NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 5 यूक्लिड ज्यामिति का परिचय (Introduction to Euclid’s Geometry) प्रश्नावली 5.1

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 5 यूक्लिड ज्यामिति का परिचय (Introduction to Euclid’s Geometry)

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 5 यूक्लिड ज्यामिति का परिचय (Introduction to Euclid’s Geometry) प्रश्नावली 5.1 यूक्लिड की ज्यामिति क्या है?, यूक्लिड ज्यामिति की कितनी अवधारणाएं हैं?, ज्यामिति का जनक कौन है?, यूक्लिड ज्यामिति क्या है?, यूक्लिडियन ज्यामिति की खोज किसने की थी?, यूक्लिड ने ज्यामिति का आविष्कार कैसे किया?, यूक्लिड ज्यामिति का गणित में क्या महत्व है?, ज्यामिति कितने प्रकार के होते हैं?, यूक्लिडियन ज्यामिति कैसे सीखें?, यूक्लिड ज्यामिति का जनक क्यों है?, यूक्लिड ने ज्यामिति कब बनाई?, यूक्लिड क्यों प्रसिद्ध है?, यूक्लिड का मतलब क्या होता है?, यूक्लिड के ग्रंथ का नाम क्या है?, यूक्लिड की शिक्षा क्या है?, यूक्लिड का दूसरा नाम क्या है?, यूक्लिड ज्यामिति में कितने अध्याय हैं?, यूक्लिड में कितने अध्याय हैं ?, यूक्लिड के तत्वों में कितने रूप होते हैं?, यूक्लिड कब जीवित था आदि आगे पढ़ेंगे |

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 5 यूक्लिड ज्यामिति का परिचय (Introduction to Euclid’s Geometry)

Chapter – 5

यूक्लिड ज्यामिति का परिचय

प्रश्नावली 5.1

प्रश्न 1.निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य है और कौन-से कथन असत्य हैं ? अपने उत्तरों के लिए कारण दीजिए |
(i) एक बिंदु से होकर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है |
(ii) दो भिन्न बिंदुओं से होकर जाने वाली असंख्य रेखाएँ हैं |
(ii) एक सांत रेखा दोनों ओर अनिश्चित रूप से बड़ाई जा सकती है |
(iv) यदि दो वृत्त बराबर है, तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं |
(v) आकृति 5.9 में, यदि AB = PQ और PQ = XY है, तो AB=XY होगा |

हल: (i) असत्य
कारण : यदि हम एक कागज़ की सतह पर एक बिंदु 0 अंकित करते हैं। पेंसिल और स्केल का उपयोग करके, हम O से होकर जाने वाली अनंत संख्या में सीधी रेखाएँ खींच सकते हैं ।

(ii) असत्य
कारण: निम्नलिखित आकृति में, P से होकर जाने वाली कई सीधी रेखाएँ हैं। Q से गुजरने वाली कई रेखाएँ हैं। लेकिन एक और केवल एक रेखा है जो P के साथ-साथ Q से भी गुजर रही है।

(iii) सत्य
कारण: अभिधारणा 2 कहता है कि “एक समाप्त रेखा को अनिश्चित काल तक बनाया जा सकता है।”

(iv) सत्य
कारण : एक वृत्त के क्षेत्र को दूसरे पर आरोपित करने पर, हम उन्हें संपाती पाते हैं। तो, उनके केंद्र और सीमाएं मेल खाती हैं।
इस प्रकार, उनकी त्रिज्याएँ संपाती या बराबर होंगी।

(v) सत्य
कारण : यूक्लिड के अभिगृहीत के अनुसार जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर होती हैं वे एक दूसरे के बराबर होती हैं।

प्रश्न 2.निम्नलिखित पदों में से प्रत्येक की परिभाषा दीजिए | क्या इनके लिए कुछ ऐसे पद हैं, जिन्हें परिभाषित करने के आवश्यकता है ? वे क्या हैं और इन्हें कैसे परिभाषित कर पाएँगे ?
(i) समांतर रेखाएँ
(ii) लम्ब रेखाएँ
(iii) रेखाखण्ड
(iv) वृत्त की त्रिज्या
(v) वर्ग

हल: हां, हमें बिंदु, रेखा, किरण, कोण, तल, आवश्यक शर्तों को परिभाषित करने से पहले वृत्त और चतुर्भुज, आदि।
आवश्यक शर्तों की परिभाषा नीचे दी गई है:

(i) समानांतर रेखाएँ:
एक समतल में दो रेखाएँ l और m समानांतर कहलाती हैं, यदि उनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है और हम उन्हें l के रूप में लिखते हैं। एम।

(ii) लंब रेखाएँ:
एक ही तल में पड़ी दो रेखाएँ p और q लंब कहलाती हैं यदि वे एक समकोण बनाती हैं और हम उन्हें p q के रूप में लिखते हैं।

(iii) रेखाखंड:
एक रेखाखंड रेखा का एक भाग होता है और इसकी एक निश्चित लंबाई होती है। इसके दो अंत बिंदु हैं। आकृति में, एक रेखा खंड को अंतिम बिंदु A और B के साथ दिखाया गया है। इसे  A B ¯¯¯¯¯¯¯¯  या  B A के रूप में लिखा जाता है ।

(iv) वृत्त की त्रिज्या : वृत्त
पर केंद्र से एक बिंदु तक की दूरी वृत्त की त्रिज्या कहलाती है। आकृति में, P केंद्र है और Q वृत्त पर एक बिंदु है, तो PQ त्रिज्या है।

(v) वर्ग:
एक चतुर्भुज जिसमें चारों कोण समकोण हों और चारों भुजाएँ बराबर हों, वर्ग कहलाता है। दी गई आकृति में, PQRS एक वर्ग है।

प्रश्न 3.नीचे दी हुई दो अभिधारणाओं पर विचार कीजिए :
(i) दो भिन्न बिंदु A और B दिए रहने पर, एक तीसरा बिंदु C ऐसा विद्यमान है जो A और B के बीच स्थिति होता है |
(ii) यहां कम से कम ऐसे तीन बिंदु विद्यमान हैं कि वे एक रेखा पर स्थित हैं |
क्या इस अभिधारणाओं में कोई अपरिभाषित शब्द हैं ? क्या ये अभिधारणाएँ अविरोधी हैं ? क्या ये यूक्लिड की अभिधारणाओं से प्राप्त होती है ? स्पष्ट कीजिए |

हल: हाँ, इन अभिधारणाओं में ‘बिंदु और रेखा’ जैसे अपरिभाषित पद हैं। साथ ही, ये अभिगृहीत सुसंगत हैं क्योंकि वे दो भिन्न स्थितियों से निपटते हैं क्योंकि

(i) कहता है कि दो बिंदु A और B दिए जाने पर, उनके बीच की रेखा पर एक बिंदु C पड़ा हुआ है। जबकि

(ii) कहता है कि दिए गए बिंदु A और B, आप बिंदु C को ले सकते हैं जो A और B से होकर जाने वाली रेखा पर नहीं है।
नहीं, ये अभिधारणाएँ यूक्लिड की अभिधारणाओं का अनुसरण नहीं करती हैं, हालाँकि वे अभिगृहीत से अनुसरण करती हैं, “दो अलग-अलग बिंदुओं को देखते हुए, एक अनूठी रेखा है जो उनसे होकर गुजरती है।”

प्रश्न 4.यदि दो बिंदुओं A और B के बीच एक बिंदु C ऐसा स्थित है कि AC = BC है, तो सिद्ध कीजिए कि AC = = = 1/2 AB है | एक आकृति खिंच कर इसे स्पष्ट कीजिए

हल: हमारे पास, AC = BC [दिया गया है] AC + AC = BC + AC [यदि बराबर में जोड़ा जाए तो पूर्ण बराबर होते हैं] या 2AC = AB [∵ AC + BC = AB] या AC =  1/2 A B

प्रश्न 5. प्रश्न 4 में, C रेखाखंड AB का  मध्य-बिंदु कहलाता है | सिद्ध कीजिए कि एक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है |

हल: माना दी गई रेखा AB में दो मध्य बिंदु ‘C’ और ‘D’ हैं। AC =  1 2 A B  ……(i) और AD =  1 2 A B  ………(ii) (i) को (ii) से घटाने पर हमें AD – AC =  1 2 A B – 1 2 A B या AD – प्राप्त होता है। एसी = 0 या CD = 0 or C और D मेल खाते हैं। इस प्रकार, प्रत्येक रेखाखंड में एक और केवल एक मध्य-बिंदु होता है।

प्रश्न 6. आकृति 5.10 में, यदि AC = BD है, तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है |

हल: दिया है : AC = BD सिद्ध करना  है : AB = CD प्रमाण :  AC = BD   ……… (1)

समीकरण (1) में से BC घटाने पर;

AC – BC = BD – BC

AB = CD

प्रश्न 7. यूक्लिड के अभिगृहीतों की सूची में दिया हुआ अभिगृहित 5 एक सर्वव्यापी सत्य क्यों मन जाता है ? (ध्यान दीजिए कि यह प्रश्न पाँचवी अभिधारणा से संबन्धित नहीं है )

हल: जैसा कि सभी स्थितियों में कथन सत्य है। इसलिए, इसे ‘सार्वभौमिक सत्य’ माना जाता है।

• Examples

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