NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 3 दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) प्रश्नावली 3.6

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 3 दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) प्रश्नावली 3.6

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 3 दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) प्रश्नावली 3.6

? Chapter – 3?

✍दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म✍

? प्रश्नावली 3.6?

1.निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिएः

(i) 1/2x + 1/3y = 2
1/3x + 1/2y = 13/6

हल: मान लीजिए कि 1/x = m और 1/y = n है, तो समीकरण इस प्रकार बदल जाएगा।
m/2 + n/3 = 2
3m+2n-12 = 0…………………….(1)
m/3 + n/2 = 13/6
⇒ 2m+3n-13 = 0…… ………………….(2)
अब, क्रॉस-गुणा विधि का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं,
m/(-26-(-36) ) = n/(-24-(-39)) = 1/(9 -4)
m/10 = n/15 = 1/5
m/10 = 1/5 और n/15 = 1/5
तो, m = 2 और n = 3
1/x = 2 और 1/y = 3
x = 1/2 और y = 1/3

(ii) 2/√x + 3/√y = 2

4/√x + 9/√y = -1

हल: दिए गए समीकरणों में 1/√x = m और 1/√y = n को प्रतिस्थापित करने पर, हमें
2m + 3n = 2 ……………………….. (i)
4m – 9n = -1 ……………………… (ii)
समीकरण (i) को 3 से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं
6m + 9n = 6 …………………… (iii)
समीकरण (ii) और (iii) को जोड़ने पर, हमप्राप्त करें
10m = 5
m = 1/2…………………………………….…(iv)
अब ‘m’ का मान समीकरण (i) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
2×1/2 + 3n = 2
3n = 1
n = 1/3
m =1/√x
½ = 1/√x
x = 4
n = 1/√y
1/3 = 1/√y
y = 9
इसलिए, x = 4 और y = 9

(iii) 4/x + 3y = 14
3/x -4y = 23

हल: दिए गए समीकरण में डालने पर, हमें प्राप्त होता है,
तो, 4m + 3y = 14 => 4m + 3y – 14 = 0 ……………..….. (1)
3m – 4y = 23 => 3m – 4y – 23 = 0 ……………………….(2)
क्रॉस-गुणा से, हम प्राप्त करते हैं,
m/(-69-56) = y/(-42-(-92)) = 1/(-16 -9)
-m/125 = y/50 = -1/ 25
-m/125 = -1/25 और y/50 = -1/25
m = 5 और b = -2
m = 1/x = 5
तो , x = 1/5
y = -2

(iv) 5/(x-1) + 1/(y-2) = 2

6/(x-1) – 3/(y-2) = 1

हल: दिए गए समीकरणों में 1/(x-1) = m और 1/(y-2) = n को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
5m + n = 2 ……………………… (i)
6m – 3n = 1 ………………………. (ii)
समीकरण (i) को 3 से गुणा करने पर, हमें
15m + 3n = 6 ……………..(iii)
(ii) और (iii) जोड़ने) हमें
21m = 7
m = 1/3
प्राप्त होता है, इस मान को समीकरण (i) में रखने पर, हमें
5×1/3 + n = 2
n = 2- 5/3 = 1/3
m = 1/ (x-1))
1/3 = 1/(x-1)
⇒ x = 4
n = 1/(y-2)
1/3 = 1/(y-2)
y = 5
इसलिए, x = 4 और y = 5

(v) (7x-2y)/ xy = 5

(8x + 7y)/xy = 15

हल: (7x-2y)/xy = 5
7/y – 2/x = 5………………………..(i)
(8x + 7y)/xy = 15
8/y + 7/ x = 15………………………………(ii)
दिए गए समीकरण में 1/x =m रखने पर हमें प्राप्त होता है,
– 2m + 7n = 5 => -2 + 7n – 5 = 0 ……..( iii)
7m + 8n = 15 => 7m + 8n – 15 = 0 …… (iv)
क्रॉस-गुणा विधि से, हम प्राप्त करते हैं,
m/(-105-(-40)) = n/(-35-30) = 1/(-16-49)
m /(-65) = n /(-65) = 1/(-65)
m /-65 = 1/-65
m = 1
n /(-65) = 1/ (-65)
n = 1
m = 1 और n = 1
m = 1/x = 1 n = 1/x = 1
इसलिए, x = 1 और y = 1

(vi) 6x + 3y = 6xy

2x + 4y = 5xy

हल: 6x + 3y = 6xy
6/y + 3/x = 6
मान लीजिए कि 1/x = m और 1/y = n
=> 6n +3m = 6
=>3m + 6n-6 = 0 ………… …….(i)
2x + 4y = 5xy
=> 2/y + 4/x = 5
=> 2n +4m = 5
=> 4m+2n-5 = 0……………………..(ii) )
3m + 6n – 6 = 0
4m + 2n – 5 = 0
क्रॉस-गुणा विधि से, हम प्राप्त करते हैं
m/(-30 -(-12)) = n/(-24-(-15)) = 1/( 6-24)
m /-18 = n /-9 = 1/-18
m /-18 = 1/-18
m = 1
n /-9 = 1/-18
n = 1/2
m  = 1 और n = 1/2
m  = 1/x = 1 और n = 1/y = 1/2
x = 1 और y = 2
इसलिए, x = 1 और y = 2

(vii) 10/(x+y) + 2/(xy) = 4

15/(x+y) – 5/(xy) = -2

हल: दिए गए समीकरणों में 1/x+y = m और 1/xy = n को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
10m + 2n = 4 => 10m + 2n – 4 = 0 …………………..( i)
15m – 5n = -2 => 15m – 5n + 2 = 0 ……………………….. (ii)
क्रॉस-गुणा विधि का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं,
m/(4-20) = n/( -60-(20)) = 1/(-50 -30)
m /-16 = n /-80 = 1/-80
m /-16 = 1/-80 और n  /-80 = 1/-80
m = 1/5 और n = 1
m = 1/(x+y) = 1/5
x+y = 5 …………………………………(iii)
n = 1/( xy) = 1
x-y = 1……………………………………………(iv)
समीकरण (iii) और (iv) को जोड़ने पर हमें
2x = 6 => x = 3 ……. (v)
समीकरण (3) में x = 3 का मान रखने पर, हमें
y = 2
, इसलिए x = 3 और y = 2

(viii) 1/(3x+y) + 1/(3x-y) = 3/4

1/2(3x+y) – 1/2(3x-y) = -1/8

हल: दिए गए समीकरणों में 1/(3x+y) = m और 1/(3x-y) = n को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
m + n = 3/4 …………………………… … (1)
m/2 – n/2 = -1/8
m – n = -1/4 …………………………..… (2)
(1) और (2) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करें
2m = 3/4 – 1/4
2m = 1/2
(2) में डालने पर, हमें
1/4 – n = -1/4
n = 1/4 + 1/4 = 1/2
m = 1/(3x+y) = 1/4
3x + y = 4 ………………………………… (3)
n = 1/(3x-y) = 1/2
3x – y = 2 …… ………………………(4)
समीकरणों (3) और (4) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं
6x = 6
x = 1 ……………………………….(5)
में डालने पर ( 3), हम प्राप्त करते हैं
3(1) + y = 4
y = 1
इसलिए, x = 1 और y = 1

2. निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए :

(i) रितु धारा के अनुकूल 20 किमी 2 घंटे में और धारा के प्रतिकूल 4 किमी 2 घंटे में तैर सकती है। शांत जल में उसकी नौकायन की गति और धारा की गति ज्ञात कीजिए।

(ii) 2 महिलाएं और 5 पुरुष एक साथ कढ़ाई के काम को 4 दिनों में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएं और 6 पुरुष इसे 3 दिनों में पूरा कर सकते हैं। कार्य को पूरा करने के लिए अकेले 1 महिला द्वारा लिया गया समय और अकेले 1 पुरुष द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।

(iii) रूही अपने घर तक आंशिक रूप से ट्रेन से और आंशिक रूप से बस द्वारा 300 किमी की यात्रा करती है। यदि वह 60 किमी ट्रेन से और शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं। यदि वह 100 किमी ट्रेन से और शेष बस द्वारा यात्रा करती है, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। ट्रेन और बस की गति अलग-अलग ज्ञात कीजिए।

हल: (i) मान लीजिए,
शांत जल में रितु की गति = x किमी/घंटा
धारा की गति = y
किमी/
घंटा
h
दिए गए प्रश्न के अनुसार,
2(x+y) = 20
या x + y = 10……………………….(1)
और, 2(xy) = 4
या x – y = 2…… ………………(2)
eq.1 और 2 दोनों को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं,
2x = 12
x = 6 x
के मान को eq.1 में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,
y = 4
इसलिए,
रितु रोइंग की गति शांत जल में = 6 किमी/घंटा
धारा की गति = 4 किमी/घंटा

(ii) आइए मान लें,
महिलाओं द्वारा कार्य समाप्त करने में लिए गए दिनों की संख्या = x
पुरुषों द्वारा कार्य समाप्त करने में लिए गए दिनों की संख्या = y
महिलाओं द्वारा एक दिन में किया गया कार्य = 1/x
महिलाओं द्वारा एक दिन में किया गया कार्य = 1/y
दिए गए प्रश्न के अनुसार,
4(2/x + 5/y) = 1
(2/x + 5/y) = 1/4
और, 3(3/x + 6/y) = 1
(3 /x + 6/y) = 1/3
अब, 1/x=m और 1/y=n डालें, तो हमें प्राप्त होता है,
2m + 5n = 1/4 => 8m + 20n = 1 ………… (1)
3m + 6n = 1/3 => 9m + 18n = 1 …………………। (2)
अब, क्रॉस गुणन विधि से, हम यहाँ प्राप्त करते हैं,
m/(20-18) = n/( 9-8) = 1/ (180-144)
m /2 = n/1 = 1/36
m /2 = 1/36
m = 1/18
m = 1/x = 1/18
या x = 18
n = 1/y = 1/36
y = 36
अत:
महिलाओं द्वारा कार्य समाप्त करने में लिए गए दिनों की संख्या = 18
पुरुषों द्वारा कार्य समाप्त करने में लिए गए दिनों की संख्या = 36.

(iii) मान लें,
ट्रेन की गति = x किमी/घंटा
बस की गति = y किमी/घंटा
दिए गए प्रश्न के अनुसार,
60/x + 240/y = 4 ………………(1)
100/x + 200/y = 25/6 …………….(2)
उपरोक्त दो समीकरणों में 1/x=m और 1/y=n रखें;
60m + 240n = 4……………………..(3)
100m + 200n = 25/6
600m + 1200n = 25 ………………………। (4)
प्राप्त करने के लिए eq.3 को 10 से गुणा करें ,
600m + 2400n = 40 …………………… (5)
अब, प्राप्त करने के लिए eq.4 को 5 से घटाएँ,
1200n = 15
n = 15/1200 = 1/80
eq में n के मान को प्रतिस्थापित करें। 3, प्राप्त करने के लिए,
60m + 3 = 4
m = 1/60
m = 1/x = 1/60
x = 60 और y = 1/n
y = 80
इसलिए,
ट्रेन की गति = 60 किमी/घंटा
बस की गति = 80 किमी/घंटा