² /BC ²
चूँकि विकर्ण = √2 भुजा = √2 BC = AC

क्षेत्र (ΔAPC) = 2 × क्षेत्र (ΔBQC)
⇒ क्षेत्र (ΔBQC) = 1/2 क्षेत्र (ΔAPC)
इसलिए, सिद्ध।
सही उत्तर पर निशान लगाएँ और औचित्य सिद्ध करें:

8. $A B C$ और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार है कि $D$ भुजा $B C$ का मध्य-बिंदु है त्रिभुजों $A B C$ और $B D E$ के क्षेत्रफलों का अनुपात है

(A) 2: 1
(B) 1: 2
(C) 4: 1
(D) 1: 4

हल: दिया, ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज हैं। D, BC का मध्यबिंदु है।

BD = DC = 1/2BC
माना त्रिभुज की प्रत्येक भुजा 2a है।
जैसे, ABC ~ BDE
∴ क्षेत्रफल(ΔABC)/क्षेत्र(ΔBDE) = AB ² /BD ² = (2 a ) ² /( a ) ² = 4 a ² / a ² = 4/1 = 4:1
इसलिए, सही उत्तर है (C)।

9. दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ $4 : 9$ के अनुपात में है इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है
(A) 2:3
(B) 4:9
(C) 81:16
(D) 16:81

हल: दिया गया है, दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4:9 के अनुपात में हैं।

मान लीजिए ABC और DEF दो समरूप त्रिभुज हैं, जैसे
ABC ~ DEF
और AB/DE = AC/DF = BC/EF = 4/9
क्योंकि इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात अनुपात के वर्ग के बराबर होगा। क्षेत्रफल( ΔABC
)/क्षेत्र(ΔDEF) = AB ² /DE ²
क्षेत्र(ΔABC)/क्षेत्र(ΔDEF) = (4/9) ² = 16/81 = 16:81
इसलिए, सही उत्तर है (D)।