NCERT Solution Class 9th Maths Chapter – 11 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes) Examples in Hindi

NCERT Solution Class 9th Maths Chapter – 11 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes)

NCERT Solution Class 9th Maths Chapter – 11 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes) Examples in Hindi जिसमे हम पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र क्या होता है?, पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है समझाइए?, आयतन का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र क्या है?, आयतन का क्षेत्रफल कितना होता है?, आयतन सूत्र क्या है?, आयत का सूत्र क्या होता है?, पृष्ठीय क्षेत्रफल और उदाहरण क्या है?, पृष्ठीय क्षेत्रफल का मात्रक क्या है?, पृष्ठीय क्षेत्रफल और क्षेत्रफल में क्या अंतर है?, आप कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे निकालते हैं? आदि के बारे में पढ़ेंगे 

NCERT Solution Class 9th Maths Chapter – 11 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes)

Chapter – 11

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

Examples

उदाहरण 1 : एक लंब वृत्तीय शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी तिर्यक ऊँचाई 10 cm है और आधार की त्रिज्या 7 cm है।
हल : वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= 22/7 x 7 x 10 cm²
= 220 cm²

उदाहरण 2 : एक शंकु की ऊँचाई 16 cm है और आधार की त्रिज्या 12 cm है। इस शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)
हल : यहाँ, h = 16 cm और r = 12 cm है।
इसलिए, l² = h² + r² से हमें प्राप्त होता है :
l = √16² + 12² cm = 20 cm
अतः, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= 3.14 x 12 x 20 cm²
= 753.6 cm²
साथ ही कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl + πr²
= (753.6 +.14 x 12 x 12) cm²
= (753.6 + 452.16) cm²
= 1205.76 cm²

उदाहरण 3 : एक भुट्टा कुछ-कुछ शंकु जैसे आकार का है।( देखिए आकृति 11.5) जिसके सबसे चौड़े सिरे की त्रिज्या 2.1 cm है और इसकी लम्बाई (ऊँचाई) 20 cm है। यदि भुट्टे के प्रत्येक 1 cm² पृष्ठ पर औसतन चार दानें हों तो ज्ञात कीजिए कि पूरे भुट्टे पर कुल कितने दानें होंगे?
हल : चूँकि भुट्टे के दानें उसके वक्र पृष्ठ पर ही होते हैं, इसलिए हमें दानों की संख्या ज्ञात करने के लिए भुट्टे के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को ज्ञात करना होगा । यहाँ हमें शंकु की ऊँचाई दी है। इसलिए, हमें पहले शंकु की तिर्यक ऊँचाई ज्ञात करनी पड़ेगी।
अब, l = √r² + h² = √(2.1)² + 20² cm
= √404.41 cm = 20.11 cm
अतः, भुट्टे का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= 22/7 x 2.1 x 20.11 cm² = 132.726 cm² (लगभग)
अत: 1 cm² क्षेत्रफल पर दानों की संख्या = 4
इसलिए पूरे भुट्टे पर कुल दानों की संख्या = 1132.73 x 4 = 530.92 = 531 (लगभग)
अतः इस भुट्टे पर लगभग 531 दानें होंगे।

उदाहरण 4 : 7 cm त्रिज्या वाले एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल : 7 cm त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 4πr² = 4 x 22/7 x 7 x7 cm² = 616 cm²

उदाहरण 5 : त्रिज्या 21 cm वाले एक अर्धगोले के लिए ज्ञात कीजिए:
(i) वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (ii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
हल : (i) त्रिज्या 21 cm वाले अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πr² = 2 x 22/7 x 21 x 21 cm² = 2772 cm²

(ii) अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 3πr² = 3 x 22/7 x 21 x 21 cm² = 4158 cm²

उदाहरण 6 : सर्कस का एक मोटरसाइकिल सवार जिस खोखले गोले के अंदर अपने करतब (खेल) दिखाता है उसका व्यास 7 m है। मोटरसाइकिल सवार के पास ये करतब दिखाने के लिए कितना क्षेत्रफल उपलब्ध है?
हल : गोले का व्यास = 7 m है। इसलिए त्रिज्या 3. 5m हुई। अब, करतब दिखाने के लिए, मोटरसाइकिल सवार को उपलब्ध स्थान इस गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr² = 4 x 22/7 x 3.5 x 3.5 m² = 154 m²

उदाहरण 7 : किसी भवन का ऊपरी भाग अर्धगोलाकार है और इस पर पेंट किया जाना है (देखिए आकृति 11.9)। यदि इस अर्धगोले के आधार की परिधि 17.6 m है, तो ₹5 प्रति 100 cm2 की दर से इसे पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए

हल : चूँकि केवल गोलाकार पृष्ठ पर ही पेंट होगा, इसलिए हमें अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को ज्ञात करने की आवश्यकता है।
अब, आधार की परिधि = 17.6 m है।इसलिए, 2πr = 17.6अर्थात्, r = 17.6 x 7/2 x 22 m = 2.8 m= 2 x 22/7 x 2.8 x 2.8 m²इसलिए, भवन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²= 2 x 22/7 x 2.8 x 2.8 m²= 49.28 m²अब, 100 cm पेंटिंग की लागत = ₹5इसलिए, 1m² पेंटिंग की लागत = ₹500अत:, 49.28 m² पेंटिंग की लागत = ₹500 x 49.28 = ₹24640

उदाहरण 8 : किसी शंकु की ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई क्रमशः 21 cm और 28 cm हैं। इसका आयतन ज्ञात कीजिए ।
हल : l² = r² + h² से हमें प्राप्त होता है :r = √l2 – h2 = √28² – 21² cm = 7 √7 cm
अतः, शंकु का आयतन = 1/3 πr²h = 1/3 x 22/7 x 7 √7 x 7 √7 x cm³
= 7546 cm³

उदाहरण 9 : मोनिका के पास केनवास का एक टुकड़ा है जिसका क्षेत्रफल 551 m² है। वह इससे 7 m आधार त्रिज्या वाला एक शंकु का आपतन का तंबू बनवाती है। यह मानते हुए कि सिलाई और कटाई में लगभग 1 m² केनवास नष्ट हुआ होगा, इससे बनाए जाने वाले शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए ।
हल : केनवास का क्षेत्रफल = 551 m²  है और 1 m² केनवास सिल इत्यादि में नष्ट हो जाता है।
अतः, तंबू के लिए उपलब्ध केनवास = (551 – 1) m² = 550 m²
इसलिए, तंबू का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 550 m²
अब, तंबू के आधार की त्रिज्या = 7 m
ध्यान दीजिए कि तंबू की केवल वक्र पृष्ठ ही होती है (तंबू के फर्श को ढका नहीं जाता है)।
अतः, तंबू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 550 m²अर्थात्, πrl = 550
या, 22/7 x 7 x l = 550
या, l = 550/22 m = 25 m
अब,  l² = r² + h²
अब, h = √l² – r² = √25² – 7² m = √625 – 49 m = √576 m
= 24 mअतः, तंबू का आयतन = 1/3 πr² h = 1/3 x 22/7 x 7 x 7 x 24 m³ = 1232 m²

उदाहरण : 10 11.2cm त्रिज्या वाले गोले का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल : वाँछित आयतन = 4/3 πr³
= 4/3 x 22/7 x 11.2 x 11.2 x 11.2 cm³ = 5887.32 cm³

उदाहरण 11 : एक शॉट-पट्ट (shot-putt) 4.9 cm त्रिज्या वाला एक धातु का गोला है । यदि इस धातु का घनत्व (density) 7.8 ग्राम प्रति cm3 है, तो शॉट-पट्ट का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए ।
हल : चूँकि शॉट-पट्ट (shot-putt) धातु का एक ठोस गोला है तथा द्रव्यमान आयतन और घनत्व के गुणनफल के बराबर होता है, इसलिए पहले हमें शॉट-पट्ट का आयतन ज्ञात करना चाहिए।अब, गोले का आयतन == 4/3 πr³
= 4/3 x 22/7 x 4.9 x 4.9 x 4.9 cm³
= 493 cm³ (लगभग)
साथ ही, 1 cm³ धातु का द्रव्यमान = 7.8 ग्राम
अतः, शॉट-पट्ट का द्रव्यमान = 7.8 × 493 ग्राम
= 3845.44 ग्राम = 3.85 किलोग्राम (लगभग)

उदाहरण 12 : एक अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या 3.5 cm है। इसके अंदर भरे जा सकने वाले पानी का आयतन ज्ञात कीजिए ।
हल : कटोरे में भरे जा सकने वाले पानी का आयतन
= 2/3πr³
= 2/3 x 22/7 x 3.5 x 3.5 cm³

• प्रश्नावली – 11.1
• प्रश्नावली – 11.2
• प्रश्नावली – 11.3
• प्रश्नावली – 11.4

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