NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 8 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ (Algebraic expressions and identities) Examples in Hindi

NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 8 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ (Algebraic expressions and identities)

NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 8 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ (Algebraic expressions and identities) Examples in Hindi जिसमे हम बीजीय व्यंजक और सर्वसमिकाएँ क्या है?, बीजीय व्यंजकों में कितनी सर्वसमिकाएँ होती हैं?, बीजीय व्यंजक कैसे खोजें?, बीजीय व्यंजक की सबसे अच्छी परिभाषा क्या है?, बीजीय व्यंजक का सूत्र क्या है?, बीजीय व्यंजक का सूत्र क्या होता है?, बीजीय व्यंजक के उदाहरण क्या हैं?, बीजीय व्यंजक और सर्वसमिका का आविष्कार किसने किया था?, बीजीय व्यंजक कितने होते हैं?, बीजीय सर्वसमिकाएँ कैसे बनती हैं?, बीजीय सर्वसमिकाओं के गुण बताइए?, बीजगणित के 4 नियम क्या हैं? आदि के बारे में पढ़ेंगे 

NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 8 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ (Algebraic expressions and identities)

Chapter – 8

बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ

Examples

उदाहरण 1: 7xy + 5yz – 3zx, 4yz + 9zx – 4y , -3xz + 5x – 2xy का योग ज्ञात कीजिए।

हल – समान पदों को एक दूसरे के ऊपर-नीचे रखकर तीन व्यंजकों को विभिन्न पंक्तियों में लिखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

   7xy + 5yz – 3zx
+ 4yz + 9zx – 4y
+ -2xy – 3zx + 5x
= 5xy + 9yz + 3zx + 5x – 4y (ध्यान दीजिए xz और zx एक समान हैं)

इस प्रकार व्यंजकों का योग 5xy + 9yz + 3zx + 5x – 4y है। ध्यान दीजिए दूसरे व्यंजक के पद – 4y और तीसरे व्यंजक के पद 5x को योगफल में वैसे ही लिखा गया है जैसे वे हैं क्योंकि दूसरे व्यंजकों में उनका कोई समान पद नहीं है।

उदाहरण 2 : 7x² – 4xy + 8y² + 5x – 3y में से 5x² – 4y² + 6y – 3 को घटाइए 

हल

7x² – 4xy + 8y2 + 5x – 3y
5x² – 4y² + 6y – 3
= (-)  (+)  (-)  (+)
= 2x² – 4xy + 12y² + 5x – 9y + 3

उदाहरण 3 : एक आयत के, जिसकी लंबाई और चौड़ाई दी हुई है, क्षेत्रफल की सारणी को पूरा कीजिए: हल 

उदाहरण 4 : निम्नलिखित सारणी में तीन आयताकार बक्सों की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई दी हुई हैं। प्रत्येक का आयतन ज्ञात कीजिए :

हल –  आयतन = लंबाई × चौड़ाई x ऊँचाई

अत: (i) आयतन = (2ax) x (3by) x (5cz) = 2 x 3 x 5 x (ax) x (by) x (cz) = 30abcxyz
(ii) आयतन = m²n x n²p x p²m
(iii) आयतन= 2q x 4q² x 8q³ = 2 x 4 x 8 x q xq² xq³ = 64q⁶

उदाहरण 5 : व्यंजकों को सरल कीजिए और निर्देशानुसार मान ज्ञात कीजिए : (i) x (x – 3) + 2, x = 1 के लिए  (ii) 3y (2y – 7) – 3 (y – 4) – 63, y = -2 के लिए 

हल 

(i) x (x – 3) + 2 = x2 – 3x + 2
x = 1 के लिए x2 – 3x + 2
= (1)2 – 3 (1) + 2 x
= 1 – 3 + 2 = 3 – 3 = 0

(ii) 3y (2y – 7) – 3 (y – 4) – 63
= 6y2 – 21y – 3y + 12 – 63
= 6y2 – 24y – 51
y = -2 के लिए 6y2 – 24y – 51
= 6 (-2)2 – 24(-2) – 51
= 6 x 4 + 24 x 2 -51
= 24 + 48 –  51 = 72 – 51 = 21

उदाहरण 6 : जोड़िए : (i) 5m (3 – m) एवं 6m2 13m (ii) 4y (3y2 + 5y – 7) एवं 2 (y3 – 4y2 + 5)

हल – (i) प्रथम व्यंजक 5m (3 – m) = (5m x 3) – (5m x m) = 15m – 5m² अब द्वितीय व्यंजक जोड़ने पर 15m – 15m² + 6m² – 13m = m² + 2m

(ii) प्रथम व्यंजक = 4y (3y² + 5y – 7) = (4y x 3y²) + (4y x 5y) + (4y x (-7) = 12y³ + 20y² – 28y

द्वितीय व्यंजक = 2 (y³ – 4y² + 5)
= 2y³ + 2 x (-4y²) + 2 x 5
= 2y³ – 8y² + 10

दोनों व्यंजक जोड़ने पर

12y³ + 20y² – 28y
+ 2y³ – 8y² + 10

= 14y³ + 12y² – 28y + 10

उदाहरण 7 : 2pq (p + q) में से 3pq (p – q) को घटाइए। 

हल – हम प्राप्त करते हैं 3pq (p – q) = 3p²q – 3pq² और 
2pq (p + q) = 2p²q + 2pq²

घटाने पर        2p2q + 2pq²            
                  3p2q – 3pq²      

             =  – p²q + 5pq²

उदाहरण 8 : गुणा कीजिए : (i) (x – 4) एवं (2x + 3) को  (ii) (x – y) एवं  (3x + 5y) को

हल –  (i) (x – 4) x (2x + 3)

= x χ (2x + 3) – 4 χ (2x + 3)
= (x χ 2x ) + (x χ 3) – (4 χ 2x) – (4 χ 3)
= 2×2 + 3x – 8x – 12 (समान पदों को जोड़ने पर)
= 2×2 – 5x – 12  (समान पदों को जोड़ने पर)

(ii) (x – y) x (3x + 5y)
= x χ (3x + 5y) – y x (3x + 5y)
= (x χ 3x) + (x χ 5y) – (y χ 3x) – (y x 5y)
= 3×2 + 5xy – 3yx – 5y²
= 3×2 + 2xy – 5y²

उदाहरण 9 : गुणा कीजिए : (i) (a + 7) और (b – 5) को  (ii) (a2 + 2b2) और (5a – 3b) को

हल – (i) (a+7) x (b – 5) = a x (b – 5) + 7 x (b – 5)
= ab – 5a + 7b – 35
नोट कीजिए की इस गुणन में कोई भी समान पद नहीं हैं।
(ii) (a² + 2b²) x (5a – 3b) = a² (5a – 3b) + 2b² x (5a – 3b)
= 5a² – 3a²b + 10ab² – 6b³

उदाहरण 10 : सरल कीजिए  : (a + b) (2a – 3b + c) – (2a – 3b) c

हल – हम प्राप्त करते हैं।

(a + b) (2a – 3b + c) = a (2a – 3b + c) + b (2a – 3b + c)
= 2a2 – 3ab + ac + 2ab -3b2 + bc
= 2a2 – ab – 3b2 + bc + ac

(ध्यान दीजिए – 3ab एवं 2ab समान पद हैं।)
और  (2a – 3b) c = 2ac – 3bc हैं।

इसलिए, (a + b) (2a – 3b + c) – (2a – 3b) c
= 2a2 – ab 3b2 + bc + ac – (2ac – 3bc)
= 2a2 – ab 3b2 + bc + ac – 2ac – 3bc
= 2a2 – ab 3b2 + (bc + 3bc) + (ac – 2ac)
= 2a2 – 3b2 – ab + 4bc – ac

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