NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 11 सीधा और प्रतिलोम समानुपात (Direct and Inverse Proportions) Examples in Hindi

NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 11 सीधा और प्रतिलोम समानुपात (Direct and Inverse Proportions)

NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 11 सीधा और प्रतिलोम समानुपात (Direct and Inverse Proportions) Examples in Hindi हम इस अध्याय में सीधा समानुपात (direct proportion), अनुक्रमानुपाती (directly proportional), वैकल्पिक विधि, प्रतिलोम अनुपात (inverse proportion) और Class 8th Maths Chapter – 11 सीधा और प्रतिलोम समानुपात (Direct and Inverse Proportions) के सभी Examples को हल करेंगे। 

NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 11 सीधा और प्रतिलोम समानुपात (Direct and Inverse Proportions)

Chapter – 11

सीधा और प्रतिलोम समानुपात

Examples

उदाहरण 1. एक विशेष प्रकार के 5 मीटर कपड़े का मूल्य 210 रुपये है। इसी प्रकार के 2, 4, 10 और 13 मीटर कपड़े के मूल्यों के लिए एक सारणी बनाइए।

हल – मान लीजिए कि कपड़े की लंबाई x मीटर है तथा उसका मूल्य (रुपयों में) y है।

जैसे-जैसे कपड़े की लंबाई में वृद्धि होती है, उसके मूल्य में भी उसी अनुपात में वृद्धि होती जाती है। अत:, यह एक प्रत्यक्ष अनुपात की स्थिति है।

हम x₁/y₁ = x₂/y₂ के प्रकार के संबंध का उपयोग करते हैं।

(i) यहाँ x₁ = 5, y₁ = 210 और x₂ = 2 है। अतः, x₁/y₁ = x₂/y₂ से हमें 5/210 = 2/y₂ प्राप्त होता है। अर्थात्, 5y₂ = 2 × 210 या y₂ = 2 × 210/5 = 84

(ii) यदि x₃ = 4, तो 5/210 = 4/y₃ या 5y₃ = 4 × 210 या y₃ = 4 × 210/5 = 168 [क्या हम यहाँ x₂/y₂ = x₃/y₃ का उपयोग कर सकते हैं? प्रयास कीजिए।]

(iii) यदि x₄ = 10, तो 5/210 = 10/y₄ या 5 × y₄ = 10 × 210 या y₄ = 10 × 210/5 = 420

(iv) यदि x₅ = 13, तो 5/210 = 13/y₅ या 5 × y₅ = 13 × 210 या y₅ = 13 × 210/5 = 546 [ध्यान दीजिए कि यहाँ हम 5/210 के स्थान पर 2/84 या 4/168 या 10/420 का उपयोग कर सकते हैं? प्रयास कीजिए।]

उदाहरण 2. 14 मीटर ऊँचे एक बिजली के खंभे की छाया 10 मीटर है। समान स्थितियों में उस पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसकी छाया 15 मीटर है।

हल – मान लीजिए कि पेड़ की ऊँचाई x मीटर है। हम नीचे दर्शाए अनुसार एक सारणी बनाते हैं-

ध्यान दीजिए कि वस्तु की ऊँचाई जितनी अधिक होगी, उसकी छाया की लंबाई उतनी ही अधिक होगी। अतः, यह एक प्रत्यक्ष अनुपात की स्थिति है।

अर्थात्, x₁/y₁ = x₂/y₂ से हमें प्राप्त होता है 14/10 = x/15 (क्यों?)
या 14 x 15/10 = x या 14 x 3/2 = x
अतः x = 21 इस प्रकार पेड़ की ऊँचाई 21 मीटर है।
वैकल्पिक रूप से, हम x₁/y₁ = x₂/y₂ को x₁/x₂ = y₁/y₂ के रूप में लिख सकते हैं।

अतः x₁ : x₂ = y₁ : y₂ या 14 : x = 10 : 15
अतः 10 × x =15 x 14 या x = 15 x 14/10 = 21

उदाहरण 3. यदि मोटे कागज़ की 12 शीटों ( sheets) का भार 40 ग्राम है, तो ऐसे ही कागज़ की कितनी शीटों का भार 2 ½ किलोग्राम होगा ?

हल – मान लीजिए कि उन शीटों की संख्या x है जिनका भार 2 ½ किलोग्राम है। हम उपरोक्त सूचना को नीचे दर्शाए अनुसार एक सारणी के रूप में लिखते हैं-

शीटों की संख्या अधिक होगी, तो उनका भार भी उतना ही अधिक होगा। अतः शीटों की संख्या और उनके भार परस्पर अनुक्रमानुपाती हैं।
अतः 12/40 = x/2500
या 12 x 2500/40 = x या 750 = x

अतः कागज़ की शीटों की वांछित संख्या 750 है।
वैकल्पिक विधि: दो राशियाँ x और y जो प्रत्यक्ष अनुपात में विचरण (vary) करती हैं में
x = ky या x/ y = k का संबंध होता है।

यहाँ k = शीटों की संख्या/ग्रामों में शीटों का भार 12/40 = 3/10। अब x उन कागज़ की शीटों की संख्या है
जिनका भार 2 ½ = kg (2500 gm) है। संबंध x = ky का उपयोग करने पर, x =3/10 x 2500 = 750
इस प्रकार, कागज़ की 750 शीटों का भार 2 ½ kg होगा।

उदाहरण 4. एक रेलगाड़ी 75 km/h की एकसमान (uniform) चाल से चल रही है।
(i) वह 20 मिनट में कितनी दूरी तय करेगी?
(ii) 250km की दूरी तय करने में लगने वाला समय ज्ञात कीजिए।

हल – मान लीजिए कि 20 मिनट में तय की गई दूरी ( km में ) x है तथा 250 km की दूरी तय करने में लगने वाला समय (मिनटों में) y है।

क्योंकि चाल एकसमान है, इसलिए तय की गई दूरी लिए गए समय के अनुक्रमानुपाती होगी।

(i) हमें प्राप्त है- 75/60 = x/20 या 75 x 20/60 = x
या x = 25 अतः रेलगाड़ी 20 मिनट में 25 km की दूरी तय करेगी।

(ii) साथ ही, 75/60 = 250/y
या y = 250 x 60/75 = 200 मिनट, अर्थात् 3 घंटे 20 मिनट

अत: 250 km की दूरी तय करने के लिए 3 घंटे 20 मिनट का समय लगेगा।
वैकल्पिक रूप से, जब x ज्ञात है, तो संबंध x/20 = 250/y से y को ज्ञात किया जा सकता है।

उदाहरण 5. एक मानचित्र का पैमाना 1 : 30000000 दिया है। दो नगर मानचित्र में 4 cm की दूरी पर हैं। उनके बीच की वास्तविक दूरी ज्ञात कीजिए।

हल – मान लीजिए कि मानचित्र दूरी x cm है तथा वास्तविक दूरी y cm है।
तब, 1 : 30000000 = x : y या 1/3 x 10⁷ = x/y
क्योंकि x = 4 है, इसलिए 1/3 x 107 = 4/y
अथवा y = 4 × 3 × 10⁷ = 12 × 10⁷ cm = 120 km
इस प्रकार, मानचित्र पर 4 cm की दूरी वाले नगरों की वास्तविक दूरी 1200 km है।

उदाहरण 6. एक टंकी को 1 घंटे 20 मिनट में भरने के लिए 6 पाइपों (pipes) की आवश्यकता पड़ती है। यदि उसी प्रकार के केवल 5 पाइपों का ही उपयोग किया जाए, तो वह टंकी कितने समय में भरेगी ?

हल – मान लीजिए कि टंकी को भरने का वांछित समय x मिनट है।
तब, हमें निम्नलिखित सारणी प्राप्त होती है-

पाइपों की संख्या जितनी कम होगी, टंकी को भरने में उतना ही अधिक समय लगेगा। अतः यह एक प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।

अतः 80 × 6 = x × 5 (x₁ y₁ = X₂ y₂)
या 80 x 6/5 = x या x = 96
इस प्रकार, टंकी को 5 पाइपों द्वारा 96 मिनट, अर्थात् 1 घंटा 36 मिनट में भरा जाएगा।

उदाहरण 7. एक छात्रावास में 100 विद्यार्थी हैं और उनके भोजन की सामग्री 20 दिन के लिए पर्याप्त है। यदि इस समूह में 25 विद्यार्थी और आ जाएँ, तो यह भोजन सामग्री कितने दिन चलेगी?

हल – मान लीजिए कि भोजन सामग्री 125 विद्यार्थियों के लिए y दिन तक चलेगी। हम निम्नलिखित सारणी प्राप्त करते हैं-

ध्यान दीजिए कि जितने विद्यार्थी अधिक होंगे उतने ही कम समय में भोजन सामग्री समाप्त हो जाएगी। अतः यह एक प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।
इसलिए 100 × 20 = 125 x y
या 100 x 20/125 = y
या y = 16

वैकल्पिक रूप से, हम x₁ y₁ x₂ y₂ को 4 = ½ लिख सकते हैं।
अर्थात् y₁ : x₂ = y₂ : y₁
या 100 : 125 = y : 20
या y = 100 x 20/125 = 16

उदाहरण 8. यदि 15 श्रमिक किसी दीवार को 48 घंटे में निर्मित कर सकते हैं, तो इसी कार्य को 30 घंटे में पूरा करने के लिए, कितने श्रमिकों की आवश्यकता होगी ?

हल – मान लीजिए दीवार को 30 घंटे में निर्मित करने के लिए y श्रमिकों की आवश्यकता है।
तब हम निम्नलिखित सारणी प्राप्त करते हैं-

स्पष्टतः, अधिक श्रमिक होने पर, दीवार बनने में कम समय लगेगा।
अतः यह एक प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।

इसलिए, 48 × 15 = 30 x y
अतः 48 ×15/30 = y या = 24
अर्थात् इस कार्य को 30 घंटे में समाप्त करने के लिए 24 श्रमिकों की आवश्यकता है।

• प्रश्नावली 11.1
• प्रश्नावली 11.2

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