NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 4 द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) प्रश्नावली 4.3

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 4 द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) प्रश्नावली 4.3

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 4 द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) प्रश्नावली 4.3

? Chapter – 4?

✍Quadratic Equations✍

? प्रश्नावली 4.3?

1. यदि निम्नलिखित द्विघात समकरणो के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हे पूर्ण वर्ग बनने कि विधि द्वारा ज्ञात कीजिए ।

(i) 2 x ²– 7 x  +3 = 0
(ii) 2 x ² +  x – 4 = 0
(iii) 4 x ² + 4√3 x  + 3 = 0
(iv) 2 x ² +  x  + 4 = 0

हल:
(i) 2 x ²  – 7 x  + 3 = 0
2x²– 7x = – 3
दोनों पक्षों में 2 से भाग देने पर, हम प्राप्त करते हैं
x² -7x/2 = -3/2
⇒ x² – 2 × x × 7/4 = -3/2
(7/4)² , हमें
⇒ (x)²– 2× x ×7/4 +(7/4)² = ( 7/4)²-3/2
(x-7/4)2 = (49/16) – (3/2)
⇒(x-7/4)² = 25/16
⇒(x-7/4)² = ±5/4
⇒ x = 7/4 ± 5/4
⇒ x = 7/4 + 5/4 या x = 7/4 – 5/4
⇒ x = 12/4 या x = 2/4
x = 3 या x = 1/2

(ii) 2x ² + x – 4 = 0
2x ² + x = 4
समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर, हमें
⇒ x ²  +x/2 = 2 प्राप्त होता है, अब दोनों पक्षों में (1/4) ²
जोड़ने पर समीकरण से, हम प्राप्त करते हैं,
(x) ²  + 2 × x × 1/4 + (1/4) ²  = 2 + (1/4)² ⇒
(x + 1/4) ²  = 33/16
x + 1/4 = ± 33/4
⇒ x = ± 33/4 – 1/4
x = (± 33-1)/4
इसलिए, या तो x = (√33-1)/4 या x = (-√33-1)/4

(iii) 4x ²  + 4√3x + 3 = 0
समीकरण को ² +2ab+b ² रूप में बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं,
(2x) ²+ 2 × 2x × √3 + (√3)
2 ⁼  0 (2x + 3) ²  = 0
⇒ (2x + 3) = 0 और (2x + √3) = 0
इसलिए, या तो x = -√3/2 या x = -√3/2।

(iv) 2x ²  + x + 4 = 0
2x ²+ x = -4
समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर, हमें
⇒ x ²+ 1/2x = 2
x ²  + 2 × x × 1/4 प्राप्त होता है। = -2 समीकरण के दोनों पक्षों में (1/4) ²
जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं
(x) ² + 2 × x × 1/4 + (1/4)²  = (1/4)
2 ^–  2 (x + 1/4)²  = 1/16 – 2
(x + 1/4) ²= -31/16
जैसा कि हम जानते हैं, संख्याओं का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए, दिए गए समीकरण 2x²  + x + 4 = 0
का कोई वास्तविक मूल नहीं है ।

2. (i)2x²–7x+3=0
(ii) 2x²+x–4=0
(iii) 4x²+43–√x+3=0
(iv) 2x²+x+4=0
उपर्युक्त में दिए गए द्विघात समीकरण के मूल द्विघात सूत्र के प्रयोग से ज्ञात करे।
उपर्युक्त में दिए गए द्विघात समीकरण के मूल द्विघात सूत्र के प्रयोग से ज्ञात करे।

(i) 2x ²  – 7x + 3 = 0
दिए गए समीकरण की ax ²  + bx + c = 0 से तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
a = 2, b = -7 और c = 3
द्विघात सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं,

⇒ x = (7±√(49 – 24))/4
⇒ x = (7±√25)/4
⇒ x = (7±5)/4
⇒ x = (7+5)/4 या x = ( 7-5)/4
x = 12/4 या 2/4
∴ x = 3 या 1/2

(ii) 2x ²  + x – 4 = 0
दिए गए समीकरण की ax ² + bx + c = 0 से तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
a = 2, b = 1 और c = -4
द्विघात सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं,

⇒x = (-1±√1+32)/4
⇒x = (-1±√33)/4
∴ x = (-1+√33)/4 या x = (-1-√33)/4

(iii) 4x ²  + 4√3x + 3 = 0
दिए गए समीकरण की ax ² + bx + c = 0 से तुलना करने पर, हमें
a = 4, b = 4√3 और c = 3
प्राप्त होता है। ,

⇒ x = (-4√3±√48-48)/8
⇒ x = (-4√3±0)/8
∴ x = -√3/2 या x = -√3/2

(iv) 2x ²  + x + 4 = 0
दिए गए समीकरण की ax ² + bx + c = 0 से तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
a = 2, b = 1 और c = 4
द्विघात सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

⇒ x = (-1±√1-32)/4
x = (-1±√-31)/4

जैसा कि हम जानते हैं, किसी संख्या का वर्ग कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकता। अतः दिए गए समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।

3. निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :

(i) x-1/x = 3, x 0
(ii) 1/x+4 – 1/x-7 = 11/30, x = -4, 7

हल:
(i) x-1/x = 3
x² – 3x -1 = 0
दिए गए समीकरण की ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर, हमें
a = 1, b = -3 और c = -1
द्विघात सूत्र का प्रयोग करके, हम प्राप्त करते हैं,

⇒ x = (3±√9+4)/2
x = (3±√13)/2
∴ x = (3+√13)/2 या x = (3-√13)/2

(ii) 1/x+4 – 1/x-7 = 11/30
x-7-x-4/(x+4)(x-7) = 11/30
⇒ -11/(x+4) (x-7) = 11/30
(x+4)(x-7) = -30
⇒ x ²  – 3x – 28 = 30
x ²  – 3x + 2 = 0
अब हम इस समीकरण को गुणनखंडन विधि द्वारा हल कर सकते हैं
x ²–  2x – x + 2 = 0
x (x – 2) – 1 (x – 2) = 0
(x – 2) (x – 1) = 0
x = 1 या 2

4. 3 वर्ष पूर्व रहमान कि आयु (वर्षो में ) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात आयु के व्युत्क्रम का योग 1/3 है । उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए ।

हल : मान लीजिए रहमान की वर्तमान आयु x वर्ष है।
तीन वर्ष पूर्व रहमान की आयु (x – 3) वर्ष थी।
पांच वर्ष बाद उसकी आयु (x + 5) वर्ष होगी।
दिया गया है, 3 साल पहले और 5 साल बाद रहमान की उम्र के व्युत्क्रमों का योग 1/3 के बराबर है।
∴ 1/x-3 + 1/x-5 = 1/3
(x+5+x-3)/(x-3)(x+5) = 1/3
(2x+2)/(x-3 )(x+5) = 1/3⇒ 
3(2x + 2) = (x-3)(x+5)
⇒ 6x + 6 = x² + 2x – 15x² – 4x – 21 = 0x ² – 7x + 3x – 21 = 0x(x – 7) + 3 (x – 7) = 0
(x – 7)(x + 3) = 0
x = 7, -3
जैसा कि हम जानते हैं, आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः रहमान की वर्तमान आयु 7 वर्ष है।

5. एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किये गए अंको का योग 30 है । यदि उसके गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते , तो उनके अंको का गुणनफल 210 होता । उसके द्वारा विषयो में प्राप्त किये अंक ज्ञात कीजिए ।

हल: मान लीजिए, गणित में शेफाली के अंक x हैं।
फिर, अंग्रेजी में अंक 30 – x होंगे।
दिए गए प्रश्न के अनुसार,
(x + 2)(30 – x – 3) = 210
(x + 2)(27 – x) = 210
-x² + 25x + 54 = 210
x² – 25x + 156 = 0
x² – 12x – 13x + 156 = 0
x (x – 12) -13 (x – 12) = 0
(x – 12) (x – 13) = 0
x = 12, 13
इसलिए, यदि गणित में अंक 12 हैं, अंग्रेजी में अंक 30 – 12 = 18 होंगे और गणित में अंक 13 होंगे, तो अंग्रेजी में अंक 30 – 13 = 17 होंगे।

6. एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लम्बा है । यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो , तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए ।

हल: मान लीजिए, आयत की छोटी भुजा x m है।
तब, आयत की बड़ी भुजा = (x + 30) m

जैसा दिया गया है, विकर्ण की लंबाई = x + 30 m है
इसलिए,

x ²  + ( x  + 30) ²  = ( x  + 60) ²
x  ²  +  x ²  + 900 + 60 x  =  x ²  + 3600 + 120
x ⇒  x 2  – ⁶⁰  x –
2700   = 0 x ²  – 90 x  + 30 x  – 2700 = 0
x (x – 90) + 30 (x -90) = 0
⇒ (x – 90) (x + 30) = 0
x = 90, -30
हालांकि, पक्ष क्षेत्र ऋणात्मक नहीं हो सकता। अतः छोटी भुजा की लंबाई 90 मीटर होगी।
और बड़ी भुजा की लंबाई (90 + 30) m = 120 m होगी।

7. दो संख्याओं के वर्गो का अंतर 180 है । छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है । दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए ।

हल: मान लीजिए कि बड़ी और छोटी संख्या क्रमशः x और y है।
दिए गए प्रश्न के अनुसार,
x² – y² = 180 और y² = 8x
x ² – 8x = 180
x 2^– 8x
180  = 0x² – 18x + 10x– 180 = 0
x (x – 18) +10 (x – 18) = 0
⇒ (x – 18) (x + 10) = 0
⇒ x = 18, -10
हालाँकि, बड़ी संख्या को ऋणात्मक संख्या नहीं माना जा सकता है, क्योंकि बड़ी संख्या का 8 गुना ऋणात्मक होगा और इसलिए, छोटी संख्या का वर्ग ऋणात्मक होगा जो संभव नहीं है।
अतः बड़ी संख्या केवल 18 होगी।
x = 18
∴  y ²  = 8x = 8 × 18 = 144
⇒ y = ± √144 = ±12
छोटी संख्या = ±12
इसलिए, संख्याएं 18 और 12 या 18 और -12 हैं।

8. एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360km की दुरी तय करती है । यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती , तो वह उसी यात्रा में 1घंटा कम समय लेती । रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए ।

हल: मान लीजिए, ट्रेन की गति x किमी/घंटा है।
360 किमी की दूरी तय करने में लगा समय = 360/x घंटा।
दिए गए प्रश्न के अनुसार,
(x + 5) (360/x – 1) = 360
360 – x + 1800/x-5 = 360
x ²+5x – 1800 = 0x² 
45x – 40x – 1800 = 0
x (x + 45) -40 (x + 45) = 0
(x + 45) (x – 40) = 0
x = 40, -45
जैसा कि हम जानते हैं, गति का मान नहीं हो सकता नकारात्मक।
अत: ट्रेन की गति 40 किमी/घंटा है।

9. दो पानी के नल एक साथ एक हौज को घंटो में भर सकते है । बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में , कम व्यास वाले नल से 10 घंटे कम समय लेता है । प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए ।

हल: माना कि छोटे पाइप द्वारा टैंक को भरने में लिया गया समय = x घंटा।
बड़े पाइप द्वारा लिया गया समय = (x – 10) घंटा
छोटे पाइप द्वारा 1 घंटे में
भरा गया टैंक का हिस्सा = 1/x 1 घंटे में बड़े पाइप द्वारा भरा गया टैंक का हिस्सा = 1/(x – 10)
जैसा दिया गया है, टैंक में भरा जा सकता है

= दोनों पाइपों द्वारा एक साथ 75/8 घंटे।
इसलिए,
1/x + 1/x-10 = 8/75
x-10+x/x(x-10) = 8/75
2x-10/x(x-10) = 8/75
75(2 x  – 10) = 8 x ²  – 80 x
150 x  – 750 = 8 x ²  – 80 x
⇒ 8 x²  – 230 x  +750 = 0
8 x ²  – 200 x  – 30 x  + 750 = 0
8x (x – 25) -30(x – 25) = 0
(x – 25) (8x -30) = 0
x = 25, 30/8
छोटे पाइप द्वारा लिया गया समय 30/8 = 3.75 घंटे नहीं हो सकता, क्योंकि बड़े पाइप द्वारा लिया गया समय ऋणात्मक हो जाएगा, जो तार्किक रूप से संभव नहीं है।
इसलिए, छोटे पाइप और बड़े पाइप द्वारा अलग-अलग लिया गया समय क्रमशः 25 और 25 – 10 =15 घंटे होगा।

10. मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी , सवारी गाडी से 1 घंटा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए )। यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल , सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11km/h अधिक हो , तो दोनों रेलगाड़ी की औसत चाल ज्ञात कीजिए ।

हल: मान लीजिए, यात्री ट्रेन की औसत गति = x किमी/घंटा है।
एक्सप्रेस ट्रेन की औसत गति = (x + 11) किमी / घंटा
दिया गया है, एक्सप्रेस ट्रेन द्वारा 132 किमी की दूरी तय करने में लगने वाला समय समान दूरी को कवर करने के लिए यात्री ट्रेन से 1 घंटा कम है। इसलिए,
(132/x) – (132/(x+11)) = 1
132(x+11-x)/(x(x+11)) = 1
132 × 11 /(x(x+11)) = 1
132 × 11 = x (x + 11)
⇒ x²+ 11x – 1452 = 0x² + 44x -33x
-1452  = 0
x (x + 44) -33 (x + 44) = 0
(x + 44) (x – 33) = 0
x = – 44, 33
जैसा कि हम जानते हैं, गति ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः पैसेंजर ट्रेन की गति 33 किमी/घंटा होगी और इस प्रकार एक्सप्रेस ट्रेन की गति 33 + 11 = 44 किमी/घंटा होगी।

11.
दो वर्गो के क्षेत्रफलों का योग 468m² है । यदि उनके परिमापों का अंतर 24m हो , तो दोनों वर्गो की भुजाएँ ज्ञात कीजिए ।

हल: मान लीजिए कि दो वर्गों की भुजाएँ xm और y m हैं।
अतः उनका परिमाप क्रमशः 4x और 4y होगा
और वर्गों का क्षेत्रफल x² और y² होगा।

दिया गया है,
4x – 4y = 24
x – y = 6
x = y + 6
साथ ही,  x ² + y ²  = 468  
(6 +  y ² ) +  y ²  = 468
36 +  y ² + 12 y  +  y ²  = 468
⇒ 2 y ² + 12 y  + 432 = 0 y ²
+ 6y   – 216 = 0
y  ² + 18 y  – 12 y  – 216 = 0 y
(y +18) -12 (y + 18) = 0
(y + 18)(y – 12) = 0
y = -18, 12
जैसा कि हम जानते हैं, वर्ग की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः, वर्गों की भुजाएँ 12 m और (12 + 6) m = 18 m हैं।