NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 5 समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progressions) प्रश्नावली 5.3
| Textbook | NCERT |
| Class | Class 10th |
| Subject | (गणित) Mathematics |
| Chapter | Chapter – 5 |
| Chapter Name | समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progressions) |
| Mathematics | Class 10th गणित Question & Answer |
| Medium | Hindi |
| Source | Last Doubt |
NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 5 समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progressions) प्रश्नावली 5.3
? Chapter – 5?
✍समान्तर श्रेढ़ी✍
? प्रश्नावली 5.3?
1. निम्लिखित समान्तर श्रेढियों का योग ज्ञात कीजिये :
(i) 2, 7, 12,…., से 10 पदों तक
(ii) – 37, − 33, − 29 ,…, 12 पदों तक
(iii) 0.6, 1.7, 2.8 ,…….., 100 पदों तक
(iv) 1/15, 1/12, 1/10,… … , 11 पदों तक
हल: (i) दिया गया है, 2, 7, 12,…, से 10 पदों तक
इस AP के लिए,
पहला पद, a = 2
और सार्व अंतर, d = a2 – a1 = 7−2 = 5
n = 10
हम जानते हैं कि, AP श्रृंखला में nवें पद के योग का सूत्र है,
Sn = n/2 [2a +(n-1)d]
S10 = 10/2 [2(2)+(10 -1)×5]
= 5[4+(9)×(5)]
= 5 × 49 = 245
(ii) दिया गया है, −37, −33, −29 ,…, से 12 पदों तक
इस AP के लिए,
पहला पद, a = −37
और सार्व अंतर, d = a 2 – a 1
d = (−33)−(- 37)
= − 33 + 37 = 4
n = 12
हम जानते हैं कि, AP श्रृंखला में nवें पद के योग का सूत्र है,
S n = n/2 [2a+(n-1)d]
S 12 = 12/2 [ 2(-37)+(12-1)×4]
= 6[-74+11×4]
= 6[-74+44]
= 6(-30) = -180
(iii) दिया गया है, 0.6, 1.7, 2.8,…, से 100 पदों
के लिए इस AP के लिए,
पहला पद, a = 0.6
सामान्य अंतर, d = a 2 – a 1 = 1.7 – 0.6 = 1.1
n = 100
हम जानते हैं कि, AP श्रृंखला में nवें पद के योग का सूत्र है,
S n = n/2[2a +(n-1)d]
S 12 = 50/2 [1.2+(99)×1.1]
= 50 [1.2+108.9]
= 50 [110.1]
= 5505
(iv) दिया गया है, 1/15, 1/12, 1/10, …… , से 11 पदों तक
इस AP के लिए,
पहला पद, a = 1/5
सामान्य अंतर, d = a 2 – a 1 = (1/12 )-(1/5) = 1/60
और पदों की संख्या n = 11
हम जानते हैं कि, AP श्रृंखला में nवें पद के योग का सूत्र है,
s n = n /2 [2n + (n -1) d ]
= 11/2(2/15 + 10/60)
= 11/2 (9/30)
= 33/20
2. नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिये :
(ii) 34 + 32 + 30 + .. + 10
(iii) – 5 + (- 8) + (- 11) + ………… + (- 230)
हल: (i) दिए गए के लिए
पहला पद, a = 7
n वां पद, a n = 84
मान लीजिए 84 इस AP का n वाँ पद है, तो nवें पद के सूत्र के अनुसार,
a n = a(n-1)d
84 = 7+(n – 1)×7/2
77 = (n-1)×7 /2
22 = n−1
n = 23 हम जानते हैं कि n पदों का योग है;
s n = n/2 (a + l), l = 84
s n = 23/2 (7+84)
sn = (23×91/2) = 2093/2
s n = 1046 ½
(ii) दिया गया है, 34 + 32 + 30 + ……… .. + 10
इस ap के लिए,
पहला पद, a = 34
सामान्य अंतर, d = a 2 – a 1 = 32−34 = −2
n वां पद, a n = 10
मान लीजिए कि 10 इस AP का nवाँ पद है, इसलिए a n = a +(n−1)d
10 = 34+(n−1)(−2)
−24 = (n −1)(−2 )
12 = n −1
n = 13
हम जानते हैं कि n पदों का योग है;
s n = n/2 (a+ l), l = 10
= 13/2 (34 + 10)
= (13×44/2) = 13 × 22
= 286
(iii) दिया गया है, (−5) + (−8) + (−11) + …………… + (−230)
इस AP के लिए,
प्रथम पद, a = −5
nवाँ पद, a n = −230
सामान्य अंतर d = a 2 − a 1 = (−8)−(−5)
⇒ d = − 8+5 = −3
माना −230 इस AP का nवाँ पद है, और n वें पद के सूत्र से हम जानते हैं,
a n = a +( n −1) d
−230 = − 5+(n−1)(−3)
−225 = (n−1)(−3)
(n−1) = 75
n = 76
और, का योग n पद,
S n = n /2 ( a + l )
= 76/2 [(-5) + (-230)]
= 38(-235)
= -8930
3. एक A.P. में,
(i) a = 5, d = 3, a n = 50 दिया गया है, n और S n ज्ञात कीजिए ।
(ii) a = 7, a 13 = 35 दिया गया है , d और S 13 ज्ञात कीजिए ।
(iii) a 12 = 37, d = 3 दिया गया है , a और S 12 खोजें ।
(iv) a 3 = 15, S 10 = 125 दिया गया है , d और a 10 खोजें ।
(v) d = 5, S 9 = 75 दिया गया है , a और a 9 ज्ञात कीजिए ।
(vi) a = 2, d = 8, S n = 90 दिया गया है, n और a n ज्ञात कीजिए ।
(vii) a = 8, a n = 62, S n = 210 दिया गया है , n और d ज्ञात कीजिए ।
(viii) a n = 4, d = 2, S n = – 14 दिया गया है, n और a ज्ञात कीजिए ।
(ix) a = 3, n = 8, S = 192 दिया गया है, d ज्ञात कीजिए ।
(x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद में हैं a ज्ञात कीजिए ।
हल: (i) दिया गया है कि, a = 5, d = 3, a = 50
जैसा कि हम जानते हैं, AP में nवें पद के सूत्र से,
a n = a +(n −1)d,
इसलिए, दिए गए मान, हम प्राप्त करते हैं,
50 = 5+(n -1)×3
⇒ 3(n -1) = 45
⇒ n -1 = 15
⇒ n = 16
अब, n पदों का योग,
S n = n/2 (a+a n )
s n = 16/2 (5 + 50) = 440
(ii) दिया गया है कि, a = 7, a13 = 35
जैसा कि हम जानते हैं, एक AP में nवें पद के सूत्र से,
a n = a+(n−1)d, इसलिए, दिए गए मानों
को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,
35 = 7+(13-1)d
⇒ 12d = 28
⇒ d = 28/12 = 2.33
अब, S n = n /2 ( a + a n )
(iii) दिया गया है कि, a 12 = 37, d = 3
जैसा कि हम जानते हैं, एक AP में nवें पद के सूत्र से,
a n = a+(n −1)d,
इसलिए, दिए गए मानों को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,
⇒ a 12 = a+(12−1)3
⇒ 37 = a+33
⇒ a = 4
अब, nवें पद का योग,
S n = n/2 (a+an)
S n = 12/2 (4+37)
= 246
(iv) दिया गया है कि, a 3 = 15, S 10 = 125
जैसा कि हम जानते हैं, एक AP में nवें पद के सूत्र से,
a n = a +( n −1) d ,
इसलिए, दिए गए मानों को रखने पर, हम प्राप्त करें,
a 3 = a +(3−1) d
15 = a+2d ………………………….. (i)
nवें पद का योग,
S n = n/2 [2a+(n- 1)d]
S 10 = 10/2 [2a+(10-1)d]
125 = 5(2a+9d)
25 = 2a+9d ……………………….. (ii)
समीकरण को गुणा करने पर ( i) द्वारा (ii), हम प्राप्त करेंगे;
30 = 2a+4d ………………………। (iii)
समीकरण (iii) को (ii) से घटाने पर,
−5 = 5d
d = −1
समीकरण (i) से,
15 = a+2(−1)
15 = a−2
a = 17 = प्रथम पद
a 10 प्राप्त होता है। = a +(10−1) d
a 10 = 17+(9)(−1)
a 10 = 17−9 = 8
(v) दिया गया है कि, d = 5, S9 = 75
क्योंकि, AP में n पदों का योग है,
S n = n /2 [2 a +( n -1) d ]
इसलिए, पहले नौ पदों का योग है;
S 9 = 9/2 [2a +(9-1)5]25 = 3(a+20)
25 = 3a+60
3a = 25−60
a = -35/3
जैसा कि हम जानते हैं, nवां पद लिखा जा सकता है जैसा;
a n = a+(n−1)d
a 9 = a+(9−1)(5)
= -35/3+8(5)
= -35/3+40
= (35+120/3) = 85/ 3
(vi) दिया गया है कि, a = 2, d = 8, S n = 90
जैसा कि एक AP में n पदों का योग है,
S n = n /2 [2 a +( n -1) d ]
90 = n/ 2 [2a +(n -1)d]
⇒ 180 = n(4+8n -8) = n(8n-4) = 8n 2 -4n
⇒ 8 n 2 -4 n – 180 = 0
⇒ 2 n 2 – n -45 = 0
2n 2 -10n+9n-45 = 0
2n(n -5)+9(n -5) = 0
⇒ (n-5)(2n+9) = 0
तो, n = 5 (क्योंकि n केवल एक धनात्मक पूर्णांक हो)
a 5 = 8+5×4 = 34
(vii) दिया गया है कि, a = 8, a n = 62, S n = 210
क्योंकि AP में n पदों का योग है,
S n = n /2 ( a + a n )
210 = n/2 (8 + 62)
35n = 210
⇒ n = 210/35 = 6
अब, 62 = 8+5d
⇒ 5d = 62-8 = 54
⇒ d = 54/5 = 10.8
(viii) दिया गया है कि, nवाँ पद, a = 4, सार्व अंतर, d = 2, n पदों का योग, Sn = -14
जैसा कि हम जानते हैं, AP में nवें पद के सूत्र से,
a n = a +( n −1) d ,
इसलिए, दिए गए मानों को रखने पर, हमें प्राप्त होता है,
4 = a+(n −1)2
4 = a+ 2n−2
a+2n = 6
a = 6 – 2n …………………………………। (i)
जैसा कि हम जानते हैं, n पदों का योग है;
S n = n /2 ( a + a n )
-14 = n/2 (a+4)
−28 = n (a+4)
−28 = n (6 −2n +4) {समीकरण (i) से}
−28 = n (− 2n +10)
−28 = − 2 n 2+10 n
2 n 2 −10 n − 28 = 0
n 2 −5 n −14 = 0
n 2 −7n+2n −14 = 0
n (n−7)+2(n −7) = 0
(n − 7)(n +2) = 0
या तो n – 7 = 0 या n + 2 = 0
n = 7 या n = -2
हालाँकि, n न तो ऋणात्मक हो सकता है और न ही भिन्नात्मक।
इसलिए, n = 7
समीकरण (i) से, हमें
a = 6−2n
a = 6−2(7)
= 6−14
−8 प्राप्त होता है।
(ix) दिया गया है कि, पहला पद, a = 3,
पदों की संख्या, n = 8
और n पदों का योग, S = 192
जैसा कि हम जानते हैं,
S n = n /2 [2 a +( n -1) d ]
192 = 8/2 [2×3+(8 -1)d]
192 = 4[6 +7d]
48 = 6+7d
42 = 7d
d = 6
(x) दिया गया है, l = 28,S = 144 और कुल 9 पद हैं।
n पदों का योग सूत्र,
S n = n/2 (a + l)
44 = 9/2(a+28)
(16)×(2) = a+28
32 = a+28
a = 4
4. 636 योग प्राप्त करने के लिए, A.P.: 9, 17, 25,…. के कितने पद लेने चाहिए ?
हल : माना AP के n पद हैं। 9, 17, 25 …
इस AP के लिए,
पहला पद, a = 9
सार्व अंतर, d = a2−a1 = 17−9 = 8
जैसा कि n पदों का योग है;
s n = n / 2 [2 a+(n -1)d ]
636 = n / 2 [2×a+(8-1)×8]
636 = n / 2 [18+(n-1)×8]
636 = n [9 +4n −4]
636 = n (4n +5)
4n2 +5n −636 = 0
4n2 +53n −48n −636 = 0
n (4n + 53)−12 ( 4n + 53) = 0
(4n +53)(n -12) = 0
या तो 4n+53 = 0 या n−12 = 0
n = (-53/4) या n = 12
n ऋणात्मक या भिन्न नहीं हो सकता, इसलिए, केवल n = 12।
5. किसी A.P. का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है । पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए ।
हल: दिया है कि,
पहला पद, a = 5
अंतिम पद, l = 45
AP का योग,S n = 400
जैसा कि हम जानते हैं, AP सूत्र का योग है;
S n = n/2 (a+l)
400 = n/2(5+45)
400 = n/2(50)
पदों की संख्या, n =16
जैसा कि हम जानते हैं, AP श्रृंखला का अंतिम पद इस प्रकार लिखा जा सकता है ;
l = a+(n −1)d
45 = 5 +(16 −1)d
40 = 15d
सामान्य अंतर, d = 40/15 = 8/3
6. किसी A.P. के प्रथम और अंतिम पद क्रमश : 17 और 350 है । यदि सार्व अंतर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या हैं?
हल: दिया है कि,
पहला पद, a = 17
अंतिम पद, l = 350
सामान्य अंतर, d = 9
मान लीजिए कि AP में n पद हैं, इस प्रकार अंतिम पद का सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है;
l = a+(n −1)d
350 = 17+(n −1)9
333 = (n−1)9
(n−1) = 37
n = 38
S n = n/2 (a+l)
S 38 = 38/2 (17+350)
= 19×367
= 6973
इस प्रकार, इस AP में 38 पद हैं और इस AP के पदों का योग 6973 है।
7. उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमे d= 7 हैं और 22 वां पद 149 हैं ।
हल: दिया गया सार्व अंतर, d = 7
22 वाँ पद, a 22 = 149 प्रथम 22 पदों का
योग, S 22 = ?
nवें पद के सूत्र द्वारा,
a n = a +( n −1) d
a 22 = a +(22−1) d
149 = a+21×7
149 = a+147
a = 2 =
n का प्रथम पद योग शब्द,
s n = n / 2( a + a n )
s 22 = 22/2 (2+149)
= 11×151
= 1661
8. उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमश : 14 और 18 हैं ।
हल: दिया गया है, दूसरा पद, a2 = 14
तीसरा पद, a3 = 18
सामान्य अंतर,d = a3–a2 = 18−14 = 4
a2 = a+d
14 = a+4
a = 10 =प्रथम पद
योग;
s n = n / 2 [2a + (n -1)d ]
s 51 = 51/2 [2×10 (51-1) 4]
= 51/2 [20+(50)×4]
= 51 × 220/2
= 51 × 110
= 5610
9. यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 हैं और प्रथम 17 पदों का योग 289 हैं, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिये ।
हल: दिया गया है कि,
S7 = 49
S17 = 289
हम जानते हैं, n पदों का योग;
s n = n / 2 [2a+ (n -1)d ]
इसलिए,
s 7 = 2a + (n-1)d ]
s 7 = 7/2 [2a+ (7 -1) )d ]
49 = 7/2 [2a +6d]
7 = (a+3d)
a + 3d = 7 …………………………………। (i)
इसी तरह,
S 17 = 17/2 [2a+(17-1)d ]
289 = 17/2 (2a +16d)
17 = (a+8d)
a +8d = 17 ………………………। (ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) से घटाना,
5d = 10
d = 2
समीकरण (i) से, हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं;
a+3(2) = 7
a+ 6 = 7
a = 1
इसलिए,
S n = n /2[2 a +( n -1) d ]
= n/2[2(1)+(n-1)× 2]
= n/2(2+2n-2)
= n/2(2n)
= n 2
10.दर्शाइए की a 1 , a 2 …, a n , … से एक A.P. बनती हैं, यदि a n नीचे दिए अनुसार परिभाषित हैं :
(i) a n = 3+4 n
(ii) a n = 9−5 n
प्रत्येक स्थिति में प्रथम 15 पदों का योग भी ज्ञात कीजिए।
हल: (i)a n = 3+4n
a1 = 3+4(1) = 7
a2 = 3+4(2) = 3+8 = 11
a3 = 3+4(3) = 3+ 12 = 15
a4 = 3+4(4) = 3+16 = 19
हम यहाँ देख सकते हैं, शर्तों के बीच सामान्य अंतर हैं;
a2 – a1 = 11−7 = 4
a3 – a2 = 15−11 = 4
a4 – a3 = 19−15 = 4
इसलिए, a k + 1 – a k हर बार एक ही मूल्य है। इसलिए, यह एक एपी है जिसमें सामान्य अंतर 4 है और पहला पद 7 है।
अब, हम जानते हैं, nवें पद का योग है;
s n = n /2[2 a +( n -1) d ]
s 15 = 15/2[2(7)+(15-1)×4]
= 15/2[(14)+56]
= 15 /2(70)
= 15×35
= 525
(ii) a n = 9−5 n
a 1 = 9−5×1 = 9−5 = 4
a 2 = 9−5×2 = 9−10 = −1
a 3 = 9−5×3 = 9− 15 = −6
a 4 = 9−5×4 = 9−20 = -11
हम यहां देख सकते हैं, पदों के बीच सामान्य अंतर हैं;
a 2 − a 1 = −1−4 = −5
a 3 − a 2 = −6−(−1) = −5
a 4 − a 3 = −11−(−6) = −5
इसलिए, a k + 1 – एक केहर बार एक ही है। इसलिए, यह एक AP है जिसका सार्व अंतर -5 है और पहला पद 4 है।
अब, हम जानते हैं, nवें पद का योग है;
s n = n / 2 [2 a +( n -1) d ]
s 15 = 15/2[2(4) +(15 -1)(-5)]
= 15/2 [8 +14(-5 ) )]
= 15/2(8-70)
= 15/2(-62)
= 15(-31)
= -465
11. यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4 n – n 2 हैं, तो इसका प्रथम पद (अर्थात S 1 ) क्या हैं? प्रथम दो पदों का योग क्या हैं? दूसरा पद क्या हैं? इसी प्रकार, तीसरे, 10 वें और n वें पद ज्ञात कीजिए ।
हल: दिया गया है कि,
S n = 4n – n2
प्रथम पद,a = S1 = 4(1) – (1)2 = 4−1 = 3
प्रथम दो पदों का योग =S2= 4(2)- (2)2 = 8−4 = 4
दूसरा पद,a2 = S2 – S1 = 4−3 = 1
सामान्य अंतर,d = a2–a = 1−3 = -2
Nवां पद, a n = ए+(n −1) d
= 3+(n −1)(−2)
= 3−2n +2
= 5−2n
इसलिए, a 3 = 5−2(3) = 5-6 = −1
a 10 = 5− 2(10) = 5−20 = −15
इसलिए, पहले दो पदों का योग 4 है। दूसरा पद 1 है
। तीसरा , 10 वां और n वां पद -1, -15 और 5 है। – 2n क्रमशः।
12. ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णाकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं ।
हल: वे धनात्मक पूर्णांक जो 6 से विभाज्य हैं, 6, 12, 18, 24… हैं।
हम यहाँ देख सकते हैं कि यह श्रृंखला एक AP बनाती है जिसका पहला पद 6 है और सामान्य अंतर 6 है
। a = 6
d = 6
S40 =?
n पदों के योग के सूत्र से, हम जानते हैं,
Sn = n/2 [2a +(n – 1)d]
इसलिए, n = 40 रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,
S40 = 40/2 [2(6)+ (40-1)6]
= 20 [12+(39)(6)]
= 20(12+234)
= 20×246
= 4920
13. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए ।
हल: 8 के गुणज 8, 16, 24, 32 हैं…
श्रृंखला AP के रूप में है, जिसका पहला पद 8 और सार्व अंतर 8 है।
इसलिए, a = 8
d = 8
S15 = ?
nवें पद के योग के सूत्र से, हम जानते हैं,
Sn = n/2 [2a+(n-1)d]
S15 = 15/2 [2(8) + (15-1)8]
= 15/2 [16 +(14)(8)]
= 15/2[16 +112]
= 15(128)/2
= 15 × 64
= 960
14.0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए ।
हल: 0 और 50 के बीच की विषम संख्याएँ 1, 3, 5, 7, 9 … 49
इसलिए, हम देख सकते हैं कि ये विषम संख्याएँ AP के रूप में हैं
इसलिए,
पहला पद, a = 1
सामान्य अंतर, d = 2
अंतिम पद, l = 49
अंतिम पद के सूत्र से, हम जानते हैं,
l = a+(n−1) d
49 = 1+(n−1)2
48 = 2(n – 1)
n – 1 = 24
n = 25 = पदों की संख्या
nवें पद के योग के सूत्र से, हम जानते हैं,
Sn = n/2(a +l)
S25 = 25/2 (1+49)
= 25(50)/2
=(25 )(25)
= 625
15. निर्माण कार्य से संबंधित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलम्ब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार हैं : पहले दिन के लिए ₹ 200, दूसरे दिन के लिए ₹ 250, तीसरे दिन के लिए ₹ 300 इत्यादि, अर्थात प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹50 अधिक हैं । एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलम्ब कर देता हैं?
हल: हम देख सकते हैं कि दिए गए दंड एपी के रूप में हैं, जिसका पहला कार्यकाल 200 है और सामान्य अंतर 50 है।
इसलिए, A = 200 और D = 50
जुर्माना जो भुगतान किया जाना है यदि ठेकेदार ने 30 से काम में देरी की है दिन = S30
nवें पद के योग के सूत्र से, हम जानते हैं,
Sn = n/2[2a+(n -1)d]
इसलिए,
S30= 30/2[2(200)+(30 – 1)50 ]
= 15[400+1450]
= 15(18500)
= 27750
इसलिए, ठेकेदार को 27750 रुपये दंड के रूप में देने होंगे।
16. किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि राखी गई हैं । यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 काम हैं, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए ।
हल: माना प्रथम पुरस्कार की लागत रु. P.
द्वितीय पुरस्कार की लागत = रु. P – 20
और तीसरे पुरस्कार की लागत = रु। P -40
हम देख सकते हैं कि इन पुरस्कारों की लागत एपी के रूप में है, जिसमें -20 के रूप में सामान्य अंतर है और पी के रूप में पहला शब्द है।
इस प्रकार, A = P और D = -20
दिया गया है, S 7 = 700
सूत्र द्वारा nवें पद के योग से, हम जानते हैं,
Sn = n/2 [2a + (n – 1)d]
7/2 [2a + (7 – 1)d] = 700
a + 3(−20) = 100
a −60 = 100
a = 160
इसलिए, प्रत्येक पुरस्कार का मूल्य 160 रुपये, 140 रुपये, 120 रुपये, 100 रुपये, 80 रुपये, 60 रुपये और 40 रुपये था।
17. एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अंदर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया की प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा । उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा । प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं । इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ो की संख्या कितनी होगी?
हल: यह देखा जा सकता है कि विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या एक AP में है।
1, 2, 3, 4, 5 ………………..12
पहला पद, a = 1
सामान्य अंतर, d = 2−1 = 1
Sn = n/2 [2a +(n-1)d]
s12 = 12/2 [2(1)+(12-1)(1)]
= 6(2+11)
= 6(13)
= 78
इसलिए, वर्गों के 1 खंड द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 78
संख्या कक्षाओं के 3 वर्गों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3×78 = 234
इसलिए, छात्रों द्वारा 234 पेड़ लगाए जाएंगे।
18.
केंद्रे A से प्रारम्भ करते हुए, बारी-बारी से केंद्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5cm, 1.0cm, 1.5cm, 2.0cm,… वाले उतरोत्तर अर्धवृतो को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है, जैसाकि आकृति 5.4 में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्धवृतों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई की है ? (π=22/7 लीजिए।)
हल: हम जानते हैं,
अर्धवृत्त का
इसलिए,
P1 = (0.5) = π / 2 cm
P2 = π (1) = π cm
P3 = π (1.5) = 3π/2 cm
कहाँ , P1, P2, P3 अर्धवृत्त की लंबाई हैं।
इसलिए हमें यहाँ एक श्रंखला मिली, जैसे,
/2, , 3π/2, 2π,….
P1 = π/2 cm
P2 = π cm
सामान्य अंतर,D = P 2 – P1 = π – π / 2 = π / 2
पहला पद = P1= A = / 2 cm
n पद के योग से सूत्र, हम जानते हैं,
S n = n /2 [2 a + ( n – 1) d ]
इसलिए, 13 क्रमागत वृत्तों की लंबाई का योग है;
S 13 = 13/2 [ 2(π/2) + (13 – 1)π/2] =
13/2 [π + 6π]
=13/2 (7π)
= 13/2 × 7 × 22/7
= 143 cm
19. 200 लटठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है : सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लटठे, उससे अगली पंक्ति में 19 लटठे, उससे अगली पंक्ति में 18 लटठे, इत्यादि (देखिए आकृति 5.5) । ये 200 लटठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लटठे हैं?
हल: हम देख सकते हैं कि पंक्तियों में लट्ठों की संख्या AP20, 19, 18…
के रूप में है। दिए गए AP के लिए,
पहला पद, a = 20 और सार्व अंतर,d = a2–a1 = 19−20 = -1
मान लीजिए कि कुल 200 लट्ठे n पंक्तियों में रखे गए हैं।
इस प्रकार, Sn = 200
nवें पद के सूत्र के योग से,
S n = n/2 [2a +(n -1)d]
S 12 = 12/2 [2(20)+(n -1)(-1 )]
400 = n (40−n+1)
400 = n (41-n)
400 = 41n−n2
n2−41n + 400 = 0
n 2 −16n−25n+400 = 0
n(n −16)−25(n −16) = 0
(n −16)(n −25) = 0
या तो (n −16) = 0 या n−25 = 0
n = 16 या n = 25 n
वें पद सूत्र द्वारा,
a n = a+(n−1)d
a 16 = 20+(16−1)(−1)
a 16 = 20−15
a 16 = 5
इसी प्रकार, 25वें पद को इस प्रकार लिखा जा सकता है;
a 25 = 20+(25−1)(−1)
a 25 = 20−24
= −4
यह देखा जा सकता है, 16वीं पंक्ति में लॉग की संख्या 5 है क्योंकि संख्याएं ऋणात्मक नहीं हो सकती हैं।
अतः 200 लट्ठों को 16 पंक्तियों में रखा जा सकता है और 16वीं पंक्ति में लट्ठों की संख्या 5 है।
20. एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5cm की दुरी पर है, तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं (देखिए आकृति 5.6)।
प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है, और वह ऐसा तब तक करती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ । इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दुरी दौड़नी पड़ेगी ?
हल: बाल्टी से आलू की दूरी 5, 8, 11, 14… है, जो AP के रूप में है।
दिया गया है, इन आलूओं को इकट्ठा करने के लिए प्रतियोगी द्वारा चलाई गई दूरी उस दूरी की दुगुनी है जिस पर आलू रखे गए हैं।
इसलिए, चलाई जाने वाली दूरी, आलू की दूरी के बराबर, को इस प्रकार लिखा जा सकता है;
10, 16, 22, 28, 34, ……….
इसलिए, पहला पद, a = 10 और d = 16−10 = 6
S10 = ?
n पदों के योग के सूत्र से, हम जानते हैं,
S10 = 10/2 [2(10)+(10 -1)(6)]
= 5[20+54]
= 5(74)
= 370
इसलिए, प्रतियोगी कुल 370 मीटर की दूरी तय करेगा।