NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations in Two Variables) प्रश्नावली – 4.3

May 30, 2022

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations in Two Variables)

Textbook	NCERT
Class	9^th
Subject	गणित (Mathematics)
Chapter	4^th
Chapter Name	दो चरों वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations in Two Variables)
Category	Class 9th गणित
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations in Two Variables) प्रश्नावली – 4.3 जिसमें हम रैखिक समीकरण का मानक रूप क्या है, रैखिक समीकरण का सबसे व्यापक रूप क्या है, 3 रैखिक समीकरण क्या हैं, y 2x 5 रैखिक है या अरेखीय, द्विघात समीकरण के बाद क्या है, रैखिक समीकरण y 3x 5 के कितने हल, 2 एक रैखिक समीकरण युग्म जिसका कोई हल नहीं, होता क्या कहलाता है , समीकरण का सूत्र क्या होता है, द्विघात बहुपद में कितने शून्य होते हैं, द्विघात समीकरण के दो मूल क्या है, द्विघात सूत्र क्या करता है, द्विघात में शून्य का दूसरा शब्द क्या है, द्विघात में कितने वास्तविक मूल होते हैं, द्विघात सूत्र का दूसरा नाम क्या है आदि इसके बारे में हम विस्तार से पढ़ें।

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations in Two Variables)

Chapter – 4

दो चरों वाले रैखिक समीकरण

प्रश्नावली – 4.3

प्रश्न 1. दो चरों वाले निम्नलिखित रैखिक समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिए:

(i) x + y = 4

हल: x + y = 4 y = 4 – x
यदि हमारे पास x = 0 है, तो y = 4 – 0 = 4
x = 1, फिर y = 4 – 1 = 3
x = 2, फिर y = 4 – 2 = 2
हमें निम्न तालिका प्राप्त होती है:

X	0	1	2
Y	4	3	2

क्रमित युग्मों (0, 4), (1,3) और (2,2) को ग्राफ पेपर पर आलेखित करें। इन बिंदुओं को मिलाने पर हमें एक सीधी रेखा AB प्राप्त होती है, जैसा कि दिखाया गया है।

अत: रेखा AB x + y = 4 . का अभीष्ट आलेख है

(ii) x – y = 2

हल: x – y = 2 y = x – 2
यदि हमारे पास x = 0 है, तो y = 0 – 2 = -2
x = 1, फिर y = 1 – 2 = -1
x = 2, तो y = 2 – 2 = 0
हमें निम्न तालिका प्राप्त होती है:

X	0	1	2
Y	– 2	– 1	0

क्रमित युग्मों (0, -2), (1, -1) और (2, 0) को ग्राफ पेपर पर आलेखित करें। इन बिंदुओं को मिलाने पर हमें एक सीधी रेखा PQ प्राप्त होती है, जैसा कि दिखाया गया है। इस प्रकार, i me x – y = 2 . का अभीष्ट आलेख है

(iii) y = 3x

हल: y = 3x
यदि हमारे पास x = 0 है,
तो y = 3(0) y = 0
x = 1, फिर y = 3(1) = 3
x= -1, तो y = 3(-1) = -3
हमें निम्न तालिका प्राप्त होती है:

X	0	1	– 1
Y	0	3	– 3

क्रमित युग्मों (0, 0), (1, 3) और (-1, -3) को ग्राफ पेपर पर आलेखित करें। इन बिंदुओं को मिलाने पर हमें एक सीधी रेखा LM प्राप्त होती है जैसा कि दिखाया गया है। अत: रेखा LM y = 3x का अभीष्ट आलेख है।

(iv) 3 = 2x + y

हल: 3 = 2x + y ⇒ y = 3 – 2x
यदि हमारे पास x = 0 है, तो y = 3 – 2(0) = 3
x = 1, तो y = 3 – 2(1) = 3 – 2 = 1
x = 2, तो y = 3 – 2(2) = 3 – 4 = -1
हमें निम्न तालिका प्राप्त होती है:

X	0	1	2
Y	3.	1	– 1

क्रमित युग्मों (0, 3), (1, 1) और (2, – 1) को ग्राफ पेपर पर आलेखित करें। इन बिंदुओं को मिलाने पर हमें एक सीधी रेखा सीडी प्राप्त होती है, जैसा कि दिखाया गया है। अत: रेखा CD 3 = 2x + y का अभीष्ट आलेख है।

प्रश्न 2. बिंदु (2, 14) से होकर जाने वाली दो रेखाओं के समीकरण लिखिए। इस प्रकार की और कितनी रेखाएँ हो सकती हैं और क्यों?
हल: बिंदु (2, 14) में x = 2 और y = 14 है
अत: इस मान को संतुष्ट करने वाले दो समीकरण निम्न है :
x + y = 16
और x – y = -12
इस प्रकार की अनंत रेखाए हो सकती है क्योंकि ये रेखाएँ एक ही बिंदु (2, 14) से गुजरेंगी।

प्रश्न 3. यदि बिंदु (3,4) समीकरणों 3y = ax + 7 के आलेख पर स्थित है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल: 3y = ax + 7
बिंदु (3, 4) में x = 3 और y = 4 है।
समीकरण 3y = ax + 7 में x और y का मान रखने पर
3(4) = a(3) +7
12 = 3a + 7
3a = 12 – 7
3a = 5

प्रश्न 4. एक नगर में टैक्सी का किराया निम्नलिखित है : पहले किलोमीटर का किराया 8 रु है और उसके बाद की दूरी के लिए प्रति किलोमीटर का किराया 5 रु है। यदि तय की गई दूरी x किलोमीटर हो, और कुल किराया y रु हो, तो इसका एक रैखिक समीकरण लिखिए और उसका आलेख खींचिए।
हल: तय की गई दुरी = x km
कुल किराया = y रु
प्रश्नानुसार,
पहले किलोमीटर का किराया + 5(तय की गई दुरी – 1) = y
8 + 5(x – 1) = y
⇒ 8 + 5x – 5 = y
⇒ 3 + 5x = y
⇒ 5x –y + 3 = 0
⇒ y = 5x + 3
समीकरण में x का मान 0, -1 तथा 1 रखने पर y का मान क्रमश: 3, -2 और 8 प्राप्त होता है।

X	0	– 1	– 2
Y	3	– 2	– 7

अब, क्रमित युग्मों (0, 3), (-1, -2) और (-2, -7) को एक ग्राफ पेपर पर आलेखित करने और उन्हें मिलाने पर, हमें दिखाए गए अनुसार एक सीधी रेखा PQ प्राप्त होती है। इस प्रकार, रेखा PQ रैखिक समीकरण y = 5x + 3 का अभीष्ट आलेख है।

प्रश्न 5. निम्नलिखित आलेखों में से प्रत्येक आलेख के लिए दिए गए विकल्पों से सही समीकरण का चयन कीजिए:

आकृति 4.6 के लिए	आकृति 4.7 के लिए
(i) y = x	(i) y = x + 2
(ii) x + y = 0	(ii) y = x – 2
(iii) y = 2x	(iii) y = -x + 2
(iv) 2 + 3y = 7x	(iv) x + 2y = 6

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ex 4.3 Q5

हल: आकृति 4.6 के लिए
(i) y = x
0 = 0
परन्तु
y = x

1 space not equal to space minus space 1

यह सही विकल्प नहीं है।

(ii) y + x = 0
0 + 0 = 0
इसी प्रकार
-1 + 1 = 0
y + x = 0
यह सही विकल्प है।(iii) y = 2x

0 = 2(0)
0 = 0
परन्तु (-1, 1) और (1, -1) के लिए असत्य है।(iv) 2 + 3y = 7x

2 + 3(0) = 7(0)
$2 space not equal to space 0$ अत सही समीकरण x + y = 0 हैं।

आकृति 4.7 के लिए
(i) y = x + 2
$0 space not equal to space 2 space plus space 2$ यह सही विकल्प नहीं है।

(ii) y = x – 2
0 = 2 – 2
0 = 0
परन्तु (0, 2)
$2 space not equal to space 0 space minus space 2 2 space not equal to space minus 2$ यह सही विकल्प नहीं है।

(iii) y = – x + 2
0 = – 2 + 2
0 = 0यह समीकरण अन्य सभी बिंदुओं (-1, 3), (0, 2) को भी संतुष्ट करता है।

(iv) x + 2y = 6
2 + 2(0) = 6
$2 space not equal to space 6$ यह सही विकल्प नहीं है।
केवल (iii) सही है।

प्रश्न 6. एक अचर बल लगाने पर एक पिंड द्वारा किया गया कार्य पिंड द्वारा तय की गयी दूरी के अनुक्रमानुपाती होता है। इस कथन को दो चरों वाले एक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए और अचर बल 5 मात्रक लेकर इसका आलेख खींचिए। यदि पिंड द्वारा तय की गई दूरी

(i) 2 मात्रक (ii) 0 मात्रक
हो, तो आलेख से किया हुआ कार्य ज्ञात कीजिए।

हल: स्थिर बल 5 इकाई है।
माना कि तय की गई दूरी = x इकाई और किया गया कार्य = y इकाई।
किया गया कार्य = बल x दूरी
y = 5 xx y = 5x
ग्राफ खींचने के लिए, हमारे पास y = 5x है
जब x = 0, तब y = 5(0) = 0
x = 1, फिर y = 5(1) = 5
x = -1, तो y = 5(-1) = -5
हमें निम्न तालिका प्राप्त होती है:

X	0	1	– 1
Y	0	5	– 5

क्रमित युग्मों (0, 0), (1, 5) और (-1, -5) को ग्राफ पेपर पर आलेखित करने और बिंदुओं को मिलाने पर हमें एक सीधी रेखा AB प्राप्त होती है, जैसा कि दिखाया गया है। ग्राफ से, हम प्राप्त करते हैं (i) तय की गई दूरी =2 इकाई अर्थात, x = 2 यदि x = 2, तो y = 5(2) = 10 किया गया कार्य = 10 इकाई।

(ii) तय की गई दूरी = 0 इकाई अर्थात x = 0
यदि x = 0 y = 5(0) – 0
किया गया कार्य = 0 इकाई।

प्रश्न 7. एक विद्यालय की कक्षा IX की छात्राएं यामिनी और फातिमा ने मिलकर भूकंप पीडि़त व्यक्तियों की सहायता के लिए प्रधानमंत्री राहत कोष में 100 रु अंशदान दिया। एक रैखिक समीकरण लिखिए जो इन आंकड़ों को संतुष्ट करती हो। (आप उनका अंशदान x रु और y रु मान सकते हैं)। इस समीकरण का आलेख खींचिए।
हल: माना यामिनी का योगदान = रु. x
और फातिमा का योगदान रु। y
∴ हमारे पास x + y = 100 y = 100 – x
अब, जब x = 0, y = 100 – 0 = 100
x = 50, y = 100 – 50 = 50
x = 100, y = 100 – 100 = 0
हमें निम्न तालिका प्राप्त होती है:

X	0	50	100
Y	100	50	0

क्रमित जोड़े (0,100), (50,50) और (100, 0) को उचित पैमाने का उपयोग करके एक ग्राफ पेपर पर प्लॉट करने और इन बिंदुओं को मिलाने पर, हमें एक सीधी रेखा PQ मिलती है, जैसा कि दिखाया गया है। इस प्रकार, रेखा PQ रैखिक समीकरण x + y = 100 का अभीष्ट आलेख है।

प्रश्न 8. अमेरिका और कनाडा जैसे देशों में तापमान फारेनहाइट में मापा जाता है, जबकि भारत जैसे देशो में तापमान सेल्सियस में मापा जाता है। यहाँ फारेनहाइट को सेल्सियस में रूपांतरित करने वाला एक रेखित समीकरण दिया गया है:
F = ( 9 / 5 ) C + 32
(i) सेल्सियस को x- अक्ष और फारेनहाइट को y- अक्ष मानकर ऊपर दिए गए रैखिक समीकरण का आलेख खींचिए।

हल: हमारे पास
F = ( 9 / 5  )C + 32
है जब C = 0, F = ( 9 / 5  ) x 0 + 32 = 32
जब C = 15, F = ( 9 \ 5  ) (-15) + 32 = -27 + 32 = 5
जब C = -10, f =  9 / 5  (-10)+32 = -18 + 32 = 14
हमारे पास निम्न तालिका है:

C	0	– 15	– 10
F	32	5	14

क्रमित युग्मों (0, 32), (-15, 5) और (-10,14) को एक ग्राफ पेपर पर आलेखित करना। इन बिंदुओं को मिलाने पर हमें एक सीधी रेखा AB प्राप्त होती है।

(ii) यदि तापमान 30^∘C है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा?

हल: ग्राफ से, हमारे पास 86°F 30°C के संगत है।

(iii) यदि तापमान 95^∘F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा?

हल: ग्राफ से, हमारे पास 95°F, 35°C के अनुरूप है।

(iv) यदि तापमान 0^∘C है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा? और यदि तापमान 0^∘F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा?

हल: हमें प्राप्त है, C = 0
(1) से, हमें
F = ( 9 / 5 )0 + 32 = 32 प्राप्त होता है
साथ ही, F = 0
(1) से, हमें
0 = ( 9 / 5 ) C + 32 – प्राप्त होता है। 32 × 5 9 = C C = -17.8

(v) क्या ऐसा भी कोई तापमान है जो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मकत: समान है? यदि हाँ तो उसे ज्ञात कीजिए।

हल: जब f = C (संख्यात्मक रूप से)
(1) से, हमें
f = 9 / 5 f + 32 ⇒ f –
9 / 5f = 32 – 4 5 f = 32 मिलता है F = -40
∴ F और C दोनों में तापमान – 40° है।

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