NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 9 वृत्त (Circles) प्रश्नावली 9.3 in Hindi

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 10 वृत्त (Circles)

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 9 वृत्त (Circles) प्रश्नावली – 9.3 in Hindi वृत्त की सही परिभाषा क्या है?, वृत्त कितने प्रकार के होते हैं?, वृत्त का उदाहरण क्या है?, वृत्त का सूत्र क्या है?, वृत्त की खोज किसने की थी?, वृत्त के 5 गुण बताइए? इत्यादि के बारे में पढ़ेंगे और जानेने के साथ-साथ Class 9th Maths Chapter – 9 वृत्त (Circles) प्रश्नावली – 9.3 in Hindi के सभी प्रश्न-उत्तर को हल करेंगे।

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 10 वृत्त (Circles)

Chapter – 9

वृत्त

प्रश्नावली 9.3

प्रश्न 1. आकृति 9.23 में A,B और C केंद्र 0 वाले एक वृत्त पर तीन बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠BOC = 30° और ∠AOB = 60° है। यदि चाप ABC के अलावा वृत्त पर D एक बिंदु है, तो ∠ADC ज्ञात कीजिए।

हल: हमारे पास केंद्र O वाला एक वृत्त है, जैसे कि
∠AOB = 60° और ∠BOC = 30°
∵ ∠AOB + ∠BOC = ∠AOC
∴ ∠AOC = 60° + 30° = 90°
एक चाप द्वारा अंतरित कोण वृत्त पर केंद्र पर इसके द्वारा बनाया गया कोण आधा होता है।
∴ ∠ADC = 1/2 (∠AOC)
⇒ ∠ADC = 1/2 (90°)
⇒ ∠ADC = 45°

प्रश्न 2. एक वृत्त की जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है, जीवा द्वारा लघु चाप के एक बिंदु पर तथा दीर्घ चाप के एक बिंदु पर भी अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।
हल: हमारे पास एक वृत्त है जिसकी जीवा AB वृत्त की त्रिज्या के बराबर है।
∴ AO = BO = AB
⇒ ∆AOB एक समबाहु त्रिभुज है।
चूँकि समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° का होता है।
⇒ ∠AOB = 60°
चूँकि, चाप ACB वृत्त के केंद्र पर ∠AOB = 360° – 60° = 300° और वृत्त के लघु चाप पर एक बिंदु पर ∠ACB बनाता है।

∴ ∠ACB=1/2 [Reflex ∠AOB]
= 1/2 [300°] = 150°
अतः जीवा द्वारा लघु चाप पर अंतरित कोण = 150°
इसी प्रकार, ∠ADB = 1/2 [∠AOB] = 1/2 x 60° = 30° इसलिए जीवा द्वारा
प्रमुख चाप पर अंतरित कोण = 30°

प्रश्न 3. आकृति 9.24 में, ∠PQR = 100°, जहाँ P, Q और R केंद्र O वाले एक वृत्त पर बिंदु हैं। ∠OPR ज्ञात कीजिए।

हल: किसी वृत्त के एक चाप द्वारा उसके केंद्र पर बनाया गया कोण उसी चाप द्वारा परिधि के किसी बिंदु p पर बनाए गए कोण का दुगुना होता है।
∴ प्रतिवर्त ∠POR = 2∠PQR
लेकिन ∠PQR = 100°
∴ प्रतिवर्ती ∠POR = 2 x 100° = 200°
चूंकि, ∠POR + प्रतिवर्त ∠POR = 360°
⇒ ∠POR = 360° – 200°
⇒ ∠POR = 160°
चूँकि, OP = OR [समान वृत्त की त्रिज्याएँ]
∴ ∆POR में,
∠OPR = ∠ORP [त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
साथ ही, ∠OPR + ∠ORP + ∠POR = 180° [त्रिभुज के कोणों का योग 180°]
⇒ ∠OPR + ∠ORP + 160° = 180°
⇒ 2∠OPR = 180° -160° = 20° [∠OPR = ∠ORP]
⇒ ∠OPR = 20°/2  = 10°

प्रश्न 4. आकृति 9.25 में, ∠ABC = 69°, ∠ACB = 31°, ∠BDC ज्ञात कीजिए।

हल: ∆ABC में,
∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°
⇒ 69° + 31° + ∠BAC = 180°
⇒ ∠BAC = 180° – 100° = 80°
चूँकि एक ही वृत्तखंड में कोण बराबर होते हैं।
∴∠BDC = ∠BAC ⇒ ∠BDC = 80°

प्रश्न 5. आकृति 9.26 में, A, B और C एक वृत्त पर चार बिंदु हैं। AC और BD एक बिंदु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ∠ BEC = 130° और ∠ ECD = 20° है। ∠BAC ज्ञात कीजिए।

हल: ∠BEC = ∠EDC + ∠ECD
[आंतरिक विपरीत कोणों का योग बाह्य कोण के बराबर होता है]
⇒ 130° = ∠EDC + 20°
⇒ ∠EDC = 130° – 20° = 110°
⇒ ∠BDC = 110°
चूँकि, एक ही खंड में कोण बराबर होते हैं।
∴ ∠BAC = ∠BDC
⇒ ∠BAC = 110°

प्रश्न 6. ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण बिंदु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠DBC = 70°, ∠BAC 30° है, तो ∠BCD ज्ञात कीजिए। आगे, यदि AB = BC है, तो ∠ECD ज्ञात कीजिए।
हल: चूँकि वृत्त के एक ही वृत्तखंड में कोण बराबर होते हैं।
∴ ∠BAC = ∠BDC
⇒ ∠BDC = 30°

इसलिए, ∠DBC = 70° [दिया है]
∆BCD में,
∠BCD + ∠DBC + ∠CDB = 180° [त्रिभुज के कोणों का योग 180° है]
⇒ ∠BCD + 70° + 30° = 180°
⇒ ∠BCD = 180° -100° = 80°
अब, ∆ABC में,
AB = BC [दिया है]
∴ ∠BCA = ∠BAC [त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
⇒ ∠BCA = 30° [∵ ∠B AC = 30°]
अब, ∠BCA + ∠BCD = ∠BCD
⇒ 30° + ∠ECD = 80°
⇒ ∠BCD = 80° – 30°
⇒ ∠BCD = 50°

प्रश्न 7. यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण, चतुर्भुज के शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो सिद्ध कीजिए कि यह एक आयत है।
हल: चूँकि AC और BD व्यास हैं।
⇒ AC = BD …(i) [एक वृत्त के सभी व्यास समान हैं]
साथ ही, ∠BAD = 90° [अर्धवृत्त में बनने वाला कोण 90° है]
इसी प्रकार, ∠ABC = 90°, ∠BCD = 90°
और ∠CDA = 90°

अब, ∆ABC और ∆BAD में,
AC = BD [(i) से]
AB = BA [उभयनिष्ठ कर्ण]
∠ABC = ∠BAD [प्रत्येक 90° के बराबर]
∴ ∆ABC ≅ ∆BAD [RHS सर्वांगसमता मानदंड द्वारा]
⇒ BC = AD [CPCT]
इसी प्रकार, AB = DC
इस प्रकार, चक्रीय चतुर्भुज ABCD ऐसा है कि इसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं और इसका प्रत्येक कोण एक समकोण है।
∴ ABCD एक आयत है।

प्रश्न 8. यदि किसी समलंब की असमांतर भुजाएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।
हल: हमारे पास एक समलम्ब ABCD इस प्रकार है कि AB ॥ CD और AD = BC
हम खींचे BE॥ AD इस प्रकार है कि ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
∵ समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण और सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
∴ ∠BAD = ∠BED         …(i)
और AD = BE              …(ii)
परंतु AD = BC [दिया है]  …(iii)
∴ (ii) और (iii) से, हमारे पास BE = BC
⇒ ∠BCE = ∠BEC … (iv) [त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
अब, ∠BED + ∠BEC = 180° [रैखिक युग्म]
⇒ ∠BAD + ∠BCE = 180° [(i) और (iv) का प्रयोग करके]
अर्थात चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोणों का एक युग्म 180° है।
∴ ABCD चक्रीय है।
⇒ समलंब ABCD चक्रीय है।

प्रश्न 9. दो वृत्त दो बिंदुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं। B से होकर, दो रेखाखंड ABD और PBQ वृत्तों को क्रमशः A,D और P,Q पर प्रतिच्छेद करने के लिए खींचे गए हैं (देखिए आकृति 9.27)। सिद्ध कीजिए कि ∠ACP = ∠QCD।

हल: चूँकि वृत्त के एक ही वृत्तखंड में कोण बराबर होते हैं।
∴ ∠ACP = ∠ABP …(i)
इसी प्रकार, ∠QCD = ∠QBD …(ii)
चूंकि, ∠ABP = ∠QBD …(iii) [शीर्षाभिमुख कोण]
∴ (i), (ii) और (iii) से,
∠ACP = ∠QCD

प्रश्न 10. यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचे जाएँ, तो सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों का प्रतिच्छेदन बिंदु तीसरी भुजा पर स्थित है।
हल: हमारे पास ∆ABC और दो वृत्त हैं जिनका व्यास क्रमशः AB और AC है। वे A के अतिरिक्त बिंदु D पर प्रतिच्छेद करते हैं।
आइए हम A और D को मिलाते हैं।
∵ AB एक व्यास है।
∴ ∠ADB अर्धवृत्त में बना कोण है।
⇒ ∠ADB = 90° ……(i)
इसी प्रकार, ∠ADC = 90° ….(ii)
(i) और (ii) को जोड़ने पर,
∠ADB + ∠ADC = 90° + 90° = 180°
अर्थात, B, D और C संरेख बिंदु हैं।
⇒ BC एक सरल रेखा है।
अत: D, BC पर स्थित है।

प्रश्न 11. उभयनिष्ठ कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠CAD = ∠CBD.
हल: हमारे पास ∆ABC और ∆ADC इस प्रकार हैं कि उनका उभयनिष्ठ कर्ण AC है और ∠ADC = 90° = ∠ABC
∴ दोनों त्रिभुज अर्धवृत्त में हैं।

स्थिति – I: यदि दोनों त्रिभुज एक ही अर्धवृत्त में हैं।
⇒ A, B, C और D चक्रीय हैं।
BD में जोड़े।
DC एक तार है।
∴ ∠CAD और ∠CBD एक ही खण्ड में बनते हैं।
⇒ ∠CAD = ∠CBD

स्थिति – II: यदि दोनों त्रिभुज एक ही अर्धवृत्त में नहीं हैं।
⇒ A,B,C और D चक्रीय हैं। बी.डी. में शामिल हों। डीसी एक तार है।
∴ ∠CAD और ∠CBD एक ही खण्ड में बनते हैं।
⇒ ∠CAD = ∠CBD

प्रश्न 12. सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समांतर चतुर्भुज एक आयत होता है।
हल: हमारे पास एक चक्रीय समांतर चतुर्भुज ABCD है। चूँकि ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∴ इसके सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
⇒ ∠A + ∠C = 180° …(i)
परंतु ∠A = ∠C …(ii)
[समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
(i) और (ii) से, हमें
∠A = ∠C = 90°
इसी प्रकार,
∠B = ∠D = 90°
⇒ समांतर चतुर्भुज ABCD का प्रत्येक कोण 90° का है।
अत: ABCD एक आयत है।

• Examples
• प्रश्नावली – 9.1
• प्रश्नावली – 9.2
  

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