NCERT Solution Class 6th Maths Chapter – 3 संख्याओं के साथ खेलना (Playing With Numbers) Examples in Hindi

NCERT Solution Class 6th Maths Chapter – 3 संख्याओं के साथ खेलना (Playing With Numbers)

NCERT Solution Class 6th Maths Chapter – 3 संख्याओं के साथ खेलना (Playing With Numbers) हम इस अध्याय में गुणजों और गुणनखंडों, अभाज्य संख्या, भाज्य, संख्याएँ, विषम संख्याएँ, विभाज्यता, दो या अधिक संख्याओं का (म.स.) (HCF), दो या अधिक संख्याओं का (ल.स.) (LCM), सार्व गुणजों इत्यादि के बारे में पढ़ेंगे और जानने के साथ ही साथ NCERT Solution Class 6th Maths Chapter – 3 संख्याओं के साथ खेलना प्रश्नावली के सभी प्रश्न-उत्तर को हल करेंगे।

NCERT Solution Class 6th Maths Chapter – 3 Playing With Numbers (संख्याओं के साथ खेलना)

Chapter – 3

संख्याओं के साथ खेलना

Examples

उदाहरण 1. 68 के सभी गुणनखंडों को लिखिए।

हल: हम देखते हैं कि
68 = 1 × 68
68 = 2 × 34
68 = 4 × 17
68 = 17 × 4

यहाँ रुक जाइए, क्योंकि 4 और 17 पहले आ चुके हैं।
इस प्रकार, 68 के सभी गुणनखंड 1, 2, 4, 17, 34 और 68 हैं।

उदाहरण 2. 36 के गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

हल: 36 = 1 × 36
36 = 2 × 18
36 = 3 × 12
36 = 4 × 9
36 = 6 × 6

यहाँ रुक जाइए, क्योंकि दोनों गुणनखंड (6) समान हैं।
इस प्रकार, वांछित गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 और 36 हैं।

उदाहरण 3. 6 के सभी प्रथम पाँच गुणज लिखिए।

हल: वांछित गुणज
6 ×1 = 6, 6 × 2 = 12, 6 × 3 = 18, 6 × 4 = 24 और 6 × 5 = 30
अर्थात् 6, 12, 18, 24 और 30 हैं।

उदाहरण 4. 15 से छोटी सभी अभाज्य संख्याएँ लिखिए।

हल: छलनी विधि से प्राप्त उपरोक्त सारणी को देखकर, हम सरलता से वांछित अभाज्य संख्याएँ लिख सकते हैं। ये हैं : 2, 3, 5, 7, 11 और 13

उदाहरण 5. 75, 60 और 210 के सार्व गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

हल: 75 के गुणनखंड 1, 3, 5, 15, 25 और 75 हैं।
60 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30 और 60 हैं।
210 के गुणनखंड 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105 और 210 हैं।

इस प्रकार 75, 60 और 210 के सार्व गुणनखंड 1, 3, 5 और 15 हैं।

उदाहरण 6. 3, 4 और 9 के सार्व गुणज ज्ञात कीजिए।

हल: 3 के गुणज 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48,. हैं।
4 के गुणज 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48,…” हैं।
9 के गुणज 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, … हैं।
स्पष्टत: 3, 4 और 9 के सार्व गुणज 36, 72, 108,… हैं।

उदाहरण 7. 980 का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए।

हल: हम ऐसा निम्न प्रकार करते हैं-
हम संख्या 980 को 2, 3, 5, 7 इत्यादि से इसी क्रम में बार- बार भाग देते।
हैं। यह प्रक्रिया हम तब तक जारी रखते हैं, जब तक कि भागफल इनसे विभाजित होता रहे।

इस प्रकार 980 का अभाज्य गुणनखंडन है : 980 = 2 × 2 × 5 × 7 × 7

उदाहरण 8. 12 और 18 का ल.स. ज्ञात कीजिए।

हल: हम जानते हैं कि 12 और 18 के सार्व गुणज 36, 72, 108 इत्यादि हैं।
इनमें सबसे छोटा 36 है। आइए, एक और विधि से इसे निकालें।
12 और 18 के अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैं-
12 = 2 × 2 × 3
18 = 2 × 3 × 3

इन अभाज्य गुणनखंडनों में, अभाज्य गुणनखंड 2 अधिकतम दो बार आता है (यह 12 के गुणनखंडों में है)। इसी प्रकार अभाज्य गुणनखंड 3 अधिकतम दो बार आता है (यह 18 के गुणनखंडों में है)। दो संख्याओं का ल.स. उन अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल है जो उन संख्याओं में अधिकतम बार आते हैं। अतः इनका ल.स. = 2 × 2 × 3 × 3 = 36 है।

उदाहरण 9. 24 और 90 का ल.स. ज्ञात कीजिए।

हल: 24 और 90 के अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैं:
24 = 2 × 2 × 2 × 3
90 = 2 × 3 × 3 × 5

इन अभाज्य गुणनखंडनों में, अभाज्य गुणनखंड 2 अधिकतम तीन बार आता है (यह 24 में है); अभाज्य गुणनखंड 3 दो बार आता है (यह 90 में है) और अभाज्य गुणनखंड 5 केवल एक बार 90 में आता है।
इसलिए, वांछित ल. स. = (2 × 2 × 2) × (3 × 3) × 5 = 360

उदाहरण 10. 40, 48 और 45 का ल.स. ज्ञात कीजिए।

हल: 40, 48 और 45 के अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैं-
40 = 2 × 2 × 2 × 5
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
45 = 3 × 3 × 5

अभाज्य गुणनखंड 2 अधिकतम चार बार (यह 48 में है), अभाज्य गुणनखंड 3 अधिकतम दो बार (यह 45 में है) और अभाज्य गुणनखंड 5 केवल एक बार (यह 40 और 45 दोनों में है) आता है।

अतः वांछित ल.स. = (2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3) × 5 = 720
लघुतम समापवर्त्य (ल. स.) को एक अन्य विधि से भी ज्ञात किया जा सकता
है, जो अगले उदाहरण में दर्शाई गई है।

उदाहरण 11. 20, 25 और 30 का ल.स. ज्ञात कीजिए।

हल: हम संख्याओं को एक पंक्ति में नीचे दर्शाए अनुसार लिखते हैं।

अतः, ल.स. = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 300

(a) (सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 से भाग दीजिए। 25 जैसी संख्या 2 से विभाज्य नहीं है। इसलिए इन्हें अगली पंक्ति में वैसा का वैसा ही रख दिया जाता है)।
(b) (पुन: 2 से भाग दीजिए। इसे तब तक जारी रखिए जब तक 2 के गुणज मिलते रहें)।
(c) (अगली अभाज्य संख्या 3 से भाग दीजिए)
(d) (अगली अभाज्य संख्या 5 से भाग दीजिए)
(e) (पुन: 5 से भाग दीजिए)

उदाहरण 12. दो टैंकरों (Tankers) में क्रमश: 850 लीटर और 680 लीटर मिट्टी का तेल आता है। उस बर्तन की अधिकतम धारिता (Capacity) ज्ञात कीजिए, जो इन दोनों टैंकरों के तेल को पूरा-पूरा माप देगा।

हल: वांछित बर्तन को दोनों टैंकरों के तेल को पूरा-पूरा मापना है। अतः इसकी धारिता दोनों टैंकरों की धारिताओं का एक पूरा-पूरा विभाजक होगा। साथ ही, इसकी धारिता अधिकतम भी होनी चाहिए।

अतः ऐसे बर्तन की अधिकतम धारिता 850 और 680 का म. स. होगी। इसे निम्नलिखित प्रकार से ज्ञात किया जाता

अतः,

850 = 2 × 5 × 5 × 17 = 2 × 5 × 17 × 5
680 = 2 × 2 × 2 × 5 × 17 = 2 × 5 × 17 × 2 × 2

= 850 और 680 के सार्व गुणनखंड 2, 5 और 17 है।

अत:, 850 और 680 का म.स. 2 × 5 × 17 = 170 है।

अत: वांछित बर्तन की अधिकतम धारिता 170 लीटर है। यह पहले बर्तन को 5 बार में और दूसरे को 4 बार में पूरा-पूरा माप देगा।

उदाहरण 13. प्रात:कालीन सैर में, तीन व्यक्ति एक साथ कदम उठाकर चलना प्रारंभ करते हैं। उनके कदमों की लंबाइयाँ क्रमश: 80 सेमी, 85 सेमी और 90 सेमी हैं। इनमें से प्रत्येक न्यूनतम कितनी दूरी चले कि वे उसे पूरे-पूरे कदमों में तय करें?

हल: प्रत्येक व्यक्ति द्वारा चली गई दूरी को समान और न्यूनतम रहना है। यह वांछित न्यूनतम दूरी, जो प्रत्येक व्यक्ति को चलनी है, उनके कदमों की मापों का लघुतम समापवर्त्य (ल. स.) होगी। क्या आप बता सकते हैं क्यों?

इसलिए, हम 80, 85 और 90 का ल.स. ज्ञात करते हैं। 80, 85 और 90 का ल.स. 12240 है।
अत: वांछित न्यूनतम दूरी 12240 सेमी है।

उदाहरण 14. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 12, 16, 24 और 36 से भाग पर प्रत्येक दशा में 7 शेष रहता है।

हल: हम 12, 16, 24 और 36 का ल.स. निम्न प्रकार ज्ञात करते हैं।

इस प्रकार, ल.स. = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 144
144 वह सबसे छोटी संख्या है जिसे 12, 16, 24 और 36 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 0 शेष रहेगा।

परंतु हमें ऐसी सबसे छोटी संख्या चाहिए जिसमें प्रत्येक दशा में 7 शेष रहे।
अतः वांछित संख्या 144 से 7 अधिक होगी।
इस प्रकार, वांछित सबसे छोटी संख्या
= 144 + 7 = 151 है।

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