NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 9 समांतर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल (Areas of Parallelograms and Triangles) प्रश्नावली – 9.4

प्रश्न 2. आकृती 9.30 में, भुजा BC पर दो बिंदु D और इ इस प्रकार स्थित है कि BD = DE =EC है । दर्शाइए कि ar(ABD) = ar(ADE) = ar(AEC) है। क्या आप अब प्रश्न का उत्तर दे सकते है, जो आपने इस अध्याय की भूमिका में छोड़ दिया था कि “क्या बुधिया का खेत वास्तव में बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन भागो में विभाजित हो गया है”?

हल: ज्ञात है: ΔABC में, D और E भुजा BC पर दो बिंदु इस प्रकार हैं कि BD = DE = EC.
सिद्ध करना है: ar(ΔABD) = ar(ΔADE) = ar(ΔAEC)
रचना: AM ⊥ BC खींचों।
प्रमाण: (ΔABC) = 1⁄2 × BD × AM
ar(ΔADE) = 1⁄2 × DE × AM
और ar(ΔAEC) = 1⁄2 × EC × AM
चूँकि   BD = DE = EC
अत: ar(ΔABD) = ar(ΔADE) = ar(ΔAEC)

प्रश्न 5. आकृति 9.33 में, ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D,भुजा BC का मध्य-बिंदु है। यदि AE,भुजा BC को F पर प्रतिच्छेद करती  है, तो दर्शाइए कि

(i) ar(∆BDE) =  ar(∆ABC)
(ii) ar(∆BDE) =  ar(∆BAE)
(iii) ar(∆ABC) = 2 ar(∆BEC)
(iv) ar(∆BFE) = ar(∆AFD)
(v) ar(∆BFE) = 2 ar(∆FED)
(vi) ar(∆FED) = ar(∆AFC)

[संकेत EC और AD को मिलाइए। दिखाओ कि BE || AC और DE || AB, आदि]

हल: आइए EC और AD को मिलाएँ। EP BC खींचिए। माना AB = BC = CA = a, तो BD =  a 2  = DE = BE

(ii) चूँकि ABC और BED समबाहु त्रिभुज हैं।
∠ACB = DBE = 60°
BE || AC
BAE और BEC एक ही आधार BE पर और एक ही समांतर रेखाओं BE और AC के बीच स्थित हैं।
ar(∆BAE) = ar(∆BEC)
ar(∆BAE) = 2 ar(∆BDE) [DE EBC की माध्यिका है। एआर(∆BEC) = || ar(∆BDE)]
ar(ABDE) =  1 2 ar(∆BAE)

(iii) ar(∆ABC) = 4 ar(∆BDE)[(i) भाग में सिद्ध]
ar(∆BEC) = 2 ar(∆BDE)
[DE ∆BEC की माध्यिका है]
ar(∆ABC) ; = 2 वर्ष (∆BEC)

(iv) चूँकि ABC और BDE समबाहु त्रिभुज हैं।
ABC = BDE = 60°
AB || DE
∆BED और ∆AED एक ही आधार ED पर और एक ही समांतर रेखाओं AB और DE के बीच स्थित हैं।
ar(∆BED) = ar(∆AED)
दोनों पक्षों से ar(AEFD) घटाने पर, हमें
ar(∆BED) – ar(∆EFD) = ar(∆AED) – ar(∆EFD)
ar( BEE) = AR(∆AFD)

(v) समकोण ABD में, हम प्राप्त करते हैं

(1) और (2) से, हमारे पास
ar(∆AFD) = 2 ar(∆EFD)
ar(∆AFD) = ar(∆BEF) [से (iv) भाग]
ar(∆BFE) = 2 ar (∆EFD)

(vi) ar(∆AFC) = ar(∆AFD) + ar(∆ADC)
= ar(∆BFE) + 1/2  ar ( ∆ABC  ) [(iv) भाग से]
= ar(∆BFE) +  1 / 2  x 4 x ar(∆BDE) [(i) भाग से]
= ar(∆BFE) + 2ar(∆BDE)
= 2ar(∆FED) + 2[ar(∆BFE) + ar(∆FED)]
= 2ar(∆FED) + 2[2ar(∆FED) + ar(∆FED)] [(v) भाग से]
= 2ar(∆FED) + 2[3ar(∆FED)]
= 2ar(∆FED) + 6ar(∆FED)
= 8ar(∆FED)
∴ ar(∆FED) = 1/8  ar (∆AFC)

प्रश्न 6. चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते है दर्शाइए कि ar(APB) x ar (CPD) = ar (APD) x ar (BPC) है। [संकेत A और C से BD पर लंब खींचिए।]

हल: ΔDOC तथा ΔAOB में
CD = AB (दिया है)
OD = OB (दिया है)
∠COD = ∠AOB (शीर्षाभिमुख कोण)
इसलिए, SAS सर्वांगसमता नियम से
ΔDOC ≅ ΔAOB
∠DCO = ∠BAO …… (i) BY CPCT
चूँकि ΔDOC ≅ ΔAOB इसलिए
ar (DOC) = ar (AOB) ….(ii)
(सर्वांगसम त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते है )
समी० (ii) दोनों तरफ ar(BOC) जोड़ने पर
ar (DOC) + ar(BOC) = ar (AOB) + ar(BOC)
या ar(DCB) = ar (ACB)
समी० (i) से
∠DCO = ∠BAO …… (एकांतर कोण)
इसलिए, CD || AB और CD = AB दिया है |
अत: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
(सम्मुख भुजाओं के एक युग्म बराबर और समांतर हो तो वह समांतर चतुर्भुज होता है)
इसलिए DA || CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है

प्रश्न 7. P और Q क्रमशः : त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य – बिंदु है तथा R रेखाखंड AP का मध्य- बिंदु है। दर्शाइए कि
(i) ar (∆PRQ) = ar (∆ARC)
(ii) ar (∆RQC) = ar (∆ABC)
(iii) ar (∆PBQ) = ar (∆ARC)
हल:

AC पर एक बिंदु S इस प्रकार लें कि S, AC का मध्य-बिंदु हो।
PQ को T तक इस प्रकार बढ़ाइए कि PQ = QT हो।
TC, QS, PS और AQ को मिलाएं।
ΔABC में, P और Q क्रमशः AB और BC के मध्य-बिंदु हैं। इसलिए, मध्य-बिंदु सिद्धांत का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
PQ || AC और PQ = 1/2AC
⇒ PQ || AS और PQ = AS (चूंकि S, AC का मध्य-बिंदु है)
∴ PQSA एक समांतर चतुर्भुज है। हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण उसे त्रिभुजों के बराबर क्षेत्रफलों में समद्विभाजित करते हैं।
∴ ar (ΔPAS) = ar (ΔSQP) = ar (ΔPAQ) = ar (ΔSQA)
इसी प्रकार, यह भी सिद्ध किया जा सकता है कि चतुर्भुज PSCQ, QSCT, और PSQB भी समांतर चतुर्भुज हैं और इसलिए,
ar (ΔPSQ) = ar (ΔCQS) (समांतर चतुर्भुज PSCQ के लिए)
ar (ΔQSC) = ar (ΔCTQ) (समानांतर चतुर्भुज QSCT के लिए)
ar (ΔPSQ) = ar (ΔQBP) (समानांतर चतुर्भुज PSQB के लिए)
इस प्रकार,
ar (ΔPAS) = ar (ΔSQP) = ar (ΔPAQ) = ar (ΔSQA) = ar (ΔQSC) = ar (ΔCTQ) = ar (ΔQBP) … (1)
साथ ही, ar (ΔABC) = ar (ΔPBQ) + ar (ΔPAS) + ar (ΔPQS) + ar (ΔQSC)
ar (ΔABC) = ar (ΔPBQ) + ar (ΔPBQ) + ar (ΔPBQ) + ar (ΔPBQ)
= 4 ar(ΔPBQ)
ar (ΔPBQ) = 1/4 ar(ΔABC) … (2)
(i) बिंदु P को C से मिलाइए।
ΔPAQ में, QR माध्यिका है।
इसलिए…………(3)इसलिए ar(△PRQ)=1/2ar(△PAQ)=1/2×1/4ar(△ABC) =1/8ar(△ABC) …………(3)
ΔABC में, P और Q क्रमशः AB और BC के मध्य-बिंदु हैं। इसलिए, मध्य-बिंदु सिद्धांत का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
PQ = 1/2AC
AC = 2PQ ⇒ AC = PT
साथ ही, PQ || AC ⇒  PT || AC
अत: PACT एक समांतर चतुर्भुज है।
ar(PACT) = ar(PACQ) + ar(ΔQTC)
= ar (PACQ) + ar (ΔPBQ [समीकरण (1) का प्रयोग करके]
एआर (पीएसीटी) = एआर (ΔABC) … (4)
∴ (CR PAC की माध्यिका है)ar(△ARC)=1/2ar(△PAC) (CR PAC की माध्यिका है)
(पीसी विकर्ण समांतर चतुर्भुज PACT है)=1/2×1/2ar(PACT) (पीसी विकर्ण समांतर चतुर्भुज PACT है)
=1/4ar(PACT)=14ar(△ABC)
⇒12ar(△ARC)=18ar(△ABC) [समीकरण (3) का प्रयोग करते हुए] ………(5)
⇒1/2ar(△ARC)=ar(△PRQ) [समीकरण (3) का प्रयोग करते हुए] ………(5)

(ii) ar(PACT) = ar(ΔPRQ) + ar(ΔARC) + ar(ΔQTC) + ar(ΔRQC)
समीकरणों (1), (2), (3), (4), और (5) से मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
ar(ΔABC)=1/8ar(ΔABC)+1/4ar(ΔABC)+1/4ar(ΔABC)+ar(ΔRQC)
ar(ΔABC)=5/8ar(ΔABC)+ar(ΔRQC)
ar(ΔRQC)=(1-5/8)ar(ΔABC)
ar(ΔRQC)=3/8ar(ΔABC)

(iii) समांतर चतुर्भुज PACT में,
(CR PAC की माध्यिका है)ar(ΔARC)=12ar(ΔPAC) (CR PAC की माध्यिका है)(पीसी समांतर चतुर्भुज PACT का विकर्ण है)
=1/2×1/2ar(PACT) (पीसी समांतर चतुर्भुज PACT का विकर्ण है)
=1/4ar(PACT)
=1/4ar(ABC)
= ar(ΔPBQ)

प्रश्न 8. आकृति में ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण AA समकोण है। BCED,ACFG और ABMN क्रमश : भुजाओं BC,CA और AB पर बने वर्ग हैं। रेखाखंड AX⊥DE भुजा BC को बिंदु Y पर मिलता हैं। दर्शाइए कि 

(i) ∆MBC = ∆ABD
(ii) ar(BYXD) = 2 ar(MBC)
(iii) ar(BYXD) = ax(ABMN)
(iv) ∆FCB ACE
(v) ar(CYXE) = 2 ar(FCB)
(vi) ar(CYXE) = ax(ACFG)
(vii) ar(BCED) = ar(ABMN) + ar(ACFG)

हल: हमारे पास एक है लम्ब ABC इस प्रकार है कि BCED, ACFG और ABMN क्रमशः इसकी भुजाओं BC, CA और AB पर वर्ग हैं। रेखा खंड AX 1 DE भी इस प्रकार खींचा गया है कि यह BC से Y पर मिलता है।

(i) CBD = ∠MBA [प्रत्येक 90°]
CBD + ∠ABC = MBA + ABC
(दोनों पक्षों में ABC जोड़कर)
या ABD = MBC
ABD और ∆MBC में, हमारे पास
AB = MB [एक वर्ग की भुजाएँ]
BD = BC
∠ABD = ∠MBC [ऊपर प्रमाणित]
ABD = ∆MBC [SAS सर्वांगसमता द्वारा]

(ii) चूँकि समांतर चतुर्भुज BYXD और ∆ABD एक ही आधार BD पर और एक ही समान्तर रेखाओं BD और AX के बीच स्थित हैं।
ar(∆ABD) = 1/2  ar (|| gmBYXD)
लेकिन ABD MBC [से (i) भाग]
क्योंकि सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता
है।
ar(∆MBC) = 1/2  ar (|| gmBYXD)
ar(|| ^gm  BYXD) = 2ar(∆MBC)

(iii) चूंकि, ar(|| gm  BYXD) = 2ar(∆MBC) …(1) [(ii) भाग से]
और या(वर्ग ABMN) = 2or(∆MBC) …(2)
[ABMN और AMBC हैं एक ही आधार पर MB और एक ही समानांतर MB और NC के बीच]
(1) और (2) से, हमारे पास
ar(BYXD) = ar(ABMN) है।

(iv) FCA = ∠BCE (प्रत्येक 90°)
या FCA+ ∠ACB = BCE+ ACB
[दोनों पक्षों में ACB जोड़कर]
FCB = ACE
FCB और ACE में, हमारे पास
FC = AC है [एक वर्ग की भुजाएँ]
CB = CE [एक वर्ग की भुजाएँ]
∠FCB = ACE [ऊपर सिद्ध]
∆FCB ≅ ACE [SAS सर्वांगसमता द्वारा]

(v) चूंकि, || gm  CYXE और ∆ACE एक ही आधार CE पर और समान समानांतर CE और AX के बीच स्थित हैं।
ar(|| gm  CYXE) = 2ar(∆ACE)
लेकिन ∆ACE ∆FCB [से (iv) भाग]
क्योंकि सर्वांगसम त्रिभुज क्षेत्रफलों में बराबर होते हैं।
ar (||< gm  CYXE) = 2ar(∆FCB)

(vi) चूंकि, ar(|| gm  CYXE) = 2ar(∆FCB) …(3)
[से (v) भाग]
साथ ही (quad. ACFG) और ∆FCB एक ही आधार FC पर और एक ही समानांतर FC के बीच स्थित हैं। और BG।
ar(quad. ACFG) = 2ar(∆FCB) …(4)
(3) और (4) से, हमें
ar(quad. CYXE) = ar(quad. ACFG) …(5) प्राप्त होता है।

(vii) हमारे पास ar(quad. BCED)
= ar(quad. CYXE) + ar(quad. BYXD)
= ar(quad. CYXE) + ar(quad. ABMN)
[से (iii) भाग]
इस प्रकार, ar ( क्वाड। BCED)
= AR (क्वाड। ABMN) + AR (क्वाड। ACAFG)
[से (vi) भाग]