NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 1 वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) Exercise 1.2 in Hindi

1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडो के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

(i) 140

हल: पहले 140 का LCM लेंगे,
140 = 2 × 2 × 5 × 7 × 1
= 2² × 5 × 7

(ii) 156

हल: पहले 156 का LCM लेंगे,
156 = 2 × 2 × 13 × 3 × 1
= 2² × 13 × 3

(iii) 3825

हल: पहले 3825 का LCM लेंगे,
3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17 × 1
= 3² × 5² × 17

(iv) 5005

हल: पहले 5005 का LCM लेंगे,
5005 = 5 × 7 × 11 × 13 × 1

(v) 7429

हल: पहले 7429 का LCM लेंगे,
7429 = 17 × 19 × 23 × 1

2. पूर्णांक के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM है।

(i) 26 और 91

हल: 26 और 91 का गुणनफल ज्ञात कीजिए,
26 = 2 × 13 × 1
91 = 7 × 13 × 1
इसलिए, LCM (26, 91) = 2 × 7 × 13 × 1 = 182
और HCF (26, 91) = 13
सत्यापन अब, 
26 और 91 का गुणनफल = 26 × 91 = 2366
और LCM और HCF का गुणनफल = 182 × 13 = 2366
इसलिए, LCM × HCF = 26 और 91 का गुणनफल।

(ii) 510 और 92

हल: 510 और 92 का गुणनफल ज्ञात कीजिए,
510 = 2 × 3 × 17 × 5 × 1
92 = 2 × 2 × 23 × 1
इसलिए, LCM (510, 92) = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460
और HCF (510, 92) = 2
सत्यापन अब, 
510 और 92 का गुणनफल = 510 × 92 = 46920
और LCM और HCF का गुणनफल = 23460 × 2 = 46920
इसलिए, LCM × HCF = 510 और 92 का गुणनफल।

(iii) 336 और 54

हल: 336 और 54 का गुणनफल ज्ञात कीजिए,
336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 3 × 1
54 = 2 × 3 × 3 × 3 × 1
इसलिए, LCM ( 336, 54) =  2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 7 =  3024
और HCF (336, 54) = 2 × 3 = 6
सत्यापन अब, 
336 और 54 का गुणनफल = 336 × 54 = 18,144
और LCM और HCF का गुणनफल = 3024 × 6 = 18,144
इसलिए, LCM × HCF = 336 और 54 का गुणनफल।

3. अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांक का HCF और LCM ज्ञात कीजिए :

(i) 12, 15 और 21

हल: 12, 15 और 21
तीनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल लिखने पर,
12 = 2 × 2 × 3
15 = 5 × 3
21 = 7 × 3
इसलिए,
HCF (12,15,21) = 3
LCM (12,15,21) = 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 420

(ii) 17, 23 और 29

हल: 17, 23 और 29
तीनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल लिखने पर,
17 = 17 × 1
23 = 23 × 1
29 = 29 × 1
इसलिए,
HCF(17,23,29) = 1
LCM (17,23,29) = 17 × 23 × 29 = 11339

(iii) 8, 9 और 25

हल: 8, 9 और 25
तीनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल लिखने पर,
8 = 2 × 2 × 2 × 1
9 = 3 × 3 × 1
25 = 5 × 5 × 1 
इसलिए,
HCF ( 8,9,25) = 1
LCM (8,9,25) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3× 5 × 5 = 1800

4. HCF (306,657) = 9 दिया है। LCM (306,657) ज्ञात कीजिए।

हल: हम जानते हैं कि,
HCF × LCM = दी गई दो संख्याओं का गुणनफल
इसलिए,
9 × LCM = 306 × 657
LCM = (306 × 657)/9 = 22338
इसलिए, LCM (306,657) = 22338

5. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।

हल: जो भी संख्या 0 पर समाप्त होता है,
उसका गुणनखंड (2 × 5) होता है,
जैसे 10 = 2 × 5
100 = 2 × 2 × 5 × 5
और 6ⁿ = (2 × 3)ⁿ
लेकिन इस का गुणनखंड (2 × 5) नहीं है।
इसलिए 6n अंक 0 से समाप्त नहीं होगा।

6. व्याख्या कीजिए कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों है।

हल: 7 × 11 × 13 + 13
13 (7 × 11 × 1 + 1)
13 (77 + 1)
13 (78)
13 × 13 × 2 × 3, यहाँ एक भाज्य संख्या है।
और
7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5
5 (7 × 6 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)
5 (7 × 6 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)
5 (1009)
5 × 1009, यहाँ एक भाज्य संख्या है।

7. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते है, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते है। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करके एक ही दिशा में चलते है। कितने समय बाद में पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे?

हल: एक चक्कर में सोनिया 18 मिनट लेती हैं।
उसी स्थान पर रवि एक चक्कर में 12 मिनट लगाता है।
दोनों उस समय मिलेंगे जो 12 मिनट और 18 मिनट का एक न्यूनतम गुणज हो।
अतः, 12 = 2 × 2 × 3
18 = 2 × 3 × 3
LCM = 2 × 2 × 3 × 3
LCM = 36